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变式 如图,现打算用60 m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF),菜园的一面靠墙MN,墙MN可利用的长度为39 m。(篱笆的宽度忽略不计)
(1)菜园的面积可能为252 m²吗?若可能,求边AB的长;若不可能,请说明理由。
(2)因场地限制,菜园的宽度AB不能超过8 m,求该菜园面积的最大值。
(1)菜园的面积可能为252 m²吗?若可能,求边AB的长;若不可能,请说明理由。
(2)因场地限制,菜园的宽度AB不能超过8 m,求该菜园面积的最大值。
答案
解:(1)设AB的长为x m，则BC的长为(60-3x)m，
根据题意得$x(60-3x)=252$，解得$x=6$或$x=14$。
当$x=6$时，$BC=60-18=42＞39$，舍去；
当$x=14$时，$BC=60-42=18＜39$，满足题意。
所以菜园的面积可能是$252\ \mathrm{m}^2$，此时边AB的长为14 m。
(2)设AB的长为x m，菜园面积为$y\ \mathrm{m}^2$，
由题意得$y=x(60-3x)=-3x^2+60x=-3(x-10)^2+300$。
因为$-3＜0$，所以当$x＜10$时，y随x的增大而增大。
因为$0＜x≤8$，所以当$x=8$时，y最大，最大值为288。
答：该菜园面积的最大值为$288\ \mathrm{m}^2$。
根据题意得$x(60-3x)=252$，解得$x=6$或$x=14$。
当$x=6$时，$BC=60-18=42＞39$，舍去；
当$x=14$时，$BC=60-42=18＜39$，满足题意。
所以菜园的面积可能是$252\ \mathrm{m}^2$，此时边AB的长为14 m。
(2)设AB的长为x m，菜园面积为$y\ \mathrm{m}^2$，
由题意得$y=x(60-3x)=-3x^2+60x=-3(x-10)^2+300$。
因为$-3＜0$，所以当$x＜10$时，y随x的增大而增大。
因为$0＜x≤8$，所以当$x=8$时，y最大，最大值为288。
答：该菜园面积的最大值为$288\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1)要判断菜园面积能否为252 m²，首先根据“日”字形篱笆结构，设垂直于墙的边长AB为x m，可得平行于墙的边BC长度为总篱笆长减去3段垂直墙的边长，即(60-3x)m。结合矩形面积公式列方程求解，再根据墙的可用长度39 m验证BC的长度是否符合要求，舍去不符合的解即可。
(2)求面积最大值，先建立面积y关于x的二次函数关系式，将其配方为顶点式，根据二次函数的开口方向和增减性，结合AB≤8 m的限制条件，找到对应x的取值计算面积最大值即可。
【解析】
(1)设AB的长为x m，则BC的长为(60-3x)m，
根据题意得：$x(60-3x)=252$，
解得$x=6$或$x=14$。
当$x=6$时，$BC=60-18=42＞39$，不符合墙的长度限制，舍去；
当$x=14$时，$BC=60-42=18＜39$，满足题意。
(2)设AB的长为x m，菜园面积为$y\ \mathrm{m}^2$，
由题意得：$y=x(60-3x)=-3x^2+60x=-3(x-10)^2+300$，
$\because -3＜0$，$\therefore$当$x＜10$时，y随x的增大而增大，
又$\because 0＜x≤8$，$\therefore$当$x=8$时，y取得最大值，最大值为$-3×(8-10)^2+300=288$。
【答案】
(1)可能，边AB的长为14 m；
(2)$\boxed{288\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
一元二次方程的应用，二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查方程与函数的应用，解题时需注意题目给出的实际约束条件，避免忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
(1)要判断菜园面积能否为252 m²，首先根据“日”字形篱笆结构，设垂直于墙的边长AB为x m，可得平行于墙的边BC长度为总篱笆长减去3段垂直墙的边长，即(60-3x)m。结合矩形面积公式列方程求解，再根据墙的可用长度39 m验证BC的长度是否符合要求，舍去不符合的解即可。
(2)求面积最大值，先建立面积y关于x的二次函数关系式，将其配方为顶点式，根据二次函数的开口方向和增减性，结合AB≤8 m的限制条件，找到对应x的取值计算面积最大值即可。
【解析】
(1)设AB的长为x m，则BC的长为(60-3x)m，
根据题意得：$x(60-3x)=252$，
解得$x=6$或$x=14$。
当$x=6$时，$BC=60-18=42＞39$，不符合墙的长度限制，舍去；
当$x=14$时，$BC=60-42=18＜39$，满足题意。
(2)设AB的长为x m，菜园面积为$y\ \mathrm{m}^2$，
由题意得：$y=x(60-3x)=-3x^2+60x=-3(x-10)^2+300$，
$\because -3＜0$，$\therefore$当$x＜10$时，y随x的增大而增大，
又$\because 0＜x≤8$，$\therefore$当$x=8$时，y取得最大值，最大值为$-3×(8-10)^2+300=288$。
【答案】
(1)可能，边AB的长为14 m；
(2)$\boxed{288\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
一元二次方程的应用，二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查方程与函数的应用，解题时需注意题目给出的实际约束条件，避免忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
例10 如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + 2x + c$ 经过点 $A(0,3)$，将该抛物线平移后，点 $A(0,3)$ 到达点 $B(4,1)$ 的位置。
(1)求平移后抛物线的函数表达式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线。
(2)若过点 $B$ 且平行于 $y$ 轴的直线交原抛物线于点 $C$，求线段 $BC$ 的长。
(3)若平行于 $y$ 轴的直线 $l:x=m$ 与两条抛物线的交点是 $P,Q$，当线段 $PQ$ 的长度大于6时，求 $m$ 的取值范围。
(1)求平移后抛物线的函数表达式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线。
(2)若过点 $B$ 且平行于 $y$ 轴的直线交原抛物线于点 $C$，求线段 $BC$ 的长。
(3)若平行于 $y$ 轴的直线 $l:x=m$ 与两条抛物线的交点是 $P,Q$，当线段 $PQ$ 的长度大于6时，求 $m$ 的取值范围。
答案
解:(1)因为抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+c$经过点A(0,3)，所以$c=3$，所以$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3=\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$。
由题意可知，抛物线向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，所以平移后抛物线的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x+2-4)^2+1-2$，即$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-1$。平移后的抛物线如图所示
。(2)把$x=4$代入$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3$，得$y=\dfrac{1}{2}×16+2×4+3=19$，
所以$C(4,19)$，所以$BC=19-1=18$。
(3)由题意得$\left|\dfrac{1}{2}m^2+2m+3-\dfrac{1}{2}(m-2)^2+1\right|＞6$，
整理得$|4m+2|＞6$，解得$m＞1$或$m＜-2$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先将点A(0,3)代入原抛物线解析式求出参数c，再将原抛物线化为顶点式方便平移计算。根据点A到点B的坐标变化确定平移规则为向右平移4个单位、向下平移2个单位，按照抛物线平移“左加右减、上加下减”的规律即可得到平移后的解析式。
2. 第(2)问：过点B且平行于y轴的直线横坐标为4，将x=4代入原抛物线求出点C的纵坐标，由于B、C横坐标相同，线段BC长度为两点纵坐标的差值。
3. 第(3)问：直线x=m与两条抛物线交点的纵坐标分别对应两条抛物线x=m时的函数值，线段PQ长度为两个纵坐标差的绝对值，据此列绝对值不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 把$A(0,3)$代入$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+c$，得$c=3$，因此原抛物线解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3$，配方得$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$。
由点$A(0,3)$平移到$B(4,1)$可知，平移规则为：向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度。根据抛物线平移规律，平移后解析式为$y=\dfrac{1}{2}(x+2-4)^2+1-2$，化简得$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-1$。
平移后的抛物线如图所示。
(2) 过B且平行于y轴的直线为$x=4$，将$x=4$代入原抛物线解析式$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3$，得$y=\dfrac{1}{2}× 16 + 2×4 +3=19$，即$C(4,19)$。
因为$B(4,1)$，所以$BC=19-1=18$。
(3) 当$x=m$时，原抛物线对应点纵坐标为$y_1=\dfrac{1}{2}m^2+2m+3$，平移后抛物线对应点纵坐标为$y_2=\dfrac{1}{2}(m-2)^2-1$。
由题意得$\left|\dfrac{1}{2}m^2+2m+3-[\dfrac{1}{2}(m-2)^2-1]\right|＞6$，化简得$|4m+2|＞6$。
解不等式：当$4m+2＞0$时，$4m+2＞6$，解得$m＞1$；当$4m+2＜0$时，$-(4m+2)＞6$，解得$m＜-2$。
【答案】
(1) 平移后抛物线的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-1$，平移后的抛物线如图所示。
(2) 线段$BC$的长为18。
(3) $m$的取值范围是$m＞1$或$m＜-2$。
【知识点】
抛物线平移规律，二次函数解析式求解，绝对值不等式解法
【点评】
本题是二次函数基础考点的典型综合题，围绕二次函数平移展开，兼顾了解析式求解、线段长度计算、不等式求解多个考点，核心要求熟练掌握抛物线平移规则和平行于y轴的线段长度计算方法。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先将点A(0,3)代入原抛物线解析式求出参数c，再将原抛物线化为顶点式方便平移计算。根据点A到点B的坐标变化确定平移规则为向右平移4个单位、向下平移2个单位，按照抛物线平移“左加右减、上加下减”的规律即可得到平移后的解析式。
2. 第(2)问：过点B且平行于y轴的直线横坐标为4，将x=4代入原抛物线求出点C的纵坐标，由于B、C横坐标相同，线段BC长度为两点纵坐标的差值。
3. 第(3)问：直线x=m与两条抛物线交点的纵坐标分别对应两条抛物线x=m时的函数值，线段PQ长度为两个纵坐标差的绝对值，据此列绝对值不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 把$A(0,3)$代入$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+c$，得$c=3$，因此原抛物线解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3$，配方得$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$。
由点$A(0,3)$平移到$B(4,1)$可知，平移规则为：向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度。根据抛物线平移规律，平移后解析式为$y=\dfrac{1}{2}(x+2-4)^2+1-2$，化简得$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-1$。
平移后的抛物线如图所示
。(2) 过B且平行于y轴的直线为$x=4$，将$x=4$代入原抛物线解析式$y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3$，得$y=\dfrac{1}{2}× 16 + 2×4 +3=19$，即$C(4,19)$。
因为$B(4,1)$，所以$BC=19-1=18$。
(3) 当$x=m$时，原抛物线对应点纵坐标为$y_1=\dfrac{1}{2}m^2+2m+3$，平移后抛物线对应点纵坐标为$y_2=\dfrac{1}{2}(m-2)^2-1$。
由题意得$\left|\dfrac{1}{2}m^2+2m+3-[\dfrac{1}{2}(m-2)^2-1]\right|＞6$，化简得$|4m+2|＞6$。
解不等式：当$4m+2＞0$时，$4m+2＞6$，解得$m＞1$；当$4m+2＜0$时，$-(4m+2)＞6$，解得$m＜-2$。
【答案】
(1) 平移后抛物线的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-1$，平移后的抛物线如图所示
。(2) 线段$BC$的长为18。
(3) $m$的取值范围是$m＞1$或$m＜-2$。
【知识点】
抛物线平移规律，二次函数解析式求解，绝对值不等式解法
【点评】
本题是二次函数基础考点的典型综合题，围绕二次函数平移展开，兼顾了解析式求解、线段长度计算、不等式求解多个考点，核心要求熟练掌握抛物线平移规则和平行于y轴的线段长度计算方法。
【难度系数】
0.7
变式 如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连结CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连结DF，DG，则△DFG面积的最小值为
$\dfrac{3}{2}$
。答案
$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
我们可以采用坐标法解决问题：首先建立平面直角坐标系，标注正方形ABCD各顶点坐标，设动点E的横坐标为参数，利用正方形边垂直且相等的性质推导得到点F、G的坐标，再通过坐标法计算△DFG的面积，将其整理为关于参数的二次函数，最后根据参数的取值范围，结合二次函数的性质求出面积的最小值。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设$B(0,0)$，则$A(0,2)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
∵E在AD上，设E的坐标为$(t,2)$，其中$0≤ t≤2$，
∴向量$\overrightarrow{CE}=(t-2,2)$，
∵四边形CEFG是正方形，
∴向量$\overrightarrow{CG}$是$\overrightarrow{CE}$顺时针旋转$90°$得到的，即$\overrightarrow{CG}=(2,2-t)$，且$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CG}=(2,2-t)$，
∴G点坐标为$C+\overrightarrow{CG}=(2+2,0+2-t)=(4,2-t)$，
F点坐标为$E+\overrightarrow{EF}=(t+2,2+2-t)=(t+2,4-t)$，
根据三点坐标求三角形面积的公式：
$S_{△ DFG}=\frac{1}{2}\left| x_D(y_F-y_G)+x_F(y_G-y_D)+x_G(y_D-y_F) \right|$
代入坐标化简：
$=\frac{1}{2}\left| 2×[(4-t)-(2-t)] + (t+2)×[(2-t)-2] + 4×[2-(4-t)] \right|$
$=\frac{1}{2}\left| 4 - t^2 -2t +4t -8 \right|$
$=\frac{1}{2}\left| -(t-1)^2 -3 \right|$
$=\frac{1}{2}[(t-1)^2 + 3]$
∵$0≤ t≤2$，二次项系数为正，
∴当$t=1$时，$(t-1)^2=0$，此时$S_{△ DFG}$取得最小值，最小值为$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
正方形的性质，二次函数的最值，坐标法求面积
【点评】
本题将动点问题与几何图形性质、函数最值结合，解题的核心是通过建立坐标系将几何问题转化为代数问题，利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
我们可以采用坐标法解决问题：首先建立平面直角坐标系，标注正方形ABCD各顶点坐标，设动点E的横坐标为参数，利用正方形边垂直且相等的性质推导得到点F、G的坐标，再通过坐标法计算△DFG的面积，将其整理为关于参数的二次函数，最后根据参数的取值范围，结合二次函数的性质求出面积的最小值。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设$B(0,0)$，则$A(0,2)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
∵E在AD上，设E的坐标为$(t,2)$，其中$0≤ t≤2$，
∴向量$\overrightarrow{CE}=(t-2,2)$，
∵四边形CEFG是正方形，
∴向量$\overrightarrow{CG}$是$\overrightarrow{CE}$顺时针旋转$90°$得到的，即$\overrightarrow{CG}=(2,2-t)$，且$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CG}=(2,2-t)$，
∴G点坐标为$C+\overrightarrow{CG}=(2+2,0+2-t)=(4,2-t)$，
F点坐标为$E+\overrightarrow{EF}=(t+2,2+2-t)=(t+2,4-t)$，
根据三点坐标求三角形面积的公式：
$S_{△ DFG}=\frac{1}{2}\left| x_D(y_F-y_G)+x_F(y_G-y_D)+x_G(y_D-y_F) \right|$
代入坐标化简：
$=\frac{1}{2}\left| 2×[(4-t)-(2-t)] + (t+2)×[(2-t)-2] + 4×[2-(4-t)] \right|$
$=\frac{1}{2}\left| 4 - t^2 -2t +4t -8 \right|$
$=\frac{1}{2}\left| -(t-1)^2 -3 \right|$
$=\frac{1}{2}[(t-1)^2 + 3]$
∵$0≤ t≤2$，二次项系数为正，
∴当$t=1$时，$(t-1)^2=0$，此时$S_{△ DFG}$取得最小值，最小值为$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
正方形的性质，二次函数的最值，坐标法求面积
【点评】
本题将动点问题与几何图形性质、函数最值结合，解题的核心是通过建立坐标系将几何问题转化为代数问题，利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
