19.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABC的平分线BE交AD于点E,过点D作DF//BE,交BC于点F.求证∠DFC=∠FDC.

19.$\because BE$平分$∠ ABC,DF// BE,AB// CD$,
设$∠ ABE=∠ EBC=∠ DFC=x$,则$∠ C=180°-2x$.
在$△ DFC$中,$∠ FDC=180°-∠ C-∠ DFC=x$,即$∠ DFC=∠ FDC$.

【分析】
首先梳理题目给出的已知条件：AB//CD、BE平分∠ABC、DF//BE，待证结论为∠DFC=∠FDC。解题时先从角平分线的定义入手，得到∠ABE和∠EBC相等；再利用平行线的性质，由DF//BE得到同位角∠EBC=∠DFC，由AB//CD得到同旁内角∠ABC和∠C互补，从而建立角之间的数量关系；最后结合三角形内角和为180°，在△DFC中推导∠FDC的度数，即可证明两个角相等。
【解析】
证明：
∵ BE平分∠ABC（已知），
∴ ∠ABE=∠EBC（角平分线的定义）。
∵ DF//BE（已知），
∴ ∠EBC=∠DFC（两直线平行，同位角相等），
因此可得∠ABE=∠EBC=∠DFC，设该角度为$x$。
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠ABC + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠ABC=∠ABE+∠EBC=$2x$，
∴ $2x + ∠C = 180°$，即$∠C=180°-2x$。
在△DFC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠DFC + ∠C + ∠FDC = 180°$，
将$∠DFC=x$、$∠C=180°-2x$代入上式：
$x + (180°-2x) + ∠FDC = 180°$，
解得$∠FDC=x$，
∴ $∠DFC=∠FDC$。
【答案】
$\boldsymbol{∠DFC=∠FDC}$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察角的等量代换能力，解题关键是灵活运用角平分线定义和平行线的性质梳理角之间的数量关系，结合三角形内角和定理完成推导，同学们要熟练掌握平行线的各类性质，学会用设参数的方法简化角的运算。
【难度系数】
0.8

20.如图，CD是△ABC的外角∠BCE的平分线，且CD交AB的延长线于点D，∠A=α，∠ABC=β.
(1)若α=30°,β=130°,直接写出∠D的度数为°.
(2)求∠D的度数(结果用含α,β的式子表示).

20.(1)50
(2)依题意,$∠ BCE=α+β,\therefore ∠ DCE=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β,∠ D=∠ DCE-∠ A=\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$.

【分析】
解决本题的核心是利用三角形外角性质和角平分线的定义建立角度间的等量关系。首先明确：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；角平分线会将一个角分成两个相等的角。解题时先求△ABC的外角∠BCE的大小，再利用角平分线得到∠DCE的大小，最后结合∠DCE是△ACD的外角，推导得出∠D与已知角的关系，代入数值或字母计算即可。
【解析】
(1) 计算具体角度：
∵ ∠BCE是△ABC的外角，
∴ ∠BCE = ∠A + ∠ABC = 30° + 130° = 160°，
∵ CD平分∠BCE，
∴ ∠DCE = $\frac{1}{2}$∠BCE = $\frac{1}{2}$×160° = 80°，
又
∵ ∠DCE是△ACD的外角，
∴ ∠DCE = ∠A + ∠D，
∴ ∠D = ∠DCE - ∠A = 80° - 30° = 50°。
(2) 推导含α、β的表达式：
∵ ∠BCE是△ABC的外角，
∴ ∠BCE = ∠A + ∠ABC = α + β，
∵ CD平分∠BCE，
∴ ∠DCE = $\frac{1}{2}$∠BCE = $\frac{1}{2}(α+β)$，
又
∵ ∠DCE是△ACD的外角，
∴ ∠DCE = ∠A + ∠D，
∴ ∠D = ∠DCE - ∠A = $\frac{1}{2}(α+β)-α$ = $\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50}$
(2) $\boldsymbol{∠ D=\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α}$（或$\frac{β-α}{2}$）
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 角平分线的定义
3. 角度和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，侧重对基础性质的综合运用，解题关键是准确识别外角对应的不相邻内角，通过等量代换建立所求角和已知角的关系即可求解，不易出错。
【难度系数】
0.7

21.如图，$△ ABC$ 的三条角平分线交于点 $I$，$ID ⊥ BC$，垂足为 $D$。
(1)若$∠ AIB=110°$，求$∠ ACB$ 的度数。
(2)试判断$∠ AIB$ 与$∠ CID$ 的数量关系并说明理由。

21.(1)依题意,$∠ ABI+∠ BAI=180°-110°=70°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ BAC=140°,∠ ACB=40°$.
(2)$∠ AIB+∠ CID=180°$,理由如下：
依题意,$∠ AIB=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$,
$∠ CID=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$,
$∠ AIB+∠ CID=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)+90°-\frac{1}{2}∠ ACB$
$=270°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB)=180°$.

【分析】
（1）I是△ABC三条角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，BI平分∠ABC。已知∠AIB的度数，先在△AIB中利用三角形内角和求出∠BAI与∠ABI的和，再根据角平分线的定义得到∠BAC与∠ABC的和，最后用△ABC的内角和减去上述两角的和，即可求出∠ACB的度数。
（2）要判断∠AIB与∠CID的数量关系，先分别用三角形内角的表达式表示两个角：结合角平分线定义和三角形内角和定理表示出∠AIB，再根据ID⊥BC，结合CI平分∠ACB，利用直角三角形两锐角互余表示出∠CID，将两个角相加后，利用△ABC内角和为180°化简，即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 在$△ AIB$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABI+∠ BAI=180°-∠ AIB=180°-110°=70°$
∵$I$是$△ ABC$的角平分线交点，
∴$AI$平分$∠ BAC$，$BI$平分$∠ ABC$
∴$∠ BAC=2∠ BAI$，$∠ ABC=2∠ ABI$
∴$∠ BAC+∠ ABC=2(∠ BAI+∠ ABI)=2×70°=140°$
在$△ ABC$中，$∠ ACB=180°-(∠ BAC+∠ ABC)=180°-140°=40°$
(2) $∠ AIB+∠ CID=180°$，理由如下：
∵$I$是$△ ABC$的角平分线交点
∴$∠ BAI=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABI=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICD=\frac{1}{2}∠ ACB$
在$△ AIB$中，$∠ AIB=180°-(∠ BAI+∠ ABI)=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$
∵$ID⊥ BC$，
∴$∠ IDC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ CID$中，$∠ CID=90°-∠ ICD=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$
将两式相加得：
$\begin{aligned}∠ AIB+∠ CID&=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)+90°-\frac{1}{2}∠ ACB\\&=270°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB)\end{aligned}$
又
∵$△ ABC$中$∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB=180°$，代入得：
$∠ AIB+∠ CID=270°-\frac{1}{2}×180°=180°$
【答案】
(1) $∠ ACB=40°$
(2) $∠ AIB+∠ CID=180°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角平分线与内角和的综合应用题，解题核心是利用角平分线的性质对角进行倍分转化，再结合三角形内角和定理对所求角进行化简推导，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7

22.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D为BC上一点,连接AD,∠BAD=α,AE平分∠CAD交BC于点E.
(1)若α=90°,求∠AED的度数.
(2)求证∠AED=90°−$\frac{1}{2}$α.

22.(1)依题意,设$∠ B=∠ C=x,∠ DAE=∠ CAE=y$,
在$△ ABC$中,$∠ B+∠ C+∠ BAD+∠ DAC=180°$,
即$2x+2y+90°=180°,x+y=45°$,
$∠ AED=∠ C+∠ CAE=x+y=45°$.
(2)依题意,设$∠ B=∠ C=x,∠ DAE=∠ CAE=y$,
在$△ ABC$中,$∠ B+∠ C+∠ BAD+∠ DAC=180°$,
即$2x+2y+α=180°,x+y=90°-\frac{1}{2}α$,
$∠ AED=∠ C+∠ CAE=90°-\frac{1}{2}α$.

【分析】
本题可通过设参数表示角度，结合三角形内角和定理、外角性质求解。(1)已知∠B=∠C，AE平分∠CAD，可设∠B=∠C=x，∠DAE=∠CAE=y，先利用△ABC内角和为180°建立x、y与α的关系，再根据三角形外角的性质，可得∠AED=∠C+∠CAE=x+y，代入α=90°即可求出结果；(2)沿用第一问的设参方法，将α作为已知量推导x+y的表达式，即可证明结论。
【解析】
(1)解：设$∠ B=∠ C=x$，
∵AE平分$∠ CAD$，
∴$∠ DAE=∠ CAE=y$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ B+∠ C+∠ BAD+∠ DAC=180°$，
即$2x+α+2y=180°$，
将$α=90°$代入得：$2x+2y+90°=180°$，
化简得$x+y=45°$，
∵$∠ AED$是$△ AEC$的外角，
∴$∠ AED=∠ C+∠ CAE=x+y=45°$。
(2)证明：设$∠ B=∠ C=x$，
∵AE平分$∠ CAD$，
∴$∠ DAE=∠ CAE=y$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ B+∠ C+∠ BAD+∠ DAC=180°$，
即$2x+α+2y=180°$，
整理得$x+y=90°-\frac{1}{2}α$，
∵$∠ AED$是$△ AEC$的外角，
∴$∠ AED=∠ C+∠ CAE=x+y$，
∴$∠ AED=90°-\frac{1}{2}α$，得证。
【答案】
(1)$\boxed{45°}$；(2)已证$∠ AED=90°-\frac{1}{2}α$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，通过设参数的方法简化角度之间的数量关系，结合三角形的相关性质消去参数即可得到结论，解题时要注意找准外角对应的不相邻内角，理清各角的和差关系。
【难度系数】
0.7