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1. $\tan 30°$的值为 （
A.$1$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C
）A.$1$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值，解题思路如下：首先明确锐角正切的定义是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，我们可以通过构造含30°角的直角三角形，结合三边关系推导tan30°的值，也可以直接调用已识记的特殊角三角函数值直接判断。
【解析】
方法一：推导法
在含30°角的直角三角形中，根据直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，设30°角对的直角边长为1，则斜边长为2。
由勾股定理可得，另一条直角边（即30°角的邻边）长为$\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
根据正切的定义，$\tan30°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
方法二：识记法
直接记忆特殊角的三角函数值可得$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 正切的定义
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对特殊角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°三个特殊锐角的三角函数值，就能快速完成这类题的解答。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角的三角函数值，解题思路如下：首先明确锐角正切的定义是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，我们可以通过构造含30°角的直角三角形，结合三边关系推导tan30°的值，也可以直接调用已识记的特殊角三角函数值直接判断。
【解析】
方法一：推导法
在含30°角的直角三角形中，根据直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，设30°角对的直角边长为1，则斜边长为2。
由勾股定理可得，另一条直角边（即30°角的邻边）长为$\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
根据正切的定义，$\tan30°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
方法二：识记法
直接记忆特殊角的三角函数值可得$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 正切的定义
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对特殊角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°三个特殊锐角的三角函数值，就能快速完成这类题的解答。
【难度系数】
0.9
2. 下列三角函数的值是1的是（
A.$\sin 45°$
B.$\tan 30°$
C.$\cos 45°$
D.$\tan 45°$
D
）A.$\sin 45°$
B.$\tan 30°$
C.$\cos 45°$
D.$\tan 45°$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值的识记，解题思路是逐一计算每个选项对应三角函数的取值，再与1进行比对，即可选出正确答案。解题时需要牢记30°、45°、60°这三个常用特殊角的正弦、余弦、正切值，逐个验证选项即可。
【解析】
我们分别计算各选项的三角函数值：
A. $\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}≠1$，不符合题意；
B. $\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}≠1$，不符合题意；
C. $\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}≠1$，不符合题意；
D. $\tan45°=1$，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见特殊角三角函数值的掌握程度，准确识记相关数值即可快速得分，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的三角函数值的识记，解题思路是逐一计算每个选项对应三角函数的取值，再与1进行比对，即可选出正确答案。解题时需要牢记30°、45°、60°这三个常用特殊角的正弦、余弦、正切值，逐个验证选项即可。
【解析】
我们分别计算各选项的三角函数值：
A. $\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}≠1$，不符合题意；
B. $\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}≠1$，不符合题意；
C. $\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}≠1$，不符合题意；
D. $\tan45°=1$，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见特殊角三角函数值的掌握程度，准确识记相关数值即可快速得分，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 若$∠ α$的余角是$30°$，则$\cos α$的值是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据余角的定义：互余的两个角度数之和为90°，计算出∠α的度数，再结合所学的特殊角的三角函数值，求出cosα的结果，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：
∵互为余角的两个角的和为90°，∠α的余角是30°
∴∠α = 90° - 30° = 60°
根据特殊角的三角函数值可知：$\cos60°=\frac{1}{2}$
即$\cosα=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对基础概念的记忆与应用，熟练掌握余角的性质和常见特殊角的三角函数值就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，首先根据余角的定义：互余的两个角度数之和为90°，计算出∠α的度数，再结合所学的特殊角的三角函数值，求出cosα的结果，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：
∵互为余角的两个角的和为90°，∠α的余角是30°
∴∠α = 90° - 30° = 60°
根据特殊角的三角函数值可知：$\cos60°=\frac{1}{2}$
即$\cosα=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对基础概念的记忆与应用，熟练掌握余角的性质和常见特殊角的三角函数值就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AC=\sqrt{3}$，那么$∠ B$的度数是（
A.$15°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$60°$
D
）A.$15°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$60°$
答案
4. D
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知边长求锐角度数的问题，解题思路如下：第一步，先确定要求的∠B的对边和邻边长度，选择合适的锐角三角函数（正切函数，因为正切是对边与邻边的比值，本题刚好已知两条直角边）；第二步，计算∠B的正切值；第三步，结合特殊角的三角函数值，对应得出∠B的度数即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切函数的定义，$\tan B = \frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边} = \frac{AC}{BC}$，
代入已知$BC=1$，$AC=\sqrt{3}$，可得：
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$，
又因为$\tan60° = \sqrt{3}$，所以$∠ B=60°$。
【答案】
D
【知识点】
正切函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，以及牢记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中已知边长求锐角度数的问题，解题思路如下：第一步，先确定要求的∠B的对边和邻边长度，选择合适的锐角三角函数（正切函数，因为正切是对边与邻边的比值，本题刚好已知两条直角边）；第二步，计算∠B的正切值；第三步，结合特殊角的三角函数值，对应得出∠B的度数即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切函数的定义，$\tan B = \frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边} = \frac{AC}{BC}$，
代入已知$BC=1$，$AC=\sqrt{3}$，可得：
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$，
又因为$\tan60° = \sqrt{3}$，所以$∠ B=60°$。
【答案】
D
【知识点】
正切函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，以及牢记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 李红同学遇到了这样一道题:$\tan(α + 20°)=1$,你猜想锐角$α$的度数应是（
A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$15°$
C
）A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$15°$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先回忆特殊角的正切函数值，我们已知$\tan45°=1$，结合题目给出的$\tan(α + 20°)=1$，可先得到$α+20°$的可能取值；再根据$α$是锐角的限制条件，确定$α+20°$的取值范围，筛选出符合条件的角度后，列等式求解$α$即可。
【解析】
解：$\because \tan45°=1$，且$\tan(α + 20°)=1$
$\therefore α+20°=45°+k·180°$（$k$为整数）
又$\because α$是锐角，即$0°＜α＜90°$
$\therefore 20°＜α+20°＜110°$
仅当$k=0$时符合取值范围，即$α+20°=45°$
解得$α=45°-20°=25°$，符合锐角要求。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，只要熟记常见特殊角的三角函数值，结合锐角的取值范围排除不符合的解，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆特殊角的正切函数值，我们已知$\tan45°=1$，结合题目给出的$\tan(α + 20°)=1$，可先得到$α+20°$的可能取值；再根据$α$是锐角的限制条件，确定$α+20°$的取值范围，筛选出符合条件的角度后，列等式求解$α$即可。
【解析】
解：$\because \tan45°=1$，且$\tan(α + 20°)=1$
$\therefore α+20°=45°+k·180°$（$k$为整数）
又$\because α$是锐角，即$0°＜α＜90°$
$\therefore 20°＜α+20°＜110°$
仅当$k=0$时符合取值范围，即$α+20°=45°$
解得$α=45°-20°=25°$，符合锐角要求。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，只要熟记常见特殊角的三角函数值，结合锐角的取值范围排除不符合的解，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
6. $2\cos 45°$的值等于
$\sqrt{2}$
。答案
6. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题时首先回忆45°角的余弦值，再将其代入原式进行乘法计算，化简后即可得到最终结果。
【解析】
根据特殊角的三角函数值，可得$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$2\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见特殊角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°的三类三角函数值是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题时首先回忆45°角的余弦值，再将其代入原式进行乘法计算，化简后即可得到最终结果。
【解析】
根据特殊角的三角函数值，可得$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$2\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见特殊角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°的三类三角函数值是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$\tan B=$
$1$
。答案
7. 1
解析
【分析】
解题思路如下：① 首先明确在直角三角形中，∠C=90°，因此∠A为锐角，可根据已知的sinA的值结合特殊角的三角函数值确定∠A的度数；② 利用直角三角形两锐角互余的性质，计算出∠B的度数；③ 再代入特殊角的正切值即可求出tanB的结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ ∠A是锐角，
又
∵ $\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $∠ A=45°$，
∴ $∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$，
∴ $\tan B=\tan45°=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的记忆和直角三角形基本性质的应用，只要熟练掌握常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：① 首先明确在直角三角形中，∠C=90°，因此∠A为锐角，可根据已知的sinA的值结合特殊角的三角函数值确定∠A的度数；② 利用直角三角形两锐角互余的性质，计算出∠B的度数；③ 再代入特殊角的正切值即可求出tanB的结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ ∠A是锐角，
又
∵ $\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $∠ A=45°$，
∴ $∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$，
∴ $\tan B=\tan45°=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的记忆和直角三角形基本性质的应用，只要熟练掌握常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8. 在$△ ABC$中，已知角$A,B$为锐角，且$\cos \dfrac{A+B}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$△ ABC$是________三角形。
答案
8. 直角
解析
【分析】
解题时首先结合已知的余弦值，回忆特殊角的三角函数值，先确定$\frac{A+B}{2}$的度数：因为角A、B都是锐角，所以$\frac{A+B}{2}$的取值范围在0°到90°之间，而余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的锐角只有45°，由此可求出A+B的度数，再结合三角形内角和为180°计算出角C的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵角A、B为锐角，
∴$0° ＜ A+B ＜ 180°$，
∴$0° ＜ \frac{A+B}{2} ＜ 90°$，
∵$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\cos \dfrac{A+B}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{A+B}{2}=45°$，
∴$A+B=90°$，
∵在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
∴$∠ C=180° - (∠ A+∠ B)=180° -90°=90°$，
∴$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊角的三角函数值的应用，以及三角形内角和定理的使用，解题关键是熟记常见特殊角的三角函数值，结合角的取值范围确定对应角的度数，进而判断三角形形状。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合已知的余弦值，回忆特殊角的三角函数值，先确定$\frac{A+B}{2}$的度数：因为角A、B都是锐角，所以$\frac{A+B}{2}$的取值范围在0°到90°之间，而余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的锐角只有45°，由此可求出A+B的度数，再结合三角形内角和为180°计算出角C的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵角A、B为锐角，
∴$0° ＜ A+B ＜ 180°$，
∴$0° ＜ \frac{A+B}{2} ＜ 90°$，
∵$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\cos \dfrac{A+B}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{A+B}{2}=45°$，
∴$A+B=90°$，
∵在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
∴$∠ C=180° - (∠ A+∠ B)=180° -90°=90°$，
∴$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊角的三角函数值的应用，以及三角形内角和定理的使用，解题关键是熟记常见特殊角的三角函数值，结合角的取值范围确定对应角的度数，进而判断三角形形状。
【难度系数】
0.85
9. 小明的一道错题如下所示,请仔细观察并解决以下问题:
$6\sin 60° - 3\tan 45° + \sqrt{9}$
$=6×\frac{\sqrt{3}}{3} - 3×\sqrt{3} + 3···$①
$=2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3···$②
$=-\sqrt{3} + 3···$③
(1)错误步骤:
(2)写出正确的解答步骤。
$6\sin 60° - 3\tan 45° + \sqrt{9}$
$=6×\frac{\sqrt{3}}{3} - 3×\sqrt{3} + 3···$①
$=2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3···$②
$=-\sqrt{3} + 3···$③
(1)错误步骤:
①
。(填最先出错的步骤序号即可)(2)写出正确的解答步骤。
答案
9. 解:(1)因为 $\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan 45°=1$,所以第①步开始出现错误。
故答案为①。
(2)原式$=6×\dfrac{\sqrt{3}}{2} -3×1 +3=3\sqrt{3} -3 +3=3\sqrt{3}$。
故答案为①。
(2)原式$=6×\dfrac{\sqrt{3}}{2} -3×1 +3=3\sqrt{3} -3 +3=3\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解决本题的核心是准确记忆特殊角的三角函数值。第(1)问找最先出错的步骤时，先写出$\sin60°$、$\tan45°$的正确取值，再和题干中的步骤逐一对比，即可定位错误步骤；第(2)问先将正确的三角函数值代入原式，再按照实数混合运算的顺序，先算乘法、开方运算，再计算加减，逐步求解即可。
【解析】
(1) 根据特殊角的三角函数值可知：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，对比步骤①，$\sin60°$被错误写为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°$被错误写为$\sqrt{3}$，因此最先出错的步骤是①。
(2) 正确解答步骤：
$\begin{aligned}原式&=6×\frac{\sqrt{3}}{2} - 3×1 + 3\\&=3\sqrt{3} - 3 + 3\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{①}$；(2) $\boxed{3\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 实数混合运算
3. 二次根式运算
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查对特殊角三角函数值的识记能力和实数运算能力，解题的关键是准确记忆30°、45°、60°角的各三角函数值，再按照运算规则逐步计算，避免因记错函数值导致错误。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心是准确记忆特殊角的三角函数值。第(1)问找最先出错的步骤时，先写出$\sin60°$、$\tan45°$的正确取值，再和题干中的步骤逐一对比，即可定位错误步骤；第(2)问先将正确的三角函数值代入原式，再按照实数混合运算的顺序，先算乘法、开方运算，再计算加减，逐步求解即可。
【解析】
(1) 根据特殊角的三角函数值可知：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，对比步骤①，$\sin60°$被错误写为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°$被错误写为$\sqrt{3}$，因此最先出错的步骤是①。
(2) 正确解答步骤：
$\begin{aligned}原式&=6×\frac{\sqrt{3}}{2} - 3×1 + 3\\&=3\sqrt{3} - 3 + 3\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{①}$；(2) $\boxed{3\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 实数混合运算
3. 二次根式运算
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查对特殊角三角函数值的识记能力和实数运算能力，解题的关键是准确记忆30°、45°、60°角的各三角函数值，再按照运算规则逐步计算，避免因记错函数值导致错误。
【难度系数】
0.85
10. 如图,在边长为1的小正方形构成的网格中,$\odot O$的半径为1,圆心O在
格点上,则$\tan∠ EDB=$（
A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
格点上,则$\tan∠ EDB=$（
A
）A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
10. A
解析
【分析】
要求$\tan∠ EDB$的值，直接计算$∠ EDB$的三角函数值较困难，可利用圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，将$∠ EDB$转化为与其相等的、便于计算的圆周角$∠ EAB$，再结合网格特征和正切的定义计算即可。
【解析】
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ EDB = ∠ EAB$。
由题意知，$\odot O$半径为1，圆心$O$在格点，因此$OA=OE=1$，且$OA⊥ OE$，即$△ AOE$是等腰直角三角形，
所以$∠ EAB = 45°$，
因此$\tan∠ EDB = \tan∠ EAB = \tan45° = 1$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，正切的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的核心是利用圆周角定理对所求角进行转化，将陌生的角转化为熟悉的、易计算的角，考查了转化思想的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要求$\tan∠ EDB$的值，直接计算$∠ EDB$的三角函数值较困难，可利用圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，将$∠ EDB$转化为与其相等的、便于计算的圆周角$∠ EAB$，再结合网格特征和正切的定义计算即可。
【解析】
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ EDB = ∠ EAB$。
由题意知，$\odot O$半径为1，圆心$O$在格点，因此$OA=OE=1$，且$OA⊥ OE$，即$△ AOE$是等腰直角三角形，
所以$∠ EAB = 45°$，
因此$\tan∠ EDB = \tan∠ EAB = \tan45° = 1$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，正切的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的核心是利用圆周角定理对所求角进行转化，将陌生的角转化为熟悉的、易计算的角，考查了转化思想的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
