登录
10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,∠ABC的平分线BE交AD于点F,AG平分∠DAC.有下列结论:①∠BAD=∠C;②∠AEF=∠AFE;③∠EBC=∠C;④AG⊥EF.其中正确的结论是(
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
C
).A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
答案
10.C
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，我们可结合已知条件逐一推导：首先利用直角三角形两锐角互余的性质判断①；再结合角平分线的定义和对顶角相等，推导角的等量关系判断②；③需要特殊角度条件才能成立，题中无相关条件，可直接排除；最后结合等腰三角形三线合一的性质判断④，最终选出正确选项。
【解析】
1. 证明结论①：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，则∠C+∠DAC=90°
根据同角的余角相等，可得∠BAD=∠C，故①正确。
2. 证明结论②：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
在Rt△ABE中，∠AEF=90°-∠ABE
在Rt△BDF中，∠BFD=90°-∠CBE
又
∵∠AFE和∠BFD是对顶角，
∴∠AFE=∠BFD
∴∠AEF=∠AFE，故②正确。
3. 判断结论③：
若∠EBC=∠C，则∠ABC=2∠EBC=2∠C，结合∠BAC=90°可得∠C=30°，但题中未给出△ABC的特殊角度关系，无法推出该结论，故③错误。
4. 证明结论④：
由②可知∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形
∵AG平分∠DAC，也就是平分等腰△AEF的顶角∠EAF
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AG⊥EF，故④正确。
综上，正确的结论是①②④，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题时要逐一验证每个结论，注意不能默认题目未给出的特殊角度条件，结合直角三角形、角平分线、等腰三角形的相关性质推导即可。
【难度系数】
0.7
要判断四个结论是否正确，我们可结合已知条件逐一推导：首先利用直角三角形两锐角互余的性质判断①；再结合角平分线的定义和对顶角相等，推导角的等量关系判断②；③需要特殊角度条件才能成立，题中无相关条件，可直接排除；最后结合等腰三角形三线合一的性质判断④，最终选出正确选项。
【解析】
1. 证明结论①：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，则∠C+∠DAC=90°
根据同角的余角相等，可得∠BAD=∠C，故①正确。
2. 证明结论②：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
在Rt△ABE中，∠AEF=90°-∠ABE
在Rt△BDF中，∠BFD=90°-∠CBE
又
∵∠AFE和∠BFD是对顶角，
∴∠AFE=∠BFD
∴∠AEF=∠AFE，故②正确。
3. 判断结论③：
若∠EBC=∠C，则∠ABC=2∠EBC=2∠C，结合∠BAC=90°可得∠C=30°，但题中未给出△ABC的特殊角度关系，无法推出该结论，故③错误。
4. 证明结论④：
由②可知∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形
∵AG平分∠DAC，也就是平分等腰△AEF的顶角∠EAF
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AG⊥EF，故④正确。
综上，正确的结论是①②④，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题时要逐一验证每个结论，注意不能默认题目未给出的特殊角度条件，结合直角三角形、角平分线、等腰三角形的相关性质推导即可。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.直角三角形有一个锐角为$35°$，则另一个锐角的度数为
11.直角三角形有一个锐角为$35°$，则另一个锐角的度数为
55
°。答案
11.55
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的基本特征：直角三角形有一个内角为90°，再结合三角形内角和为180°的定理，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，只需用90°减去已知锐角的度数，就能求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵ 该三角形是直角三角形，
∴ 三角形内有一个角为90°，
又
∵ 三角形内角和为180°，且其中一个锐角为35°，
∴ 另一个锐角的度数为：180° - 90° - 35° = 55°。
【答案】
55
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，考查对直角三角形角的性质的掌握，计算难度低，属于应知应会的基础考点。
【难度系数】
0.95
解题时首先回忆直角三角形的基本特征：直角三角形有一个内角为90°，再结合三角形内角和为180°的定理，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，只需用90°减去已知锐角的度数，就能求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵ 该三角形是直角三角形，
∴ 三角形内有一个角为90°，
又
∵ 三角形内角和为180°，且其中一个锐角为35°，
∴ 另一个锐角的度数为：180° - 90° - 35° = 55°。
【答案】
55
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，考查对直角三角形角的性质的掌握，计算难度低，属于应知应会的基础考点。
【难度系数】
0.95
12.如图,将一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数为
70
°.答案
12.70
解析
【分析】
解题可以分两步思考：第一步，先利用直角三角形的两个锐角互余的性质，结合已知∠1=30°，算出三角尺剩下的那个锐角的度数；第二步，根据直尺对边互相平行的特点，利用平行线的同旁内角互补的性质，找到∠2、∠3和刚才算出的锐角之间的数量关系，代入数值计算就能得到∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 三角尺为直角三角形，∠1=30°
∴ 三角尺的另一个锐角度数为：$90°-∠1=90°-30°=60°$
又
∵ 直尺的上下两条边互相平行
∴ $∠2 + 60° + ∠3 = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
将$∠2=50°$代入上式得：
$∠3=180°-50°-60°=70°$
【答案】
70
【知识点】
平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题结合日常的三角尺、直尺考查基础几何知识，解题的关键是准确识别平行线对应的角的关系，结合直角三角形的性质运算，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
解题可以分两步思考：第一步，先利用直角三角形的两个锐角互余的性质，结合已知∠1=30°，算出三角尺剩下的那个锐角的度数；第二步，根据直尺对边互相平行的特点，利用平行线的同旁内角互补的性质，找到∠2、∠3和刚才算出的锐角之间的数量关系，代入数值计算就能得到∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 三角尺为直角三角形，∠1=30°
∴ 三角尺的另一个锐角度数为：$90°-∠1=90°-30°=60°$
又
∵ 直尺的上下两条边互相平行
∴ $∠2 + 60° + ∠3 = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
将$∠2=50°$代入上式得：
$∠3=180°-50°-60°=70°$
【答案】
70
【知识点】
平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题结合日常的三角尺、直尺考查基础几何知识，解题的关键是准确识别平行线对应的角的关系，结合直角三角形的性质运算，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
13.在$△ ABC$中，$∠ C=2∠ B$，$∠ A=∠ C+40°$，则$∠ B$的度数是
28°
。答案
13.28°
解析
【分析】
本题是三角形内角计算问题，解题思路如下：首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°；观察题目给出的角的关系，∠C、∠A都和∠B有关，可将∠A、∠C都用含∠B的式子表示，再代入内角和公式列一元一次方程，求解即可得到∠B的度数。
【解析】
设∠B的度数为$ x $。
根据题意得：
$ ∠C = 2∠B = 2x $，
$ ∠A = ∠C + 40° = 2x + 40° $。
由三角形内角和为180°，可得：
$ ∠A + ∠B + ∠C = 180° $
将上述三个角的表达式代入得：
$ (2x + 40°) + x + 2x = 180° $
合并同类项得：$ 5x + 40° = 180° $
移项计算得：$ 5x = 140° $
解得：$ x = 28° $
【答案】
28°
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算基础题，核心是利用角与角之间的等量关系，将所有未知角统一为同一个未知量，结合三角形内角和定理列方程求解，掌握三角形内角和定理是解题的前提。
【难度系数】
0.8
本题是三角形内角计算问题，解题思路如下：首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°；观察题目给出的角的关系，∠C、∠A都和∠B有关，可将∠A、∠C都用含∠B的式子表示，再代入内角和公式列一元一次方程，求解即可得到∠B的度数。
【解析】
设∠B的度数为$ x $。
根据题意得：
$ ∠C = 2∠B = 2x $，
$ ∠A = ∠C + 40° = 2x + 40° $。
由三角形内角和为180°，可得：
$ ∠A + ∠B + ∠C = 180° $
将上述三个角的表达式代入得：
$ (2x + 40°) + x + 2x = 180° $
合并同类项得：$ 5x + 40° = 180° $
移项计算得：$ 5x = 140° $
解得：$ x = 28° $
【答案】
28°
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算基础题，核心是利用角与角之间的等量关系，将所有未知角统一为同一个未知量，结合三角形内角和定理列方程求解，掌握三角形内角和定理是解题的前提。
【难度系数】
0.8
14.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则$△ ABC$的面积与$△ ABD$的面积的大小关系为$S_{△ ABC}\_\_\_\_\_\_S_{△ ABD}$（填“＞”“=”或“＜”）。
答案
14.=
解析
【分析】
要比较两个三角形的面积大小，我们可以通过设网格中小正方形边长为1，分别计算两个三角形的面积再比较。首先观察△ABC，它的边AC在水平网格线上，可直接用三角形面积公式计算；对于△ABD，我们用割补法，将它放在最小外接矩形里，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积即可求出，最后对比两个面积的大小。也可以观察两个三角形是否同底等高，若共底且高相等，则面积相等。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算$S_{△ ABC}$：
点C、A在同一条水平网格线上，$AC=4$，点B到直线AC的垂直距离为2，根据三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × 高 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
2. 计算$S_{△ ABD}$：
取$△ ABD$的最小外接矩形，矩形水平长为2，竖直宽为5，矩形面积为$2 × 5 = 10$。
矩形内除$△ ABD$外的三个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$，$\frac{1}{2} × 1 × 3 = 1.5$，$\frac{1}{2} × 1 × 5 = 2.5$；
因此$S_{△ ABD}=10 - 2 - 1.5 - 2.5 = 4$。
综上可得$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}$。
【答案】
=
【知识点】
三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查网格中图形面积的计算，解题方法灵活，既可以分别计算面积对比，也可以通过判断同底等高快速得出结论，是网格类面积问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
要比较两个三角形的面积大小，我们可以通过设网格中小正方形边长为1，分别计算两个三角形的面积再比较。首先观察△ABC，它的边AC在水平网格线上，可直接用三角形面积公式计算；对于△ABD，我们用割补法，将它放在最小外接矩形里，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积即可求出，最后对比两个面积的大小。也可以观察两个三角形是否同底等高，若共底且高相等，则面积相等。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算$S_{△ ABC}$：
点C、A在同一条水平网格线上，$AC=4$，点B到直线AC的垂直距离为2，根据三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × 高 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
2. 计算$S_{△ ABD}$：
取$△ ABD$的最小外接矩形，矩形水平长为2，竖直宽为5，矩形面积为$2 × 5 = 10$。
矩形内除$△ ABD$外的三个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$，$\frac{1}{2} × 1 × 3 = 1.5$，$\frac{1}{2} × 1 × 5 = 2.5$；
因此$S_{△ ABD}=10 - 2 - 1.5 - 2.5 = 4$。
综上可得$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}$。
【答案】
=
【知识点】
三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查网格中图形面积的计算，解题方法灵活，既可以分别计算面积对比，也可以通过判断同底等高快速得出结论，是网格类面积问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
15.在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$BD$，$CE$是它的两条高，直线$BD$，$CE$交于点$O$，则$∠ DOE$的度数为________。
答案
15.130°或 50°
解析
【分析】
解题时需注意三角形的高的位置随三角形形状变化：本题中∠A=50°为锐角，△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形（钝角为∠B或∠C），需分两种情况讨论：①锐角三角形时，两条高交于三角形内部，利用四边形内角和计算∠DOE；②钝角三角形时，两条高交于三角形外部，利用同角的余角相等计算∠DOE。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，高BD、CE均在三角形内部，交于点O：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
四边形ADOE的内角和为360°，已知∠A=50°，
∴∠DOE = 360° - ∠A - ∠ADB - ∠AEC = 360° - 50° - 90° - 90° = 130°。
2. 当△ABC为钝角三角形时（钝角为∠B或∠C），高BD、CE的延长线交于三角形外的点O：
∵BD、CE是高，
∴∠ADB=∠OEB=90°。
∵∠ABD与∠OBE是对顶角，
∴∠ABD=∠OBE。
在Rt△ABD中，∠A + ∠ABD = 90°；在Rt△OBE中，∠O + ∠OBE = 90°，
∴∠O = ∠A = 50°，即∠DOE=50°。
综上，∠DOE的度数为130°或50°。
【答案】
130°或50°
【知识点】
三角形高的性质、四边形内角和、同角的余角相等
【点评】
本题易错点是忽略三角形为钝角三角形的情况，导致漏解，解题时需结合高的位置特征，全面考虑三角形的形状分类讨论。
【难度系数】
0.6
解题时需注意三角形的高的位置随三角形形状变化：本题中∠A=50°为锐角，△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形（钝角为∠B或∠C），需分两种情况讨论：①锐角三角形时，两条高交于三角形内部，利用四边形内角和计算∠DOE；②钝角三角形时，两条高交于三角形外部，利用同角的余角相等计算∠DOE。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，高BD、CE均在三角形内部，交于点O：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
四边形ADOE的内角和为360°，已知∠A=50°，
∴∠DOE = 360° - ∠A - ∠ADB - ∠AEC = 360° - 50° - 90° - 90° = 130°。
2. 当△ABC为钝角三角形时（钝角为∠B或∠C），高BD、CE的延长线交于三角形外的点O：
∵BD、CE是高，
∴∠ADB=∠OEB=90°。
∵∠ABD与∠OBE是对顶角，
∴∠ABD=∠OBE。
在Rt△ABD中，∠A + ∠ABD = 90°；在Rt△OBE中，∠O + ∠OBE = 90°，
∴∠O = ∠A = 50°，即∠DOE=50°。
综上，∠DOE的度数为130°或50°。
【答案】
130°或50°
【知识点】
三角形高的性质、四边形内角和、同角的余角相等
【点评】
本题易错点是忽略三角形为钝角三角形的情况，导致漏解，解题时需结合高的位置特征，全面考虑三角形的形状分类讨论。
【难度系数】
0.6
16.如图，AE平分$∠ DAB$，CF平分$∠ DCB$，AE与CF交于点O.若$∠ ABC=α$，$∠ AOC=β$，$∠ D=\gamma$，有下列结论：①$∠ DAE+∠ AFC=β$；②$AO+CO＞AB+BC$；③$∠ DAB+∠ BCD=α+\gamma-β$；④$β=\frac{1}{2}(α+\gamma)$；⑤$α-β=\frac{1}{2}\gamma$.其中一定正确的结论是
①②④
（填写序号）.答案
16.①②④
解析
【分析】
要判断5个结论是否正确，我们可以先利用角平分线的定义设出相等的角，再结合三角形外角性质推导角之间的数量关系，验证角相关的结论；再通过作辅助线结合三角形三边关系验证边的结论。具体步骤：1. 设∠DAE=∠BAE=x，∠DCF=∠BCF=y，将未知角用x、y表示；2. 利用外角性质分别推导∠AOC、∠ABC和x、y、∠D的关系，验证①③④⑤；3. 作辅助线延长AB交OC于点M，结合三边关系验证②。
【解析】
根据角平分线的定义，设∠DAE=∠BAE=x，∠DCF=∠BCF=y。
1. 验证结论①：
∠AOC是△AFO的外角，由三角形外角性质（外角等于不相邻两个内角的和）可得：
$∠ AOC = ∠ OAF + ∠ AFC$，其中$∠ OAF=∠ DAE=x$，$∠ AOC=β$，因此$∠ DAE + ∠ AFC=β$，①正确。
2. 验证结论②：
延长AB交OC于点M，根据三角形三边关系：
在△AOM中，$AO + OM ＞ AM = AB + BM$；
在△BMC中，$BM + MC ＞ BC$；
两式相加得：$AO + OM + BM + MC ＞ AB + BM + BC$，
消去左右两边的BM，且$OM+MC=OC$，因此$AO + CO ＞ AB + BC$，②正确。
3. 验证结论③④⑤：
∠AFC是△DFC的外角，由外角性质得$∠ AFC=∠ D + ∠ DCF=\gamma + y$，代入①的结论得$β = x + \gamma + y$，即$x+y=β - \gamma$---(1)。
再看∠ABC：∠ABC是△BMC的外角，故$∠ ABC=∠ BMC + y$；∠BMC是△AOM的外角，故$∠ BMC=∠ BAE + ∠ AOC=x+β$，因此$α = x + β + y$---(2)。
将(1)代入(2)：$α=(β - \gamma) + β$，整理得$2β=α+\gamma$，即$β=\frac{1}{2}(α+\gamma)$，故④正确。
对结论⑤：代入$β=\frac{1}{2}(α+\gamma)$，得$α-β=α-\frac{1}{2}(α+\gamma)=\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}\gamma≠\frac{1}{2}\gamma$，故⑤错误。
对结论③：$∠ DAB+∠ BCD=2x+2y=2(β-\gamma)$，代入$β=\frac{1}{2}(α+\gamma)$，得$2(\frac{1}{2}(α+\gamma)-\gamma)=α-\gamma$；而③中等式右侧$α+\gamma-β=α+\gamma-\frac{1}{2}(α+\gamma)=\frac{1}{2}(α+\gamma)$，显然$α-\gamma≠\frac{1}{2}(α+\gamma)$，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查三角形相关性质，需要逐一分析每个结论，通过设参数表示相等的角可简化角关系的推导，边的大小关系判断可通过作辅助线转化为基础的三边关系应用，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要判断5个结论是否正确，我们可以先利用角平分线的定义设出相等的角，再结合三角形外角性质推导角之间的数量关系，验证角相关的结论；再通过作辅助线结合三角形三边关系验证边的结论。具体步骤：1. 设∠DAE=∠BAE=x，∠DCF=∠BCF=y，将未知角用x、y表示；2. 利用外角性质分别推导∠AOC、∠ABC和x、y、∠D的关系，验证①③④⑤；3. 作辅助线延长AB交OC于点M，结合三边关系验证②。
【解析】
根据角平分线的定义，设∠DAE=∠BAE=x，∠DCF=∠BCF=y。
1. 验证结论①：
∠AOC是△AFO的外角，由三角形外角性质（外角等于不相邻两个内角的和）可得：
$∠ AOC = ∠ OAF + ∠ AFC$，其中$∠ OAF=∠ DAE=x$，$∠ AOC=β$，因此$∠ DAE + ∠ AFC=β$，①正确。
2. 验证结论②：
延长AB交OC于点M，根据三角形三边关系：
在△AOM中，$AO + OM ＞ AM = AB + BM$；
在△BMC中，$BM + MC ＞ BC$；
两式相加得：$AO + OM + BM + MC ＞ AB + BM + BC$，
消去左右两边的BM，且$OM+MC=OC$，因此$AO + CO ＞ AB + BC$，②正确。
3. 验证结论③④⑤：
∠AFC是△DFC的外角，由外角性质得$∠ AFC=∠ D + ∠ DCF=\gamma + y$，代入①的结论得$β = x + \gamma + y$，即$x+y=β - \gamma$---(1)。
再看∠ABC：∠ABC是△BMC的外角，故$∠ ABC=∠ BMC + y$；∠BMC是△AOM的外角，故$∠ BMC=∠ BAE + ∠ AOC=x+β$，因此$α = x + β + y$---(2)。
将(1)代入(2)：$α=(β - \gamma) + β$，整理得$2β=α+\gamma$，即$β=\frac{1}{2}(α+\gamma)$，故④正确。
对结论⑤：代入$β=\frac{1}{2}(α+\gamma)$，得$α-β=α-\frac{1}{2}(α+\gamma)=\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}\gamma≠\frac{1}{2}\gamma$，故⑤错误。
对结论③：$∠ DAB+∠ BCD=2x+2y=2(β-\gamma)$，代入$β=\frac{1}{2}(α+\gamma)$，得$2(\frac{1}{2}(α+\gamma)-\gamma)=α-\gamma$；而③中等式右侧$α+\gamma-β=α+\gamma-\frac{1}{2}(α+\gamma)=\frac{1}{2}(α+\gamma)$，显然$α-\gamma≠\frac{1}{2}(α+\gamma)$，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查三角形相关性质，需要逐一分析每个结论，通过设参数表示相等的角可简化角关系的推导，边的大小关系判断可通过作辅助线转化为基础的三边关系应用，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17.在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ A + 30°$，$∠ C = ∠ A - 15°$，分别求出$△ ABC$各内角的度数。
17.在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ A + 30°$，$∠ C = ∠ A - 15°$，分别求出$△ ABC$各内角的度数。
答案
17.依题意，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
即$∠ A+∠ A+30°+∠ A-15°=180°$，
解得$∠ A=55°,∠ B=85°,∠ C=40°$。
即$∠ A+∠ A+30°+∠ A-15°=180°$，
解得$∠ A=55°,∠ B=85°,∠ C=40°$。
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形内角和定理，即三角形三个内角的和等于180°。观察题目已知条件，∠B和∠C都用含∠A的式子表示，因此我们可以将∠B、∠C全部替换为含∠A的表达式，代入内角和公式得到关于∠A的一元一次方程，解方程求出∠A的度数后，再依次计算∠B和∠C的度数即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B = ∠ A + 30°$，$∠ C = ∠ A - 15°$，将其代入上式得：
$∠ A + (∠ A + 30°) + (∠ A - 15°) = 180°$
合并同类项得：$3∠ A + 15° = 180°$
移项计算得：$3∠ A = 165°$，解得$∠ A = 55°$
则$∠ B = 55° + 30° = 85°$，$∠ C = 55° - 15° = 40°$
【答案】
$∠ A=55°$，$∠ B=85°$，$∠ C=40°$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形内角和的实际应用，解题关键是把角度之间的数量关系转化为方程求解，熟练掌握三角形内角和定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是三角形内角和定理，即三角形三个内角的和等于180°。观察题目已知条件，∠B和∠C都用含∠A的式子表示，因此我们可以将∠B、∠C全部替换为含∠A的表达式，代入内角和公式得到关于∠A的一元一次方程，解方程求出∠A的度数后，再依次计算∠B和∠C的度数即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B = ∠ A + 30°$，$∠ C = ∠ A - 15°$，将其代入上式得：
$∠ A + (∠ A + 30°) + (∠ A - 15°) = 180°$
合并同类项得：$3∠ A + 15° = 180°$
移项计算得：$3∠ A = 165°$，解得$∠ A = 55°$
则$∠ B = 55° + 30° = 85°$，$∠ C = 55° - 15° = 40°$
【答案】
$∠ A=55°$，$∠ B=85°$，$∠ C=40°$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形内角和的实际应用，解题关键是把角度之间的数量关系转化为方程求解，熟练掌握三角形内角和定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.85
18.如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠BAD=∠B,∠C=65°,求∠BAC的度数. 
答案
18.在$△ ABD$中,由$AD⊥ BC,∠ BAD=∠ B$,则$∠ BAD=∠ B=45°$.
又$∠ C=65°$,在$△ ABC$中,$∠ BAC=70°$.
又$∠ C=65°$,在$△ ABC$中,$∠ BAC=70°$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AD垂直BC可推出△ABD是直角三角形，结合直角三角形两锐角互余的性质，以及∠BAD=∠B的等量关系，可先求出∠B的度数；再利用三角形内角和为180°的定理，结合已知的∠C的度数，即可计算出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余），
又
∵∠BAD=∠B，
∴2∠B=90°，解得∠B=45°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得∠BAC+∠B+∠C=180°，
已知∠C=65°，将∠B=45°、∠C=65°代入得：
∠BAC=180°-45°-65°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先通过直角三角形的角的关系求出∠B的度数，再结合三角形内角和定理求解，解题时注意步骤的逻辑性，避免随意跳步。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：AD垂直BC可推出△ABD是直角三角形，结合直角三角形两锐角互余的性质，以及∠BAD=∠B的等量关系，可先求出∠B的度数；再利用三角形内角和为180°的定理，结合已知的∠C的度数，即可计算出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余），
又
∵∠BAD=∠B，
∴2∠B=90°，解得∠B=45°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得∠BAC+∠B+∠C=180°，
已知∠C=65°，将∠B=45°、∠C=65°代入得：
∠BAC=180°-45°-65°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先通过直角三角形的角的关系求出∠B的度数，再结合三角形内角和定理求解，解题时注意步骤的逻辑性，避免随意跳步。
【难度系数】
0.8
