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1. 圆柱的表面展开图可能是 （
D
）答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个是圆柱的表面展开图，首先要明确圆柱表面展开图的构成特征：圆柱由1个侧面和2个大小相等的圆形底面组成，侧面展开后是长方形，2个底面必须分别位于这个长方形的一组对边的外侧，这样折叠后两个圆才能刚好作为圆柱相对的两个底面。解题时我们可以依据这个特征逐一排查选项，排除不符合的，剩下的就是正确答案。
【解析】
圆柱的表面展开图由1个长方形（侧面展开图）和2个完全相同的圆形底面组成，且两个圆形底面需分别在长方形的一组对边外侧，折叠后可围成圆柱。
选项A：两个圆形都在长方形的同一条边的同侧，折叠后两个圆重合，无法构成两个独立的底面，不符合要求，错误；
选项B：两个圆形分别在长方形的相邻两条边的外侧，折叠后两个底面位置不相对，无法围成圆柱，错误；
选项C：两个圆形分别在长方形的相邻两条边的外侧，同理无法围成圆柱，错误；
选项D：两个圆形分别在长方形的左右一组对边的外侧，折叠后可刚好围成圆柱，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
圆柱的表面展开图、展开图折叠还原
【点评】
本题考查圆柱表面展开图的识别，解题核心是牢记圆柱展开图中两个底面位于侧面展开图的一组对边外侧的特征，属于对基础概念的考查，掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是圆柱的表面展开图，首先要明确圆柱表面展开图的构成特征：圆柱由1个侧面和2个大小相等的圆形底面组成，侧面展开后是长方形，2个底面必须分别位于这个长方形的一组对边的外侧，这样折叠后两个圆才能刚好作为圆柱相对的两个底面。解题时我们可以依据这个特征逐一排查选项，排除不符合的，剩下的就是正确答案。
【解析】
圆柱的表面展开图由1个长方形（侧面展开图）和2个完全相同的圆形底面组成，且两个圆形底面需分别在长方形的一组对边外侧，折叠后可围成圆柱。
选项A：两个圆形都在长方形的同一条边的同侧，折叠后两个圆重合，无法构成两个独立的底面，不符合要求，错误；
选项B：两个圆形分别在长方形的相邻两条边的外侧，折叠后两个底面位置不相对，无法围成圆柱，错误；
选项C：两个圆形分别在长方形的相邻两条边的外侧，同理无法围成圆柱，错误；
选项D：两个圆形分别在长方形的左右一组对边的外侧，折叠后可刚好围成圆柱，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
圆柱的表面展开图、展开图折叠还原
【点评】
本题考查圆柱表面展开图的识别，解题核心是牢记圆柱展开图中两个底面位于侧面展开图的一组对边外侧的特征，属于对基础概念的考查，掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 下面四幅图中，不可能是圆柱的侧面展开图的是（
D
）答案
2. D
解析
【分析】
解题思路：首先明确圆柱的核心性质：上下底面是完全相同的圆，周长相等，圆柱侧面展开后，对应上下底面的两条边长度必然都等于底面周长，即长度相等。接下来逐一分析各选项：先回忆不同剪开方式对应的展开图形状，再判断各选项上下两条边的长度是否符合相等的要求，不符合的就是不可能的图形。
【解析】
首先明确圆柱侧面展开的相关性质：
1. 圆柱上下底面是全等的圆，因此上下底面周长相等，侧面展开后，对应上下底面的两条边的长度都等于底面周长，二者一定相等。
2. 分情况判断选项：
选项A：沿圆柱的高剪开，侧面展开图为长方形，符合要求，是可能的；
选项B：不沿高、沿斜线剪开圆柱侧面，展开图为平行四边形，上下边长度都等于底面周长，符合要求，是可能的；
选项C：沿曲线剪开圆柱侧面，展开后上下两条边是等长的曲线，长度都等于底面周长，符合要求，是可能的；
选项D：是梯形，梯形的上底和下底长度不相等，无法对应圆柱上下底面相等的周长，因此不可能是圆柱的侧面展开图。
【答案】
D
【知识点】
圆柱的特征；圆柱的侧面展开图
【点评】
本题考查圆柱侧面展开图的相关知识，解题关键是抓住“展开后对应上下底面的两条边长度相等”这一核心性质，注意不要陷入“圆柱侧面展开只能是长方形”的思维定势，要考虑不同的剪开方式。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确圆柱的核心性质：上下底面是完全相同的圆，周长相等，圆柱侧面展开后，对应上下底面的两条边长度必然都等于底面周长，即长度相等。接下来逐一分析各选项：先回忆不同剪开方式对应的展开图形状，再判断各选项上下两条边的长度是否符合相等的要求，不符合的就是不可能的图形。
【解析】
首先明确圆柱侧面展开的相关性质：
1. 圆柱上下底面是全等的圆，因此上下底面周长相等，侧面展开后，对应上下底面的两条边的长度都等于底面周长，二者一定相等。
2. 分情况判断选项：
选项A：沿圆柱的高剪开，侧面展开图为长方形，符合要求，是可能的；
选项B：不沿高、沿斜线剪开圆柱侧面，展开图为平行四边形，上下边长度都等于底面周长，符合要求，是可能的；
选项C：沿曲线剪开圆柱侧面，展开后上下两条边是等长的曲线，长度都等于底面周长，符合要求，是可能的；
选项D：是梯形，梯形的上底和下底长度不相等，无法对应圆柱上下底面相等的周长，因此不可能是圆柱的侧面展开图。
【答案】
D
【知识点】
圆柱的特征；圆柱的侧面展开图
【点评】
本题考查圆柱侧面展开图的相关知识，解题关键是抓住“展开后对应上下底面的两条边长度相等”这一核心性质，注意不要陷入“圆柱侧面展开只能是长方形”的思维定势，要考虑不同的剪开方式。
【难度系数】
0.7
3. 某同学在探究圆柱的侧面展开图时，按照如右图所示的方法沿圆柱的高将侧面剪开，再将侧面展开所得到的平面图形是（
C
）答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确剪开方式是沿圆柱的高剪开，我们可以结合圆柱的结构特征推导展开图形状：圆柱的上下底面是等圆，侧面上垂直于底面的线段长度都等于圆柱的高。展开后，侧面上下边缘的长度分别等于上下底面的周长（二者相等），剪开的两条边长度都等于圆柱的高，且高与底面边缘垂直，因此展开后的图形是邻边垂直、对边相等的四边形，也就是长方形，对应正确选项。
【解析】
圆柱的侧面为曲面，当沿高剪开侧面时：
1. 展开后得到的平面图形的一组对边长度等于圆柱底面圆的周长，这组对边长度相等；
2. 另一组对边的长度等于圆柱的高，这组对边长度也相等；
3. 由于圆柱的高与底面互相垂直，因此展开图的两组邻边互相垂直。
综上，该展开图是四个角均为直角的平行四边形，即长方形，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆柱的侧面展开图
2. 矩形的判定
【点评】
本题考查基础的几何体表面展开图相关知识，侧重对基础概念的记忆与理解，只要掌握圆柱沿高剪开的侧面展开图特征即可快速解题，需注意若沿不垂直于底面的直线剪开侧面，展开后会得到平行四边形。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确剪开方式是沿圆柱的高剪开，我们可以结合圆柱的结构特征推导展开图形状：圆柱的上下底面是等圆，侧面上垂直于底面的线段长度都等于圆柱的高。展开后，侧面上下边缘的长度分别等于上下底面的周长（二者相等），剪开的两条边长度都等于圆柱的高，且高与底面边缘垂直，因此展开后的图形是邻边垂直、对边相等的四边形，也就是长方形，对应正确选项。
【解析】
圆柱的侧面为曲面，当沿高剪开侧面时：
1. 展开后得到的平面图形的一组对边长度等于圆柱底面圆的周长，这组对边长度相等；
2. 另一组对边的长度等于圆柱的高，这组对边长度也相等；
3. 由于圆柱的高与底面互相垂直，因此展开图的两组邻边互相垂直。
综上，该展开图是四个角均为直角的平行四边形，即长方形，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆柱的侧面展开图
2. 矩形的判定
【点评】
本题考查基础的几何体表面展开图相关知识，侧重对基础概念的记忆与理解，只要掌握圆柱沿高剪开的侧面展开图特征即可快速解题，需注意若沿不垂直于底面的直线剪开侧面，展开后会得到平行四边形。
【难度系数】
0.9
4. 如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（
C
）答案
4. C
解析
【分析】
要解决圆柱侧面的最短爬行路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用平面内“两点之间线段最短”的性质求解：①首先明确将圆柱侧面沿AC剪开后，得到的展开图是长方形，其中长方形的竖直边对应圆柱的高AC，水平边长度等于圆柱的底面周长；②接下来确定点B的位置：因为AB是底面直径，所以底面圆周上A到B的弧长为底面周长的一半，因此展开后B点位于长方形底部边长（底面周长的展开边）的中点处，而非边长的端点；③最后连接C和B两点的线段就是最短路径，对应正确选项即可。
【解析】
将圆柱侧面沿AC剪开后，侧面展开图为长方形：
1. 长方形的竖直边长等于圆柱的高AC，水平边长等于圆柱的底面周长；
2. 由于AB是圆柱的底面直径，因此底面圆周上点A到点B的弧长为底面周长的$\frac{1}{2}$，即展开图中点B位于长方形底部水平边的中点位置；
3. 根据“两点之间，线段最短”，蚂蚁从C到B的最近路线为连接C、B两点的线段，符合该特征的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
这道题是几何体展开图的典型基础题型，重点考查将立体问题转化为平面问题的转化思想，解题关键是准确判断目标点在展开图中的位置，结合线段的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决圆柱侧面的最短爬行路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用平面内“两点之间线段最短”的性质求解：①首先明确将圆柱侧面沿AC剪开后，得到的展开图是长方形，其中长方形的竖直边对应圆柱的高AC，水平边长度等于圆柱的底面周长；②接下来确定点B的位置：因为AB是底面直径，所以底面圆周上A到B的弧长为底面周长的一半，因此展开后B点位于长方形底部边长（底面周长的展开边）的中点处，而非边长的端点；③最后连接C和B两点的线段就是最短路径，对应正确选项即可。
【解析】
将圆柱侧面沿AC剪开后，侧面展开图为长方形：
1. 长方形的竖直边长等于圆柱的高AC，水平边长等于圆柱的底面周长；
2. 由于AB是圆柱的底面直径，因此底面圆周上点A到点B的弧长为底面周长的$\frac{1}{2}$，即展开图中点B位于长方形底部水平边的中点位置；
3. 根据“两点之间，线段最短”，蚂蚁从C到B的最近路线为连接C、B两点的线段，符合该特征的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
这道题是几何体展开图的典型基础题型，重点考查将立体问题转化为平面问题的转化思想，解题关键是准确判断目标点在展开图中的位置，结合线段的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线长$ l $与这个圆柱的底面半径$ r $之间的函数关系为（
A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
B
）A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先要明确圆柱侧面展开图的特征：展开得到的矩形的一边对应圆柱的母线长$ l $，另一边对应圆柱底面圆的周长$ 2π r $。再结合已知的矩形面积为10，列出面积等式，将等式变形为$ l $关于$ r $的函数表达式，最后对照各类函数的定义即可判断函数类型。
【解析】
解：
∵圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的相邻两边分别为圆柱的母线长$ l $和底面圆的周长$ 2π r $
已知矩形面积为10，根据矩形面积公式可得：
$ 2π r · l = 10 $
整理得：$ l = \frac{5}{π r} $
根据反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $，$ x≠0 $）的函数为反比例函数，这里$ k=\frac{5}{π} $是不为0的常数，且半径$ r＞0 $，因此$ l $与$ r $是反比例函数关系。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面展开图、反比例函数定义、圆的周长计算
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题核心是找准圆柱侧面展开图各边与圆柱参数的对应关系，结合面积公式推导变量关系后即可判断函数类型，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确圆柱侧面展开图的特征：展开得到的矩形的一边对应圆柱的母线长$ l $，另一边对应圆柱底面圆的周长$ 2π r $。再结合已知的矩形面积为10，列出面积等式，将等式变形为$ l $关于$ r $的函数表达式，最后对照各类函数的定义即可判断函数类型。
【解析】
解：
∵圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的相邻两边分别为圆柱的母线长$ l $和底面圆的周长$ 2π r $
已知矩形面积为10，根据矩形面积公式可得：
$ 2π r · l = 10 $
整理得：$ l = \frac{5}{π r} $
根据反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $，$ x≠0 $）的函数为反比例函数，这里$ k=\frac{5}{π} $是不为0的常数，且半径$ r＞0 $，因此$ l $与$ r $是反比例函数关系。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面展开图、反比例函数定义、圆的周长计算
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题核心是找准圆柱侧面展开图各边与圆柱参数的对应关系，结合面积公式推导变量关系后即可判断函数类型，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.75
6. 圆柱的底面直径是4 cm，高也是4 cm，它的侧面展开图
不是
一个正方形。（填写“是”或“不是”）答案
6. 不是
解析
【分析】
要判断圆柱侧面展开图是否为正方形，首先明确圆柱侧面沿高展开的性质：展开后得到的长方形的长对应圆柱底面圆的周长，宽对应圆柱的高，若展开图是正方形则需满足“底面周长=高”。因此解题思路为：先根据底面直径计算底面周长，再将其与高对比，相等则是正方形，反之不是。
【解析】
解：圆柱沿高剪开的侧面展开图为长方形，长方形的长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。
已知圆柱底面直径$d=4\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=π d$，可得底面周长：
$C=π×4=4π\mathrm{cm}\approx12.56\mathrm{cm}$
已知圆柱的高$h=4\mathrm{cm}$，显然$4π≠4$，即底面周长与高不相等，因此该圆柱的侧面展开图不是正方形。
【答案】
不是
【知识点】
1.圆柱侧面展开图特征
2.圆的周长计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查圆柱侧面展开图为正方形的判定条件，易错点是容易混淆底面直径和底面周长，误把“直径等于高”当成判定依据，解题时要注意区分二者概念。
【难度系数】
0.7
要判断圆柱侧面展开图是否为正方形，首先明确圆柱侧面沿高展开的性质：展开后得到的长方形的长对应圆柱底面圆的周长，宽对应圆柱的高，若展开图是正方形则需满足“底面周长=高”。因此解题思路为：先根据底面直径计算底面周长，再将其与高对比，相等则是正方形，反之不是。
【解析】
解：圆柱沿高剪开的侧面展开图为长方形，长方形的长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。
已知圆柱底面直径$d=4\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=π d$，可得底面周长：
$C=π×4=4π\mathrm{cm}\approx12.56\mathrm{cm}$
已知圆柱的高$h=4\mathrm{cm}$，显然$4π≠4$，即底面周长与高不相等，因此该圆柱的侧面展开图不是正方形。
【答案】
不是
【知识点】
1.圆柱侧面展开图特征
2.圆的周长计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查圆柱侧面展开图为正方形的判定条件，易错点是容易混淆底面直径和底面周长，误把“直径等于高”当成判定依据，解题时要注意区分二者概念。
【难度系数】
0.7
7. 已知圆柱的底面半径为2 cm，母线长为3 cm，则这个圆柱的全面积为
20π
cm²。答案
7. 20π
解析
【分析】
要计算圆柱的全面积，首先需明确圆柱全面积的构成：圆柱全面积=2个底面圆的面积+侧面积。第一步，先根据圆的面积公式计算单个底面的面积，再乘2得到两个底面的总面积；第二步，圆柱侧面展开为矩形，矩形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的母线长，根据矩形面积公式即可求出侧面积；第三步，将两个底面积与侧面积相加，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知圆柱底面半径$r=2\mathrm{cm}$，母线长$l=3\mathrm{cm}$：
1. 计算底面积：单个底面是圆，面积$S_{底}=π r^2=π×2^2=4π \, \mathrm{cm}^2$，两个底面积为$2S_{底}=2×4π=8π \, \mathrm{cm}^2$；
2. 计算侧面积：圆柱侧面积等于底面周长乘母线长，底面周长$C=2π r=4π \, \mathrm{cm}$，因此$S_{侧}=C× l=4π×3=12π \, \mathrm{cm}^2$；
3. 计算全面积：$S_{全}=2S_{底}+S_{侧}=8π+12π=20π \, \mathrm{cm}^2$。
【答案】
20π
【知识点】
圆柱全面积计算；圆的面积公式；圆柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆柱表面积的相关计算，解题的关键是牢记圆柱全面积包含两个底面面积和侧面积，避免漏算底面积，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.85
要计算圆柱的全面积，首先需明确圆柱全面积的构成：圆柱全面积=2个底面圆的面积+侧面积。第一步，先根据圆的面积公式计算单个底面的面积，再乘2得到两个底面的总面积；第二步，圆柱侧面展开为矩形，矩形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的母线长，根据矩形面积公式即可求出侧面积；第三步，将两个底面积与侧面积相加，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知圆柱底面半径$r=2\mathrm{cm}$，母线长$l=3\mathrm{cm}$：
1. 计算底面积：单个底面是圆，面积$S_{底}=π r^2=π×2^2=4π \, \mathrm{cm}^2$，两个底面积为$2S_{底}=2×4π=8π \, \mathrm{cm}^2$；
2. 计算侧面积：圆柱侧面积等于底面周长乘母线长，底面周长$C=2π r=4π \, \mathrm{cm}$，因此$S_{侧}=C× l=4π×3=12π \, \mathrm{cm}^2$；
3. 计算全面积：$S_{全}=2S_{底}+S_{侧}=8π+12π=20π \, \mathrm{cm}^2$。
【答案】
20π
【知识点】
圆柱全面积计算；圆的面积公式；圆柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆柱表面积的相关计算，解题的关键是牢记圆柱全面积包含两个底面面积和侧面积，避免漏算底面积，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.85
8. 一个无盖圆柱形杯子的展开图如下。将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有
5
cm。答案
8. 5
解析
【分析】
要计算木筷露在杯子外面的最短长度，首先明确：当木筷在杯子内部的长度最长时，露在外面的部分最短。木筷在杯内的最长长度对应圆柱轴截面（长方形）的对角线长度，我们可以先根据图中给出的圆柱底面直径、高，用勾股定理求出对角线长度，再用木筷总长度减去该对角线长度，即可得到结果。
【解析】
由展开图可知，该无盖圆柱的高为12 cm，底面直径为9 cm。
当木筷斜放至杯内长度最长时，其在杯内的长度等于圆柱轴截面长方形的对角线长。
根据勾股定理，杯内木筷的最大长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
则木筷露在杯子外面的长度至少为：
$20 - 15 = 5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
圆柱的结构特征、勾股定理、最值分析
【点评】
本题将立体几何的圆柱结构和平面几何的勾股定理结合考查，解题关键是将杯内最长木筷长度转化为圆柱轴截面的对角线长度，把立体问题转化为平面问题求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要计算木筷露在杯子外面的最短长度，首先明确：当木筷在杯子内部的长度最长时，露在外面的部分最短。木筷在杯内的最长长度对应圆柱轴截面（长方形）的对角线长度，我们可以先根据图中给出的圆柱底面直径、高，用勾股定理求出对角线长度，再用木筷总长度减去该对角线长度，即可得到结果。
【解析】
由展开图可知，该无盖圆柱的高为12 cm，底面直径为9 cm。
当木筷斜放至杯内长度最长时，其在杯内的长度等于圆柱轴截面长方形的对角线长。
根据勾股定理，杯内木筷的最大长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
则木筷露在杯子外面的长度至少为：
$20 - 15 = 5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
圆柱的结构特征、勾股定理、最值分析
【点评】
本题将立体几何的圆柱结构和平面几何的勾股定理结合考查，解题关键是将杯内最长木筷长度转化为圆柱轴截面的对角线长度，把立体问题转化为平面问题求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
