登录
11. 在锐角三角形ABC中,若$(\tan C - \sqrt{3})^2 + |\sqrt{2} - 2\sin B| = 0$,则$∠ A = $（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
D
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
11. D
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构：平方与绝对值的和为0。根据非负数的性质，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此可列出关于$\tan C$和$\sin B$的方程，求出对应三角函数值；再结合锐角三角形的条件，确定$∠ B$和$∠ C$的度数，最后利用三角形内角和为$180°$即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：
∵平方和绝对值都具有非负性，即$(\tan C - \sqrt{3})^2≥0$，$|\sqrt{2} - 2\sin B|≥0$，且两者的和为0
∴$\begin{cases}\tan C - \sqrt{3}=0 \\ \sqrt{2} - 2\sin B=0\end{cases}$
解得：$\tan C=\sqrt{3}$，$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵$△ ABC$是锐角三角形，三个内角都小于$90°$
∴$∠ C=60°$，$∠ B=45°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-45°-60°=75°$
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值，注意结合锐角三角形的限制条件排除不符合要求的角的度数，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的结构：平方与绝对值的和为0。根据非负数的性质，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此可列出关于$\tan C$和$\sin B$的方程，求出对应三角函数值；再结合锐角三角形的条件，确定$∠ B$和$∠ C$的度数，最后利用三角形内角和为$180°$即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：
∵平方和绝对值都具有非负性，即$(\tan C - \sqrt{3})^2≥0$，$|\sqrt{2} - 2\sin B|≥0$，且两者的和为0
∴$\begin{cases}\tan C - \sqrt{3}=0 \\ \sqrt{2} - 2\sin B=0\end{cases}$
解得：$\tan C=\sqrt{3}$，$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵$△ ABC$是锐角三角形，三个内角都小于$90°$
∴$∠ C=60°$，$∠ B=45°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-45°-60°=75°$
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值，注意结合锐角三角形的限制条件排除不符合要求的角的度数，避免出错。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$4×5$的正方形网格中，A，B，C为格点（小正方形的顶点），则$\sin A=$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
12. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
要求$\sin A$的值，首先需要将$∠ A$置于直角三角形中求解。我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算出$△ ABC$三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断$△ ABC$是否为直角三角形，确定直角后，根据正弦的定义（对边与斜边的比值）即可求出$\sin A$。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算各边长度：
由勾股定理得：
$AC^2=1^2+2^2=5$，即$AC=\sqrt{5}$；
$BC^2=1^2+2^2=5$，即$BC=\sqrt{5}$；
$AB^2=1^2+3^2=10$，即$AB=\sqrt{10}$。
2. 判断三角形形状：
∵ $AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，
∴ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
3. 计算$\sin A$：
根据锐角正弦的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，锐角正弦定义
【点评】
本题是网格中求解锐角三角函数的常见题型，解题的核心是通过勾股定理计算边长，借助逆定理确定直角三角形，再结合三角函数定义求解，需要学生具备一定的网格读图和计算能力。
【难度系数】
0.7
要求$\sin A$的值，首先需要将$∠ A$置于直角三角形中求解。我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算出$△ ABC$三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断$△ ABC$是否为直角三角形，确定直角后，根据正弦的定义（对边与斜边的比值）即可求出$\sin A$。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算各边长度：
由勾股定理得：
$AC^2=1^2+2^2=5$，即$AC=\sqrt{5}$；
$BC^2=1^2+2^2=5$，即$BC=\sqrt{5}$；
$AB^2=1^2+3^2=10$，即$AB=\sqrt{10}$。
2. 判断三角形形状：
∵ $AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，
∴ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
3. 计算$\sin A$：
根据锐角正弦的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，锐角正弦定义
【点评】
本题是网格中求解锐角三角函数的常见题型，解题的核心是通过勾股定理计算边长，借助逆定理确定直角三角形，再结合三角函数定义求解，需要学生具备一定的网格读图和计算能力。
【难度系数】
0.7
13. 计算：
(1)$\cos 45° + 3\tan 30° - 2\sin 60°$。
(2)$\tan 45° - 4\sin 30° · \cos^2 30°$。
(3)$\frac{\tan 45°}{\tan 60° - 2\sin 30°} - \cos 60°$。
(1)$\cos 45° + 3\tan 30° - 2\sin 60°$。
(2)$\tan 45° - 4\sin 30° · \cos^2 30°$。
(3)$\frac{\tan 45°}{\tan 60° - 2\sin 30°} - \cos 60°$。
答案
13. 解:(1)原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} +3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} -2×\dfrac{\sqrt{3}}{2} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} +\sqrt{3} -\sqrt{3} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)原式$=1-4×\dfrac{1}{2} ×(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 =1-2×\dfrac{3}{4} =1- \dfrac{3}{2} =-\dfrac{1}{2}$。
(3)原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}-2×\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2} =\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} -\dfrac{1}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)原式$=1-4×\dfrac{1}{2} ×(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 =1-2×\dfrac{3}{4} =1- \dfrac{3}{2} =-\dfrac{1}{2}$。
(3)原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}-2×\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2} =\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} -\dfrac{1}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
这三道题均为特殊角的三角函数值的运算题，解题思路如下：①首先准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值，这是解题的基础；②将各特殊角对应的三角函数值代入原式，替换三角函数符号；③按照实数的混合运算规则计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若分母含有根式，需先进行分母有理化，最终化简得到结果。
【解析】
(1) 先代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} +3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} -2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} +\sqrt{3} -\sqrt{3}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 先代入特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
原式$=1-4×\dfrac{1}{2} ×(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2$
先算乘方：$(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2=\dfrac{3}{4}$，再算乘法：$4×\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$
$=1-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}$
(3) 先代入特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，$\cos60°=\dfrac{1}{2}$
原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}-2×\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2}$
先化简分母：$\sqrt{3}-2×\dfrac{1}{2}=\sqrt{3}-1$，对$\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$得：$\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} -\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；(2)$-\dfrac{1}{2}$；(3)$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；分母有理化
【点评】
本题是三角函数的基础运算题，核心是熟练记忆特殊角的三角函数值，运算时要严格遵循运算顺序，注意二次根式化简、分母有理化的规范性，避免因记错函数值或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
这三道题均为特殊角的三角函数值的运算题，解题思路如下：①首先准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值，这是解题的基础；②将各特殊角对应的三角函数值代入原式，替换三角函数符号；③按照实数的混合运算规则计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若分母含有根式，需先进行分母有理化，最终化简得到结果。
【解析】
(1) 先代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} +3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} -2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} +\sqrt{3} -\sqrt{3}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 先代入特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
原式$=1-4×\dfrac{1}{2} ×(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2$
先算乘方：$(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2=\dfrac{3}{4}$，再算乘法：$4×\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$
$=1-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}$
(3) 先代入特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，$\cos60°=\dfrac{1}{2}$
原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}-2×\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2}$
先化简分母：$\sqrt{3}-2×\dfrac{1}{2}=\sqrt{3}-1$，对$\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$得：$\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} -\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；(2)$-\dfrac{1}{2}$；(3)$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；分母有理化
【点评】
本题是三角函数的基础运算题，核心是熟练记忆特殊角的三角函数值，运算时要严格遵循运算顺序，注意二次根式化简、分母有理化的规范性，避免因记错函数值或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
14. 在课堂上我们研究了直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切函数，与此类似，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，把$∠ A$的邻边与对边的比值叫作$∠ A$的余切，记为$\cot A=\frac{b}{a}$。
(1)若$∠ A=45°$，则$\cot 45°=$
(2)探究$\tan A · \cot A$的值。
(1)若$∠ A=45°$，则$\cot 45°=$
$1$
；若$∠ A=60°$，则$\cot 60°=$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
。(2)探究$\tan A · \cot A$的值。
答案
14. 解:(1)由题意得 $\cot 45°=1$,$\cot 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
故答案为:$1$;$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)因为 $\tan A=\dfrac{a}{b}$,$\cot A=\dfrac{b}{a}$,
所以 $\tan A · \cot A=\dfrac{a}{b} · \dfrac{b}{a}=1$。
故答案为:$1$;$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)因为 $\tan A=\dfrac{a}{b}$,$\cot A=\dfrac{b}{a}$,
所以 $\tan A · \cot A=\dfrac{a}{b} · \dfrac{b}{a}=1$。
解析
【分析】
本题结合新定义“余切”考查锐角三角函数相关知识，解题思路如下：1. 先准确理解余切的定义：$\cot A$等于$∠A$的邻边与对边的比值；2. 解决第(1)问时，结合45°、60°角所在直角三角形的边长比例关系，代入余切定义式计算即可；3. 解决第(2)问时，先回忆正切的定义，分别写出$\tan A$和$\cot A$的边长表达式，相乘后约分化简就能得到结果。
【解析】
(1) 当$∠A=45°$时，$\mathrm{Rt}△ ABC$为等腰直角三角形，$∠A$的对边$a$和邻边$b$长度相等，即$a=b$，根据余切定义得：$\cot 45°=\frac{b}{a}=\frac{b}{b}=1$；
当$∠A=60°$时，$∠B=30°$，设$∠A$的邻边$AC=b$，则斜边$AB=2b$，由勾股定理得$∠A$的对边$BC=a=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2b)^2-b^2}=\sqrt{3}b$，代入余切定义得：$\cot 60°=\frac{b}{a}=\frac{b}{\sqrt{3}b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2) 根据正切的定义，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$，结合题中给出的余切定义$\cot A=\frac{b}{a}$，因此：
$\tan A · \cot A=\frac{a}{b} × \frac{b}{a}=1$。
【答案】
(1) $1$；$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $1$
【知识点】
锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，新定义运算
【点评】
本题以新定义的形式考查锐角三角函数的相关知识，侧重考查对新概念的理解能力和知识迁移应用的能力，结合已学的正切、特殊直角三角形的性质即可顺利解答，属于基础类的概念应用题。
【难度系数】
0.8
本题结合新定义“余切”考查锐角三角函数相关知识，解题思路如下：1. 先准确理解余切的定义：$\cot A$等于$∠A$的邻边与对边的比值；2. 解决第(1)问时，结合45°、60°角所在直角三角形的边长比例关系，代入余切定义式计算即可；3. 解决第(2)问时，先回忆正切的定义，分别写出$\tan A$和$\cot A$的边长表达式，相乘后约分化简就能得到结果。
【解析】
(1) 当$∠A=45°$时，$\mathrm{Rt}△ ABC$为等腰直角三角形，$∠A$的对边$a$和邻边$b$长度相等，即$a=b$，根据余切定义得：$\cot 45°=\frac{b}{a}=\frac{b}{b}=1$；
当$∠A=60°$时，$∠B=30°$，设$∠A$的邻边$AC=b$，则斜边$AB=2b$，由勾股定理得$∠A$的对边$BC=a=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2b)^2-b^2}=\sqrt{3}b$，代入余切定义得：$\cot 60°=\frac{b}{a}=\frac{b}{\sqrt{3}b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2) 根据正切的定义，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$，结合题中给出的余切定义$\cot A=\frac{b}{a}$，因此：
$\tan A · \cot A=\frac{a}{b} × \frac{b}{a}=1$。
【答案】
(1) $1$；$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $1$
【知识点】
锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，新定义运算
【点评】
本题以新定义的形式考查锐角三角函数的相关知识，侧重考查对新概念的理解能力和知识迁移应用的能力，结合已学的正切、特殊直角三角形的性质即可顺利解答，属于基础类的概念应用题。
【难度系数】
0.8
