8. 如图，已知BE是$△ ABC$的外接圆$\odot O$的直径，CD是$△ ABC$的高。
(1)求证：$AC · BC = BE · CD$。
(2)已知$CD=6$，$AD=3$，$BD=8$，求$\odot O$的直径BE的长。

解:(1)证明:如图,连结 CE。
因为 BE 是$\odot O$的直径,
所以$∠ ECB=90°$。
因为 $CD⊥ AB$,所以$∠ ADC=90°$,
所以$∠ ECB=∠ ADC$。
又因为$∠ A=∠ E$,
所以$△ ADC∽△ ECB$,
所以$\frac{AC}{EB}=\frac{DC}{CB}$,所以 $AC· BC=BE· CD$。
(2)因为 $CD=6$,$AD=3$,$BD=8$,
所以 $BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$。
因为 $AC· BC=BE· CD$,
所以 $BE=5\sqrt{5}$,所以$\odot O$的直径 BE 的长是 $5\sqrt{5}$。

【分析】
(1)要证明等积式$AC·BC=BE·CD$，通常先将其转化为比例式$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{BC}$，只需证明包含这四条边的两个三角形相似即可。已知BE是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，连接CE可得$Rt△ ECB$，结合CD是$△ ABC$的高可得$Rt△ ADC$，再利用“同弧所对的圆周角相等”得到两组对应角相等，即可证明两三角形相似，进而推出待证等积式。
(2)先在$Rt△ BCD$和$Rt△ ACD$中，分别用勾股定理求出BC、AC的长度，再代入(1)中得到的等积式，即可求解直径BE的长度。
【解析】
(1)证明：如图，连结CE。
∵BE是$\odot O$的直径，
∴$∠ ECB=90°$，
∵CD是$△ ABC$的高，
∴$CD⊥ AB$，即$∠ ADC=90°$，
∴$∠ ECB=∠ ADC$，
又
∵$∠ A$和$∠ E$都是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ A=∠ E$，
∴$△ ADC ∽ △ ECB$，
∴$\frac{AC}{EB}=\frac{DC}{CB}$，交叉相乘得$AC·BC=BE·CD$。
(2)解：已知$CD=6$，$AD=3$，$BD=8$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，
将$AC=3\sqrt{5}$，$BC=10$，$CD=6$代入$AC·BC=BE·CD$，得：
$3\sqrt{5}×10=6× BE$，
解得$BE=5\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\odot O$的直径BE的长是$5\sqrt{5}$。
【知识点】
圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，核心解题思路是通过构造直径所对的直角三角形，借助相似三角形的性质沟通边的关系，同时结合勾股定理计算边长，既考查了基础定理的应用，也锻炼了学生的辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7

9. 如图，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格。某数学兴趣小组要测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底B点45 m远的D处竖立一根高1.5 m的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E，标杆的顶端C和塔顶点A在一条直线上。已知小明的眼睛到地面的距离EF=0.8 m，DF=1 m，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，点B，D，F，M在同一直线上。
方案二：如图2，小华拿着一把长为22 cm的直尺CD站在离善导塔45 m的地方（即点E到AB的距离为45 m），他把手臂向前伸，尺子竖直，CD//AB，尺子两端恰好遮住善导塔（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30 cm。

请采用两种方案分别求善导塔的高度AB。

解:方案一:
如图,过点 E 作 $EH ⊥ CD$,垂足为 H,延长 EH 交 AB 于点 G。
所以 $∠ CHE = ∠ AGE =90°$。
由题意得,$EF=DH=BG=0.8\ \mathrm{m}$,$EH=DF=1\ \mathrm{m}$,$EG=BF=BD+DF=45+1=46(\mathrm{m})$。
因为 $CD=1.5\ \mathrm{m}$,所以 $CH=CD-DH=1.5-0.8=0.7(\mathrm{m})$。
因为$∠ CEH=∠ AEG$,所以$△ CEH∽△ AEG$,
所以$\frac{CH}{AG}=\frac{EH}{EG}$,所以$\frac{0.7}{AG}=\frac{1}{46}$,所以 $AG=32.2\ \mathrm{m}$,
所以 $AB=AG+BG=32.2+0.8=33(\mathrm{m})$。
所以善导塔的高度 AB 为 33 m。
方案二:
如图,过点 E 作 $EP⊥ CD$,垂足为 P,延长 EP 交 AB 于点 N。
因为 $CD// AB$,所以 $EN⊥ AB$。
由题意得,$CD=22\ \mathrm{cm}=0.22\ \mathrm{m}$,
$EP=30\ \mathrm{cm}=0.3\ \mathrm{m}$,$EN=45\ \mathrm{m}$。
因为 $CD// AB$,所以 $∠ EDC = ∠ EBA$,$∠ ECD=∠ EAB$,
所以$△ ECD∽△ EAB$,所以$\frac{EP}{EN}=\frac{CD}{AB}$,所以$\frac{0.3}{45}=\frac{0.22}{AB}$,
解得 $AB=33\ \mathrm{m}$,所以善导塔的高度 AB 为 33 m。

【分析】
本题两个测量方案均通过构造相似三角形求解塔高，解题思路如下：
1. 方案一：过小明眼睛的位置E作平行于地面的水平线，将塔高AB分为两部分，下部BG等于小明眼睛到地面的高度，上部AG可通过△CEH与△AEG相似，利用对应边成比例计算，最终AG+BG即为AB的长度；
2. 方案二：利用直尺与塔身平行的特征，得到△ECD与△EAB相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比，列比例式即可求出AB，注意计算前要将厘米单位换算为米，保证单位统一。
【解析】
方案一：
如图，过点 E 作 $EH ⊥ CD$，垂足为 H，延长 EH 交 AB 于点 G。
可得 $∠ CHE = ∠ AGE =90°$，
由题意得，$EF=DH=BG=0.8\ \mathrm{m}$，$EH=DF=1\ \mathrm{m}$，$EG=BF=BD+DF=45+1=46(\mathrm{m})$，
已知 $CD=1.5\ \mathrm{m}$，所以 $CH=CD-DH=1.5-0.8=0.7(\mathrm{m})$，
又因为 $∠ CEH=∠ AEG$（公共角），所以 $△ CEH∽△ AEG$，
由相似三角形对应边成比例得 $\frac{CH}{AG}=\frac{EH}{EG}$，代入数值得 $\frac{0.7}{AG}=\frac{1}{46}$，解得 $AG=32.2\ \mathrm{m}$，
因此 $AB=AG+BG=32.2+0.8=33(\mathrm{m})$。
方案二：
如图，过点 E 作 $EP⊥ CD$，垂足为 P，延长 EP 交 AB 于点 N。
因为 $CD// AB$，所以 $EN⊥ AB$，
统一单位：$CD=22\ \mathrm{cm}=0.22\ \mathrm{m}$，$EP=30\ \mathrm{cm}=0.3\ \mathrm{m}$，$EN=45\ \mathrm{m}$，
因为 $CD// AB$，所以 $∠ EDC = ∠ EBA$，$∠ ECD=∠ EAB$，所以 $△ ECD∽△ EAB$，
由相似三角形对应高的比等于相似比得 $\frac{EP}{EN}=\frac{CD}{AB}$，代入数值得 $\frac{0.3}{45}=\frac{0.22}{AB}$，
解得 $AB=33\ \mathrm{m}$。
【答案】
两种方案均求得善导塔的高度AB为33 m。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题结合真实的古建筑测量场景，考查相似三角形的实际应用，要求学生能从实际问题中抽象出相似三角形几何模型，找准对应边、对应高的比例关系，解题时需注意单位统一，是一类典型的几何应用问题，能有效锻炼学生的数学建模与运算能力。
【难度系数】
0.7