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三、解答题(共46分)
11. (15分)根据以下素材,完成探索任务。
【问题提出】在总费用(新墙的建筑费用与门的价格之和)不高于5900元的情况下,如何设计饲养室?
素材一 如图,某农场拟建两间矩形饲养室,饲养室的一面靠现有16 m长的墙,中间用一道墙隔开,计划中的建筑材料可建围墙的总长为22 m,开两扇门,且门宽均为1 m。
素材二 每扇门的价格为250元。
素材三 与现有墙平行方向的墙的建筑费用为300元/米,与现有墙垂直方向的墙的建筑费用为200元/米。
【问题解决】任务1:设AB=x m,矩形ABCD的面积为S,求S关于x的函数表达式。
任务2:探究自变量x的取值范围。
11. (15分)根据以下素材,完成探索任务。
【问题提出】在总费用(新墙的建筑费用与门的价格之和)不高于5900元的情况下,如何设计饲养室?
素材一 如图,某农场拟建两间矩形饲养室,饲养室的一面靠现有16 m长的墙,中间用一道墙隔开,计划中的建筑材料可建围墙的总长为22 m,开两扇门,且门宽均为1 m。
素材二 每扇门的价格为250元。
素材三 与现有墙平行方向的墙的建筑费用为300元/米,与现有墙垂直方向的墙的建筑费用为200元/米。
【问题解决】任务1:设AB=x m,矩形ABCD的面积为S,求S关于x的函数表达式。
任务2:探究自变量x的取值范围。
答案
11. 解:任务1:根据题意可得 $BC=22+2-3x=(24-3x)\mathrm{m},$
所以 $S=AB · BC=x(24-3x)=-3x^2+24x$。
任务 2:由题意得,新墙建筑费用 $=200(3x-1)+300(23-3x)=(6\ 700-300x)$元,
则总费用 $=6\ 700-300x+500=(7\ 200-300x)$元。
因为总费用不高于 5 900 元,
所以 $7\ 200-300x ≤ 5\ 900$,解得 $x ≥ \frac{13}{3}$。
由题意得,$1＜BC ≤ 16$,
即 $1＜24-3x ≤ 16$,解得 $\frac{8}{3} ≤ x＜\frac{23}{3}$。
所以 $\frac{13}{3} ≤ x＜\frac{23}{3}$。
所以 $S=AB · BC=x(24-3x)=-3x^2+24x$。
任务 2:由题意得,新墙建筑费用 $=200(3x-1)+300(23-3x)=(6\ 700-300x)$元,
则总费用 $=6\ 700-300x+500=(7\ 200-300x)$元。
因为总费用不高于 5 900 元,
所以 $7\ 200-300x ≤ 5\ 900$,解得 $x ≥ \frac{13}{3}$。
由题意得,$1＜BC ≤ 16$,
即 $1＜24-3x ≤ 16$,解得 $\frac{8}{3} ≤ x＜\frac{23}{3}$。
所以 $\frac{13}{3} ≤ x＜\frac{23}{3}$。
解析
【分析】
任务1解题思路：首先明确垂直于现有墙的墙共3段，长度均为x m；已知可建围墙总长22m，两扇门宽各1m，门的位置无需建墙，因此平行于墙的BC长度为围墙总长加两门总宽度，再减去3段垂直墙的长度，最后根据矩形面积公式即可得到S关于x的函数表达式。
任务2解题思路：自变量x的取值需满足两类限制：①总费用不高于5900元，分别计算垂直、平行方向新墙的建筑费用，加两门总价得到总费用，列不等式求解；②BC长度不能超过现有墙长16m，且需大于1m保证门可正常安装，列不等式求解，最后取两个解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
任务1
设$AB=x\ \mathrm{m}$，垂直于现有墙的墙共3段，总长度为$3x\ \mathrm{m}$。
已知可建围墙总长为22m，两扇门宽均为1m，因此平行于墙的$BC$长度为：
$BC=22+2×1-3x=(24-3x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积公式，可得面积$S$的表达式：
$S=AB· BC=x(24-3x)=-3x^2+24x$
任务2
第一步：根据总费用限制列不等式
垂直方向新墙总长度为$(3x-1)\ \mathrm{m}$（中间隔墙上有1扇1m宽的门无需建墙），建筑费用为$200(3x-1)$元；
平行方向新墙总长度为$(24-3x-1)=(23-3x)\ \mathrm{m}$（BC边上有1扇1m宽的门无需建墙），建筑费用为$300(23-3x)$元；
两扇门总价格为$2×250=500$元。
因此总费用为：
$200(3x-1)+300(23-3x)+500=7200-300x$
根据总费用不高于5900元，列不等式：
$7200-300x≤5900$
解得$x≥\frac{13}{3}$。
第二步：根据墙长和门的要求列不等式
$BC$的长度需满足$1＜24-3x≤16$：
解$24-3x≤16$，得$x≥\frac{8}{3}$；
解$24-3x＞1$，得$x＜\frac{23}{3}$。
第三步：取公共解集
结合两个不等式的解集，可得$x$的取值范围为$\frac{13}{3}≤ x＜\frac{23}{3}$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{S=-3x^2+24x}$
任务2：$\boldsymbol{\frac{13}{3}≤ x＜\frac{23}{3}}$
【知识点】
列二次函数解析式，一元一次不等式组应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际场景考查函数与不等式的综合应用，解题关键是准确分析门的宽度对新墙长度的影响，同时不能忽略墙长的隐含限制条件，能有效提升学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
任务1解题思路：首先明确垂直于现有墙的墙共3段，长度均为x m；已知可建围墙总长22m，两扇门宽各1m，门的位置无需建墙，因此平行于墙的BC长度为围墙总长加两门总宽度，再减去3段垂直墙的长度，最后根据矩形面积公式即可得到S关于x的函数表达式。
任务2解题思路：自变量x的取值需满足两类限制：①总费用不高于5900元，分别计算垂直、平行方向新墙的建筑费用，加两门总价得到总费用，列不等式求解；②BC长度不能超过现有墙长16m，且需大于1m保证门可正常安装，列不等式求解，最后取两个解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
任务1
设$AB=x\ \mathrm{m}$，垂直于现有墙的墙共3段，总长度为$3x\ \mathrm{m}$。
已知可建围墙总长为22m，两扇门宽均为1m，因此平行于墙的$BC$长度为：
$BC=22+2×1-3x=(24-3x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积公式，可得面积$S$的表达式：
$S=AB· BC=x(24-3x)=-3x^2+24x$
任务2
第一步：根据总费用限制列不等式
垂直方向新墙总长度为$(3x-1)\ \mathrm{m}$（中间隔墙上有1扇1m宽的门无需建墙），建筑费用为$200(3x-1)$元；
平行方向新墙总长度为$(24-3x-1)=(23-3x)\ \mathrm{m}$（BC边上有1扇1m宽的门无需建墙），建筑费用为$300(23-3x)$元；
两扇门总价格为$2×250=500$元。
因此总费用为：
$200(3x-1)+300(23-3x)+500=7200-300x$
根据总费用不高于5900元，列不等式：
$7200-300x≤5900$
解得$x≥\frac{13}{3}$。
第二步：根据墙长和门的要求列不等式
$BC$的长度需满足$1＜24-3x≤16$：
解$24-3x≤16$，得$x≥\frac{8}{3}$；
解$24-3x＞1$，得$x＜\frac{23}{3}$。
第三步：取公共解集
结合两个不等式的解集，可得$x$的取值范围为$\frac{13}{3}≤ x＜\frac{23}{3}$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{S=-3x^2+24x}$
任务2：$\boldsymbol{\frac{13}{3}≤ x＜\frac{23}{3}}$
【知识点】
列二次函数解析式，一元一次不等式组应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际场景考查函数与不等式的综合应用，解题关键是准确分析门的宽度对新墙长度的影响，同时不能忽略墙长的隐含限制条件，能有效提升学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
12. (15分)可以用如下方法求方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的实数根的范围。
利用函数$y = x^2 - 2x - 2$的图象可知，当$x = 0$时，$y ＜ 0$；当$x = -1$时，$y ＞ 0$。所以方程有一个根在-1和0之间。
(1)参考上面的方法，求方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的另一个根在哪两个连续整数之间。
(2)若方程$x^2 - 2x + c = 0$有一个根在0和1之间，求$c$的取值范围。
利用函数$y = x^2 - 2x - 2$的图象可知，当$x = 0$时，$y ＜ 0$；当$x = -1$时，$y ＞ 0$。所以方程有一个根在-1和0之间。
(1)参考上面的方法，求方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的另一个根在哪两个连续整数之间。
(2)若方程$x^2 - 2x + c = 0$有一个根在0和1之间，求$c$的取值范围。
答案
12. 解:(1)利用函数 $y=x^2-2x-2$ 的图象可知,
当 $x=2$ 时,$y＜0$;当 $x=3$ 时,$y＞0$。
所以方程的另一个根在 2 和 3 之间。
(2)函数 $y=x^2-2x+c$ 的图象的对称轴为直线 $x=1$,
由题意,得 $\begin{cases} c＞0,\\ 1-2+c＜0, \end{cases}$
解得 $0＜c＜1$。
当 $x=2$ 时,$y＜0$;当 $x=3$ 时,$y＞0$。
所以方程的另一个根在 2 和 3 之间。
(2)函数 $y=x^2-2x+c$ 的图象的对称轴为直线 $x=1$,
由题意,得 $\begin{cases} c＞0,\\ 1-2+c＜0, \end{cases}$
解得 $0＜c＜1$。
解析
【分析】
(1) 一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，若x取两个连续整数时，函数值一正一负，则方程的一个根就在这两个整数之间。二次函数$y=x^2-2x-2$的对称轴为直线$x=1$，已知一个根在-1和0之间，另一个根在对称轴右侧，我们只需代入大于1的连续整数计算函数值，找到函数值由负变正的两个连续整数即可。
(2) 方程$x^2-2x+c=0$的根对应二次函数$y=x^2-2x+c$与x轴的交点，该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，在0到1的范围内y随x的增大而减小，若有一个根在0和1之间，则x=0时函数值为正，x=1时函数值为负，列不等式组求解即可得到c的取值范围。
【解析】
(1) 对于函数$y=x^2-2x-2$：
当$x=2$时，$y=2^2 - 2×2 - 2 = -2 ＜ 0$；
当$x=3$时，$y=3^2 - 2×3 - 2 = 1 ＞ 0$。
所以方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的另一个根在2和3之间。
(2) 二次函数$y=x^2-2x+c$的图象开口向上，对称轴为直线$x=\frac{-(-2)}{2×1}=1$。
由方程有一个根在0和1之间，可得：
$\begin{cases}0^2 - 2×0 + c ＞ 0 \\1^2 - 2×1 + c ＜ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$c＞0$，解第二个不等式得$c＜1$，因此$0 ＜ c ＜ 1$。
【答案】
(1) 方程的另一个根在2和3之间；
(2) $0 ＜ c ＜ 1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程、二次函数的图象性质、解一元一次不等式组
【点评】
本题将一元二次方程根的范围问题转化为二次函数值的正负判断问题，渗透了数形结合的数学思想，解题时结合二次函数的对称性可以快速缩小计算范围，考查内容较为基础，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，若x取两个连续整数时，函数值一正一负，则方程的一个根就在这两个整数之间。二次函数$y=x^2-2x-2$的对称轴为直线$x=1$，已知一个根在-1和0之间，另一个根在对称轴右侧，我们只需代入大于1的连续整数计算函数值，找到函数值由负变正的两个连续整数即可。
(2) 方程$x^2-2x+c=0$的根对应二次函数$y=x^2-2x+c$与x轴的交点，该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，在0到1的范围内y随x的增大而减小，若有一个根在0和1之间，则x=0时函数值为正，x=1时函数值为负，列不等式组求解即可得到c的取值范围。
【解析】
(1) 对于函数$y=x^2-2x-2$：
当$x=2$时，$y=2^2 - 2×2 - 2 = -2 ＜ 0$；
当$x=3$时，$y=3^2 - 2×3 - 2 = 1 ＞ 0$。
所以方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的另一个根在2和3之间。
(2) 二次函数$y=x^2-2x+c$的图象开口向上，对称轴为直线$x=\frac{-(-2)}{2×1}=1$。
由方程有一个根在0和1之间，可得：
$\begin{cases}0^2 - 2×0 + c ＞ 0 \\1^2 - 2×1 + c ＜ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$c＞0$，解第二个不等式得$c＜1$，因此$0 ＜ c ＜ 1$。
【答案】
(1) 方程的另一个根在2和3之间；
(2) $0 ＜ c ＜ 1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程、二次函数的图象性质、解一元一次不等式组
【点评】
本题将一元二次方程根的范围问题转化为二次函数值的正负判断问题，渗透了数形结合的数学思想，解题时结合二次函数的对称性可以快速缩小计算范围，考查内容较为基础，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.7
13. (16分)已知抛物线$y=2x^2 -4x -6$。
(1)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标。
(2)求出抛物线与x轴的交点坐标。
(3)当$0＜x＜4$时，求y的取值范围。
(1)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标。
(2)求出抛物线与x轴的交点坐标。
(3)当$0＜x＜4$时，求y的取值范围。
答案
13. 解:(1)由题意可得,
抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{-4}{2 × 2}=1$。
将 $a=2,b=-4,c=-6$ 代入 $\frac{4ac-b^2}{4a}$,得
$\frac{4 × 2 × (-6)-(-4)^2}{4 × 2}=\frac{-48-16}{8}=\frac{-64}{8}=-8$。
所以抛物线的对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为 $(1,-8)$。
(2)令 $y=0$,则 $2x^2-4x-6=0$,
解得 $x_1=3,x_2=-1$,
所以抛物线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1,0),(3,0)$。
(3)由(1)知二次函数 $y=2x^2-4x-6$ 的对称轴为 $x=1,a=2＞0$,抛物线开口向上,
所以函数在 $x=1$ 处取得最小值 $-8$。
分别计算当 $x=0$ 和 $x=4$ 时的函数值:
当 $x=0$ 时,$y=2 × 0^2-4 × 0-6=-6$,
当 $x=4$ 时,$y=2 × 4^2-4 × 4-6=10$。
因为 $x=4$ 不在 $0＜x＜4$ 内,
所以当 $0＜x＜4$ 时,$y$ 的取值范围为 $-8 ≤ y＜10$。
抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{-4}{2 × 2}=1$。
将 $a=2,b=-4,c=-6$ 代入 $\frac{4ac-b^2}{4a}$,得
$\frac{4 × 2 × (-6)-(-4)^2}{4 × 2}=\frac{-48-16}{8}=\frac{-64}{8}=-8$。
所以抛物线的对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为 $(1,-8)$。
(2)令 $y=0$,则 $2x^2-4x-6=0$,
解得 $x_1=3,x_2=-1$,
所以抛物线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1,0),(3,0)$。
(3)由(1)知二次函数 $y=2x^2-4x-6$ 的对称轴为 $x=1,a=2＞0$,抛物线开口向上,
所以函数在 $x=1$ 处取得最小值 $-8$。
分别计算当 $x=0$ 和 $x=4$ 时的函数值:
当 $x=0$ 时,$y=2 × 0^2-4 × 0-6=-6$,
当 $x=4$ 时,$y=2 × 4^2-4 × 4-6=10$。
因为 $x=4$ 不在 $0＜x＜4$ 内,
所以当 $0＜x＜4$ 时,$y$ 的取值范围为 $-8 ≤ y＜10$。
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础应用，解题思路如下：
(1) 求抛物线对称轴和顶点坐标，可直接运用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴，再用顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算顶点纵坐标，即可得到顶点坐标，也可通过将解析式配方为顶点式求解。
(2) 求抛物线与x轴的交点坐标，x轴上点的纵坐标为0，因此令y=0，解对应的一元二次方程，所得的根就是交点的横坐标，由此写出交点坐标。
(3) 求给定区间内y的取值范围，首先根据二次项系数判断抛物线开口方向，结合对称轴判断函数在区间内的最值位置：开口向上时，对称轴处取最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最大值，同时注意区间端点是否包含在内，最终确定y的取值范围。
【解析】
(1) 由题意可得，抛物线解析式为$y=2x^2-4x-6$，其中$a=2,b=-4,c=-6$，
对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2 × 2}=1$，
将$a、b、c$代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，得
$\frac{4 × 2 × (-6)-(-4)^2}{4 × 2}=\frac{-48-16}{8}=\frac{-64}{8}=-8$，
所以抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-8)$。
(2) 令$y=0$，则$2x^2-4x-6=0$，
化简得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3,x_2=-1$，
所以抛物线与x轴的交点坐标为$(-1,0),(3,0)$。
(3) 由(1)知二次函数的对称轴为$x=1$，且$a=2＞0$，抛物线开口向上，
所以函数在$x=1$处取得最小值，最小值为$-8$，
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=2 × 0^2-4 × 0-6=-6$，
当$x=4$时，$y=2 × 4^2-4 × 4-6=32-16-6=10$，
因为$x=4$不在$0＜x＜4$的范围内，$x=1$在该范围内，
所以当$0＜x＜4$时，$y$的取值范围为$-8 ≤ y＜10$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-8)$；
(2) 抛物线与x轴的交点坐标为$(-1,0),(3,0)$；
(3) $y$的取值范围是$-8 ≤ y＜10$。
【知识点】
1. 二次函数的基本性质
2. 抛物线与坐标轴交点求解
3. 二次函数区间取值计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，覆盖了二次函数核心基础考点，解题时要注意在求区间取值范围时，需结合抛物线开口方向、对称轴位置综合判断最值，同时留意区间端点是否可取，避免范围判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的基础应用，解题思路如下：
(1) 求抛物线对称轴和顶点坐标，可直接运用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴，再用顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算顶点纵坐标，即可得到顶点坐标，也可通过将解析式配方为顶点式求解。
(2) 求抛物线与x轴的交点坐标，x轴上点的纵坐标为0，因此令y=0，解对应的一元二次方程，所得的根就是交点的横坐标，由此写出交点坐标。
(3) 求给定区间内y的取值范围，首先根据二次项系数判断抛物线开口方向，结合对称轴判断函数在区间内的最值位置：开口向上时，对称轴处取最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最大值，同时注意区间端点是否包含在内，最终确定y的取值范围。
【解析】
(1) 由题意可得，抛物线解析式为$y=2x^2-4x-6$，其中$a=2,b=-4,c=-6$，
对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2 × 2}=1$，
将$a、b、c$代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，得
$\frac{4 × 2 × (-6)-(-4)^2}{4 × 2}=\frac{-48-16}{8}=\frac{-64}{8}=-8$，
所以抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-8)$。
(2) 令$y=0$，则$2x^2-4x-6=0$，
化简得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3,x_2=-1$，
所以抛物线与x轴的交点坐标为$(-1,0),(3,0)$。
(3) 由(1)知二次函数的对称轴为$x=1$，且$a=2＞0$，抛物线开口向上，
所以函数在$x=1$处取得最小值，最小值为$-8$，
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=2 × 0^2-4 × 0-6=-6$，
当$x=4$时，$y=2 × 4^2-4 × 4-6=32-16-6=10$，
因为$x=4$不在$0＜x＜4$的范围内，$x=1$在该范围内，
所以当$0＜x＜4$时，$y$的取值范围为$-8 ≤ y＜10$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-8)$；
(2) 抛物线与x轴的交点坐标为$(-1,0),(3,0)$；
(3) $y$的取值范围是$-8 ≤ y＜10$。
【知识点】
1. 二次函数的基本性质
2. 抛物线与坐标轴交点求解
3. 二次函数区间取值计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，覆盖了二次函数核心基础考点，解题时要注意在求区间取值范围时，需结合抛物线开口方向、对称轴位置综合判断最值，同时留意区间端点是否可取，避免范围判断错误。
【难度系数】
0.7
