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1. 某机构决定对某药品的价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数关系式为（
A.$y=36(1-x)$
B.$y=36(1+x)$
C.$y=18(1-x)^2$
D.$y=18(1+x^2)$
C
）A.$y=36(1-x)$
B.$y=36(1+x)$
C.$y=18(1-x)^2$
D.$y=18(1+x^2)$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆降价问题的计算逻辑：每次降价后的价格=降价前的价格×(1-降价百分率)。第一步先计算第一次降价后的价格，降价基数是原价18元；第二步计算第二次降价后的价格，此时降价基数是第一次降价后的价格，两次计算后整理式子即可得到y关于x的函数关系式，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
已知药品原价为18元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后的价格为：$18×(1-x)$元
2. 第二次降价以第一次降价后的价格为基数，因此第二次降价后的价格为：$18×(1-x)×(1-x)=18(1-x)^2$元
即降价后的价格$y=18(1-x)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 列二次函数关系式
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题核心是明确每次变化的计算基数，牢记“n次变化后的量=初始量×(1±变化率)^n”的规律，其中降价用减号、涨价用加号，掌握该规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆降价问题的计算逻辑：每次降价后的价格=降价前的价格×(1-降价百分率)。第一步先计算第一次降价后的价格，降价基数是原价18元；第二步计算第二次降价后的价格，此时降价基数是第一次降价后的价格，两次计算后整理式子即可得到y关于x的函数关系式，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
已知药品原价为18元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后的价格为：$18×(1-x)$元
2. 第二次降价以第一次降价后的价格为基数，因此第二次降价后的价格为：$18×(1-x)×(1-x)=18(1-x)^2$元
即降价后的价格$y=18(1-x)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 列二次函数关系式
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题核心是明确每次变化的计算基数，牢记“n次变化后的量=初始量×(1±变化率)^n”的规律，其中降价用减号、涨价用加号，掌握该规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知竖直向上抛出的小球离地面的高度$h(\mathrm{m})$关于运动时间$t(\mathrm{s})$的函数表达式为$h=-(t-4)^2+16$，则小球达到最大高度时的时间是（
A.$3\ \mathrm{s}$
B.$4\ \mathrm{s}$
C.$5\ \mathrm{s}$
D.$6\ \mathrm{s}$
B
）A.$3\ \mathrm{s}$
B.$4\ \mathrm{s}$
C.$5\ \mathrm{s}$
D.$6\ \mathrm{s}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的最值求解，解题思路如下：首先明确给出的高度h关于时间t的函数是二次函数的顶点式，二次函数$y=a(x-m)^2+n$中，当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点$(m,n)$是函数的最高点，此时$x=m$时函数取得最大值$n$。对应本题，我们只需要找到顶点式中t对应的取值，即为小球达到最大高度的时间。
【解析】
已知高度与时间的函数表达式为$h=-(t-4)^2+16$，属于二次函数的顶点式，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此该抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数顶点式的性质，当$t=4$时，$h$取得最大值16，即小球达到最大高度时的时间是4s。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础题，结合抛球的实际情景考查二次函数顶点式的性质，掌握开口向下的抛物线在顶点处取得最大值是解题的核心，读懂函数表达式中各参数的意义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数在实际问题中的最值求解，解题思路如下：首先明确给出的高度h关于时间t的函数是二次函数的顶点式，二次函数$y=a(x-m)^2+n$中，当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点$(m,n)$是函数的最高点，此时$x=m$时函数取得最大值$n$。对应本题，我们只需要找到顶点式中t对应的取值，即为小球达到最大高度的时间。
【解析】
已知高度与时间的函数表达式为$h=-(t-4)^2+16$，属于二次函数的顶点式，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此该抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数顶点式的性质，当$t=4$时，$h$取得最大值16，即小球达到最大高度时的时间是4s。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础题，结合抛球的实际情景考查二次函数顶点式的性质，掌握开口向下的抛物线在顶点处取得最大值是解题的核心，读懂函数表达式中各参数的意义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 已知二次函数的图象$(-0.7≤ x≤ 2)$如下左图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是 (
A.有最小值0,有最大值2
B.有最小值$-1$,有最大值0
C.有最小值$-1$,有最大值2
D.有最小值$-1$,无最大值
C
)A.有最小值0,有最大值2
B.有最小值$-1$,有最大值0
C.有最小值$-1$,有最大值2
D.有最小值$-1$,无最大值
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：在给定自变量取值范围时，二次函数的最值需要结合图象，比较区间内顶点的函数值和区间两个端点的函数值大小来确定，最大的为最大值，最小的为最小值。首先找图象的最高点对应最大值，再找区间内的最低点对应最小值即可判断选项。
【解析】
观察题干给出的二次函数图象，自变量取值范围是$-0.7≤ x≤2$：
1. 求最大值：图象的最高点为顶点，坐标为$(1,2)$，该点在取值范围内，因此函数的最大值是2；
2. 求最小值：比较取值范围两个端点的函数值，当$x=-0.7$时，$y=-1$；当$x=2$时，$y=1$。因为$-1＜1＜2$，因此函数的最小值是$-1$。
综上，该函数在所给范围内有最小值$-1$，有最大值2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象；二次函数的最值；自变量取值范围
【点评】
本题考查结合二次函数图象判断指定区间内的最值，解题的核心是不要忽略自变量的取值范围，除了顶点外还要关注区间端点的函数值，认真观察图象即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确：在给定自变量取值范围时，二次函数的最值需要结合图象，比较区间内顶点的函数值和区间两个端点的函数值大小来确定，最大的为最大值，最小的为最小值。首先找图象的最高点对应最大值，再找区间内的最低点对应最小值即可判断选项。
【解析】
观察题干给出的二次函数图象，自变量取值范围是$-0.7≤ x≤2$：
1. 求最大值：图象的最高点为顶点，坐标为$(1,2)$，该点在取值范围内，因此函数的最大值是2；
2. 求最小值：比较取值范围两个端点的函数值，当$x=-0.7$时，$y=-1$；当$x=2$时，$y=1$。因为$-1＜1＜2$，因此函数的最小值是$-1$。
综上，该函数在所给范围内有最小值$-1$，有最大值2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象；二次函数的最值；自变量取值范围
【点评】
本题考查结合二次函数图象判断指定区间内的最值，解题的核心是不要忽略自变量的取值范围，除了顶点外还要关注区间端点的函数值，认真观察图象即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
4. 如图，抛物线的对称轴为直线$x=1$，与$x$轴交于点$A(-1,0)$，则另一交点的坐标是（
A.$(3,0)$
B.$(-3,0)$
C.$(1,0)$
D.$(2,0)$
A
）A.$(3,0)$
B.$(-3,0)$
C.$(1,0)$
D.$(2,0)$
答案
4. A
解析
【分析】
解题思路：首先明确抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，两点的纵坐标都为0，横坐标到对称轴的距离相等。已知对称轴为x=1和其中一个交点A(-1,0)，我们可以先计算点A到对称轴的距离，再根据对称性求出另一个交点的横坐标，即可得到交点坐标。
【解析】
∵抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，且两点纵坐标均为0
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，其中一个交点为$A(-1,0)$
先计算点A到对称轴的距离：$1 - (-1) = 2$
∴另一个交点在对称轴右侧，到对称轴的距离也为2，其横坐标为$1 + 2 = 3$
即另一交点坐标为$(3,0)$，故选A
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与x轴交点特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心考查抛物线与x轴交点的对称规律，掌握该规律后无需代入解析式计算即可快速得出答案，是二次函数类小题的常见考法。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，两点的纵坐标都为0，横坐标到对称轴的距离相等。已知对称轴为x=1和其中一个交点A(-1,0)，我们可以先计算点A到对称轴的距离，再根据对称性求出另一个交点的横坐标，即可得到交点坐标。
【解析】
∵抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，且两点纵坐标均为0
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，其中一个交点为$A(-1,0)$
先计算点A到对称轴的距离：$1 - (-1) = 2$
∴另一个交点在对称轴右侧，到对称轴的距离也为2，其横坐标为$1 + 2 = 3$
即另一交点坐标为$(3,0)$，故选A
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与x轴交点特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心考查抛物线与x轴交点的对称规律，掌握该规律后无需代入解析式计算即可快速得出答案，是二次函数类小题的常见考法。
【难度系数】
0.9
5. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的变量$x,y$的部分对应值如表：
根据表中信息，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的取值范围是（
A.$-3＜x_1＜-2$
B.$-2＜x_1＜-1$
C.$-1＜x_1＜0$
D.$0＜x_1＜1$
根据表中信息，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的取值范围是（
C
）A.$-3＜x_1＜-2$
B.$-2＜x_1＜-1$
C.$-1＜x_1＜0$
D.$0＜x_1＜1$
答案
5. C
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似解的取值范围，首先明确该方程的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。因为二次函数的图象是连续的抛物线，所以当相邻两个$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间的区间内必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的解。我们只需观察表格中相邻$x$对应的$y$值的符号变化，找到$y$由负变正或由正变负的区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时对应的$x$值。
观察表格数据：
当$x=-1$时，$y=-1＜0$；
当$x=0$时，$y=1＞0$。
由于二次函数图象是连续的曲线，因此在$-1＜x＜0$的区间内，一定存在一个$x_1$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的取值范围是$-1＜x_1＜0$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象性质、近似解估算
【点评】
本题核心是利用二次函数的连续性和函数值的符号变化估算一元二次方程的近似解，解题关键是建立二次函数与对应一元二次方程的联系，难度不大，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似解的取值范围，首先明确该方程的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。因为二次函数的图象是连续的抛物线，所以当相邻两个$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间的区间内必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的解。我们只需观察表格中相邻$x$对应的$y$值的符号变化，找到$y$由负变正或由正变负的区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时对应的$x$值。
观察表格数据：
当$x=-1$时，$y=-1＜0$；
当$x=0$时，$y=1＞0$。
由于二次函数图象是连续的曲线，因此在$-1＜x＜0$的区间内，一定存在一个$x_1$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的取值范围是$-1＜x_1＜0$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象性质、近似解估算
【点评】
本题核心是利用二次函数的连续性和函数值的符号变化估算一元二次方程的近似解，解题关键是建立二次函数与对应一元二次方程的联系，难度不大，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
6. 已知二次函数$y=ax^2+bx+\frac{5}{2}$的图象经过点$(-3,7)$和$(-1,1)$，则当$-2≤ x≤1$时，函数的最大值与最小值之差是（
A.4
B.8
C.6
D.10
C
）A.4
B.8
C.6
D.10
答案
6. C
解析
【分析】要计算给定区间内函数的最大值与最小值之差，首先需确定二次函数的解析式。已知函数图象经过两个点，可代入点的坐标列二元一次方程组，求解得到系数a、b；再将解析式化为顶点式，找到对称轴，结合二次函数开口方向，判断区间[-2,1]内的最值位置，分别计算最值后求差即可。
【解析】
步骤1：代入已知点列方程组求a、b
将点$(-3,7)$、$(-1,1)$分别代入二次函数$y=ax^2+bx+\frac{5}{2}$，得：
$\begin{cases} 9a - 3b + \frac{5}{2} =7 \\ a - b + \frac{5}{2}=1 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程整理得$9a - 3b = \frac{9}{2}$，两边除以3得$3a - b = \frac{3}{2}$ ①
第二个方程整理得$a - b = -\frac{3}{2}$ ②
用①-②消去b：$2a=3$，解得$a=\frac{3}{2}$
将$a=\frac{3}{2}$代入②，得$\frac{3}{2} - b = -\frac{3}{2}$，解得$b=3$
所以二次函数解析式为$y=\frac{3}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2}$
步骤2：化为顶点式确定对称轴与开口方向
对解析式配方：
$y=\frac{3}{2}(x^2 + 2x) + \frac{5}{2} = \frac{3}{2}(x+1)^2 - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{3}{2}(x+1)^2 +1$
可知$a=\frac{3}{2}＞0$，函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$
步骤3：计算区间$[-2,1]$内的最值
因为开口向上，所以顶点为区间内的最低点，即最小值为$y_{min}=1$（在$x=-1$处取得）
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=\frac{3}{2}(-2+1)^2 +1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$
当$x=1$时，$y=\frac{3}{2}(1+1)^2 +1=6 +1=7$
所以区间内最大值$y_{max}=7$
步骤4：计算最值差
最大值与最小值之差为$7 - 1 =6$
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】本题是二次函数的基础综合题，解题关键是先准确求出函数解析式，再结合开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，计算时要注意运算的准确性。
【难度系数】0.7
【解析】
步骤1：代入已知点列方程组求a、b
将点$(-3,7)$、$(-1,1)$分别代入二次函数$y=ax^2+bx+\frac{5}{2}$，得：
$\begin{cases} 9a - 3b + \frac{5}{2} =7 \\ a - b + \frac{5}{2}=1 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程整理得$9a - 3b = \frac{9}{2}$，两边除以3得$3a - b = \frac{3}{2}$ ①
第二个方程整理得$a - b = -\frac{3}{2}$ ②
用①-②消去b：$2a=3$，解得$a=\frac{3}{2}$
将$a=\frac{3}{2}$代入②，得$\frac{3}{2} - b = -\frac{3}{2}$，解得$b=3$
所以二次函数解析式为$y=\frac{3}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2}$
步骤2：化为顶点式确定对称轴与开口方向
对解析式配方：
$y=\frac{3}{2}(x^2 + 2x) + \frac{5}{2} = \frac{3}{2}(x+1)^2 - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{3}{2}(x+1)^2 +1$
可知$a=\frac{3}{2}＞0$，函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$
步骤3：计算区间$[-2,1]$内的最值
因为开口向上，所以顶点为区间内的最低点，即最小值为$y_{min}=1$（在$x=-1$处取得）
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=\frac{3}{2}(-2+1)^2 +1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$
当$x=1$时，$y=\frac{3}{2}(1+1)^2 +1=6 +1=7$
所以区间内最大值$y_{max}=7$
步骤4：计算最值差
最大值与最小值之差为$7 - 1 =6$
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】本题是二次函数的基础综合题，解题关键是先准确求出函数解析式，再结合开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，计算时要注意运算的准确性。
【难度系数】0.7
7. 汽车刹车距离$s$(m)与速度$v$(km/h)之间的函数表达式是 $s=\frac{1}{100}v^2$。在一辆车速为100 km/h的汽车前方80 m处，停放着一辆故障车，此时刹车
会
有危险。(填“会”或“不会”)答案
7. 会
解析
【分析】
要判断刹车是否有危险，核心是计算出车速为100km/h时的刹车距离，再和汽车与故障车的间距80m比较：若刹车距离大于80m就会有危险，反之则没有。我们可以直接将已知的速度值代入题目给出的二次函数表达式，算出对应的刹车距离后比较大小即可。
【解析】
将$v=100$代入函数表达式$s=\frac{1}{100}v^2$得：
$\begin{aligned}s&=\frac{1}{100}× 100^2\\&=\frac{1}{100}× 10000\\&=100(\mathrm{m})\end{aligned}$
因为$100\mathrm{m}＞80\mathrm{m}$，即刹车距离超过了两车的间距，所以此时刹车会有危险。
【答案】
会
【知识点】
二次函数的实际应用；求函数值；有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用，解题关键是准确代入数值计算函数值，再结合实际场景的逻辑判断结果即可，解题逻辑清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.9
要判断刹车是否有危险，核心是计算出车速为100km/h时的刹车距离，再和汽车与故障车的间距80m比较：若刹车距离大于80m就会有危险，反之则没有。我们可以直接将已知的速度值代入题目给出的二次函数表达式，算出对应的刹车距离后比较大小即可。
【解析】
将$v=100$代入函数表达式$s=\frac{1}{100}v^2$得：
$\begin{aligned}s&=\frac{1}{100}× 100^2\\&=\frac{1}{100}× 10000\\&=100(\mathrm{m})\end{aligned}$
因为$100\mathrm{m}＞80\mathrm{m}$，即刹车距离超过了两车的间距，所以此时刹车会有危险。
【答案】
会
【知识点】
二次函数的实际应用；求函数值；有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用，解题关键是准确代入数值计算函数值，再结合实际场景的逻辑判断结果即可，解题逻辑清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.9
8. 抛物线$y=x^2 -2x$与x轴两交点间的距离为
2
。答案
8. 2
解析
【分析】
要求抛物线与x轴两交点间的距离，首先明确x轴上点的纵坐标为0，因此第一步令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求解方程可得两个交点的横坐标，最后计算两个横坐标差的绝对值即为两交点的距离。
【解析】
解：令$y=0$，可得方程：
$x^2 - 2x = 0$
对左边因式分解得：$x(x-2)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$
即抛物线与x轴的两个交点坐标为$(0,0)$和$(2,0)$
两交点间的距离为$|2 - 0|=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数与x轴交点求解、一元二次方程的解法、x轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数相关的基础计算题，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，掌握求二次函数与坐标轴交点的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要求抛物线与x轴两交点间的距离，首先明确x轴上点的纵坐标为0，因此第一步令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求解方程可得两个交点的横坐标，最后计算两个横坐标差的绝对值即为两交点的距离。
【解析】
解：令$y=0$，可得方程：
$x^2 - 2x = 0$
对左边因式分解得：$x(x-2)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$
即抛物线与x轴的两个交点坐标为$(0,0)$和$(2,0)$
两交点间的距离为$|2 - 0|=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数与x轴交点求解、一元二次方程的解法、x轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数相关的基础计算题，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，掌握求二次函数与坐标轴交点的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
9. 若二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过点$(-2,0),(4,0),(-1,-2.5)$，则一元二次方程$ax^2+bx+c+2.5=0$的根为
$x_1=-1,x_2=3$
。答案
9. $x_1=-1,x_2=3$
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c+2.5=0$的本质是求二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-2.5$时对应的自变量$x$的值。首先根据已知点$(-1,-2.5)$可直接得到一个根，再利用二次函数过$(-2,0)$和$(4,0)$两个与x轴的交点，先求出抛物线的对称轴，最后利用二次函数的对称性，求出与$x=-1$关于对称轴对称的点的横坐标，即为另一个根，无需计算完整的函数解析式，可简化运算。
【解析】
1. 方程转化：一元二次方程$ax^2+bx+c+2.5=0$可变形为$ax^2+bx+c=-2.5$，其根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-2.5$时对应的$x$的值。
2. 确定第一个根：已知二次函数图象过点$(-1,-2.5)$，因此$x_1=-1$是方程$ax^2+bx+c+2.5=0$的一个根。
3. 求对称轴：因为二次函数图象与x轴交于$(-2,0)$和$(4,0)$两点，所以抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
4. 求第二个根：设另一个根为$x_2$，由于函数值相等的两个点关于抛物线对称轴对称，因此横坐标满足$\frac{-1+x_2}{2}=1$，解得$x_2=3$。
综上，一元二次方程的根为$x_1=-1,x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
二次函数与方程的关系、二次函数对称性、对称轴计算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，巧妙利用二次函数的对称性可以避免繁琐的解析式求解过程，简化计算，是二次函数性质的常见应用方向，需要熟练掌握函数和方程的转化逻辑以及对称性的使用方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c+2.5=0$的本质是求二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-2.5$时对应的自变量$x$的值。首先根据已知点$(-1,-2.5)$可直接得到一个根，再利用二次函数过$(-2,0)$和$(4,0)$两个与x轴的交点，先求出抛物线的对称轴，最后利用二次函数的对称性，求出与$x=-1$关于对称轴对称的点的横坐标，即为另一个根，无需计算完整的函数解析式，可简化运算。
【解析】
1. 方程转化：一元二次方程$ax^2+bx+c+2.5=0$可变形为$ax^2+bx+c=-2.5$，其根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-2.5$时对应的$x$的值。
2. 确定第一个根：已知二次函数图象过点$(-1,-2.5)$，因此$x_1=-1$是方程$ax^2+bx+c+2.5=0$的一个根。
3. 求对称轴：因为二次函数图象与x轴交于$(-2,0)$和$(4,0)$两点，所以抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
4. 求第二个根：设另一个根为$x_2$，由于函数值相等的两个点关于抛物线对称轴对称，因此横坐标满足$\frac{-1+x_2}{2}=1$，解得$x_2=3$。
综上，一元二次方程的根为$x_1=-1,x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
二次函数与方程的关系、二次函数对称性、对称轴计算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，巧妙利用二次函数的对称性可以避免繁琐的解析式求解过程，简化计算，是二次函数性质的常见应用方向，需要熟练掌握函数和方程的转化逻辑以及对称性的使用方法。
【难度系数】
0.7
10. 若函数$y=mx^2+(m+2)x+\frac{1}{2}m+1$的图象与$x$轴只有一个交点，则$m$的值为
0或2或-2
。答案
10. 0或2或-2
解析
【分析】
本题需分情况讨论函数类型：首先题目未明确函数是二次函数，因此先考虑二次项系数m=0的情况，此时函数为一次函数，一次函数图象与x轴仅有一个交点，符合题意；再考虑m≠0的情况，此时函数为二次函数，图象与x轴只有一个交点等价于判别式Δ=0，代入系数求解即可得到对应的m值，最后汇总所有符合条件的m值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，函数解析式为$y=2x+1$，属于一次函数，其图象是直线，与x轴只有一个交点，符合题意，故$m=0$成立；
2. 当$m≠0$时，函数$y=mx^2+(m+2)x+\frac{1}{2}m+1$是二次函数，若图象与x轴只有一个交点，则判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，其中$a=m$，$b=m+2$，$c=\frac{1}{2}m+1$，代入得：
$\begin{aligned}(m+2)^2 - 4m(\frac{1}{2}m + 1)&=0\\m^2 +4m +4 - 2m^2 -4m&=0\\-m^2 +4&=0\\m^2&=4\end{aligned}$
解得$m=2$或$m=-2$，均满足$m≠0$的条件。
综上，m的值为0或2或-2。
【答案】
0或2或-2
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略函数为一次函数的情况，直接默认函数是二次函数仅用判别式求解，导致漏解。解题时需注意，若二次项系数含参数且未明确函数类型时，必须先讨论二次项系数为0的情况，再分析二次函数的情形，考查分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
本题需分情况讨论函数类型：首先题目未明确函数是二次函数，因此先考虑二次项系数m=0的情况，此时函数为一次函数，一次函数图象与x轴仅有一个交点，符合题意；再考虑m≠0的情况，此时函数为二次函数，图象与x轴只有一个交点等价于判别式Δ=0，代入系数求解即可得到对应的m值，最后汇总所有符合条件的m值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，函数解析式为$y=2x+1$，属于一次函数，其图象是直线，与x轴只有一个交点，符合题意，故$m=0$成立；
2. 当$m≠0$时，函数$y=mx^2+(m+2)x+\frac{1}{2}m+1$是二次函数，若图象与x轴只有一个交点，则判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，其中$a=m$，$b=m+2$，$c=\frac{1}{2}m+1$，代入得：
$\begin{aligned}(m+2)^2 - 4m(\frac{1}{2}m + 1)&=0\\m^2 +4m +4 - 2m^2 -4m&=0\\-m^2 +4&=0\\m^2&=4\end{aligned}$
解得$m=2$或$m=-2$，均满足$m≠0$的条件。
综上，m的值为0或2或-2。
【答案】
0或2或-2
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略函数为一次函数的情况，直接默认函数是二次函数仅用判别式求解，导致漏解。解题时需注意，若二次项系数含参数且未明确函数类型时，必须先讨论二次项系数为0的情况，再分析二次函数的情形，考查分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
