23.【问题背景】(1)如图①,我们把它称为“8字形”,请证明∠A+∠B=∠C+∠D.
【简单应用】(2)如图②,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠B=36°,∠D=16°,求∠P的度数.
【问题探究】(3)如图③,直线AP平分∠BAD的邻补角∠FAD,CP平分∠BCD的邻补角∠BCE.若∠B=36°,∠D=16°,请猜想∠P的度数,并说明理由.
【拓展延伸】(4)如图④,若设∠C=α,∠B=β,∠CAP=$\frac{1}{3}∠ CAB$,∠CDP=$\frac{1}{3}∠ CDB$,则∠P与∠C,∠B之间的数量关系为(用α,β表示∠P,不必证明).

23.(1)在$△ AOB$中,$∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$.
在$△ COD$中,$∠ C+∠ D+∠ COD=180°$.
$\because ∠ AOB=∠ COD,\therefore ∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$.
(2)$\because AP,CP$分别平分$∠ BAD,∠ BCD$,
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$.
由(1)的结论得：
$\begin{cases}∠ P+∠ 3=∠ 2+∠ B,\\∠ P+∠ 1=∠ 4+∠ D,\end{cases}$
$\therefore 2∠ P+∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4+∠ B+∠ D$.
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ D)=26°$.
(3)如图，

$\because$直线$AP$平分$∠ BAD$的邻补角$∠ FAD$,$CP$平分$∠ BCD$的邻补角$∠ BCE$,
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$.
$\because ∠ PAD=180°-∠ 2,∠ PCD=180°-∠ 3$.
$\therefore ∠ P+(180°-∠ 2)=∠ D+(180°-∠ 3)$.
$\because ∠ P+∠ 1=∠ B+∠ 4$,
$\therefore 2∠ P=∠ B+∠ D$.
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ D)=\frac{1}{2}×(36°+16°)=26°$.
(4)$∠ P=\frac{2}{3}α+\frac{1}{3}β$

【分析】
(1) 观察图①的“8字形”结构，△AOB和△COD的内角和均为180°，且两个三角形有一组对顶角∠AOB和∠COD相等，将两个内角和等式消去相等的角，即可推出待证结论。
(2) 直接使用(1)得到的“8字形”角度结论，分别找到包含∠P与∠B、∠P与∠D的两组“8字形”，列两个角度等式，再结合角平分线得到的等角关系，将两式相加消去相等的角，即可求出∠P的度数。
(3) 先根据角平分线定义得到对应等分角相等，再结合邻补角的角度表示，找到两组“8字形”列角度等式，联立两个等式推导，即可得到∠P和∠B、∠D的数量关系，代入角度计算即可。
(4) 类比第(2)问的推导方法，将角的等分比例替换为$\frac{1}{3}$，联立两个“8字形”的角度等式整理，即可得到∠P与α、β的关系。
【解析】
(1) 在$△ AOB$中，$∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$。
在$△ COD$中，$∠ C+∠ D+∠ COD=180°$。
$\because ∠ AOB=∠ COD$，$\therefore ∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$。
(2) $\because AP,CP$分别平分$∠ BAD,∠ BCD$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$。
由(1)的结论得：
$\begin{cases}∠ P+∠ 3=∠ 2+∠ B,\\∠ P+∠ 1=∠ 4+∠ D,\end{cases}$
将两式相加得$2∠ P+∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4+∠ B+∠ D$，
消去相等的$∠ 1$与$∠ 2$、$∠ 3$与$∠ 4$，得$∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ D)=\frac{1}{2}×(36°+16°)=26°$。
(3) 如图，

$\because$直线$AP$平分$∠ BAD$的邻补角$∠ FAD$，$CP$平分$∠ BCD$的邻补角$∠ BCE$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$。
$\because ∠ PAD=180°-∠ 2,∠ PCD=180°-∠ 3$，
根据“8字形”结论得$∠ P+(180°-∠ 2)=∠ D+(180°-∠ 3)$，
同时另有“8字形”结论$∠ P+∠ 1=∠ B+∠ 4$，
两式相加得$2∠ P= ∠ B+∠ D$，
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ D)=\frac{1}{2}×(36°+16°)=26°$。
(4) 类比上述推导方法，代入角度比例关系整理可得$∠ P=\frac{2}{3}α+\frac{1}{3}β$。
【答案】
23.(1)在$△ AOB$中,$∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$.
在$△ COD$中,$∠ C+∠ D+∠ COD=180°$.
$\because ∠ AOB=∠ COD,\therefore ∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$.
(2)$\because AP,CP$分别平分$∠ BAD,∠ BCD$,
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$.
由(1)的结论得：
$\begin{cases}∠ P+∠ 3=∠ 2+∠ B,\\∠ P+∠ 1=∠ 4+∠ D,\end{cases}$
$\therefore 2∠ P+∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4+∠ B+∠ D$.
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ D)=26°$.
(3)如图，

$\because$直线$AP$平分$∠ BAD$的邻补角$∠ FAD$,$CP$平分$∠ BCD$的邻补角$∠ BCE$,
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$.
$\because ∠ PAD=180°-∠ 2,∠ PCD=180°-∠ 3$.
$\therefore ∠ P+(180°-∠ 2)=∠ D+(180°-∠ 3)$.
$\because ∠ P+∠ 1=∠ B+∠ 4$,
$\therefore 2∠ P=∠ B+∠ D$.
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ D)=\frac{1}{2}×(36°+16°)=26°$.
(4)$∠ P=\frac{2}{3}α+\frac{1}{3}β$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题以“8字形”几何模型为核心，从基础结论证明到逐层拓展应用，考查了角度推导的逻辑思维能力，解题关键是灵活运用已证结论，结合角的等量关系联立等式求解，能有效提升几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6

24.如图,在平面直角坐标系中,点 A,B,C(0,-2)均在坐标轴上,AC⊥BC,点 D 在 y 轴左边,且 CD//x 轴.
(1)若△BCD 的面积等于 3,则点 D 的坐标为.
(2)如图①,∠ABC 的平分线 BD 分别交 y 轴,AC 于点 P,Q,求证∠CPQ=∠CQP.
(3)如图②,若∠ADC=∠DAC,CE 平分∠ACB,DA,CE 相交于点 E,求$\frac{∠E}{∠ABC}$的值.

24.(1)$(-3,-2)$
(2)$\because AC⊥ BC$,设$∠ BCO=x,∠ ABD=∠ DBC=y$,则$∠ ACO=90°-x$.
又$∠ AOC=90°,\therefore ∠ CAB=90°-∠ ACO=∠ BCO=x$.
$\therefore ∠ CPQ=y+x,∠ CQP=y+x$,
即$∠ CPQ=∠ CQP$.
(3)依题意,设$∠ ADC=∠ DAC=m$,则$∠ ACD=∠ BAC=180°-2m$,
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°-(180°-2m)=2m-90°$.
又$∠ E=∠ DAC-45°=m-45°$,
故$\frac{∠ E}{∠ ABC}=\frac{1}{2}$.

【分析】
(1) 先确定D点纵坐标：由CD//x轴，C(0,-2)可知D的纵坐标为-2；△BCD以CD为底时，高为x轴和CD所在直线的距离，即OC=2，结合三角形面积为3求出CD的长度，再根据D在y轴左侧确定横坐标，即可得到D的坐标。
(2) 要证∠CPQ=∠CQP，可通过角的等量代换证明两个角相等：首先利用同角的余角相等得到∠CAB=∠BCO，再结合BD是∠ABC的平分线得∠ABD=∠DBC，最后利用三角形外角性质分别表示出∠CPQ和∠CQP，即可证明二者相等。
(3) 先由平行线的内错角相等得∠ACD=∠BAC，结合∠ADC=∠DAC用参数m表示∠BAC，再在Rt△ABC中用m表示∠ABC；接着由CE平分直角∠ACB得∠ACE=45°，利用三角形外角性质表示出∠E，最后计算二者的比值即可。
【解析】
(1) 解：
∵CD//x轴，C(0,-2)，
∴点D的纵坐标为-2，△BCD的CD边上的高为OC=2。
由$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD×2=3$，解得CD=3，又
∵D在y轴左侧，
∴D的横坐标为-3，即D(-3,-2)。
(2) 证明：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，设∠BCO=x，BD平分∠ABC，设∠ABD=∠DBC=y。
∵∠AOC=90°，
∴∠CAB+∠ACO=90°，又
∵∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠CAB=∠BCO=x。
由三角形外角性质，∠CQP=∠CAB+∠ABD=x+y，∠CPQ=∠DBC+∠BCO=y+x，
∴∠CPQ=∠CQP。
(3) 解：设∠ADC=∠DAC=m，
∵CD//x轴，
∴∠ACD=∠BAC，在△ACD中，∠ACD=180°-m-m=180°-2m，即∠BAC=180°-2m。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠BAC=90°-(180°-2m)=2m-90°。
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACE=45°。
由三角形外角性质，∠DAC=∠E+∠ACE，即m=∠E+45°，得∠E=m-45°。
∴$\frac{∠E}{∠ABC}=\frac{m-45°}{2m-90°}=\frac{m-45°}{2(m-45°)}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-3,-2)}$；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系下的坐标计算、角的等量代换、三角形内角与外角的性质等内容，解题时通过设参数表示角的度数可以简化推导过程，重点考查学生的几何逻辑推理能力和性质运用能力。
【难度系数】
0.6