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例1 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ CAB$,$∠ CBA$的平分线相交于点$D$,$BD$的延长线交$AC$于点$E$,求$∠ ADE$的度数.
【思路导析】因为$∠ ADE$是$△ ABD$的一个外角,所以$∠ ADE=∠1+∠2$.而$2∠1+2∠2=180°-∠ C=90°$,故而求得$∠1+∠2=45°$,即$∠ ADE=45°$.
【请你解答】
【思路导析】因为$∠ ADE$是$△ ABD$的一个外角,所以$∠ ADE=∠1+∠2$.而$2∠1+2∠2=180°-∠ C=90°$,故而求得$∠1+∠2=45°$,即$∠ ADE=45°$.
【请你解答】
答案
解：
∵ AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠2 = $\frac{1}{2}$∠CBA。
∵ 在△ABC中，∠C = 90°，
∴ ∠CAB + ∠CBA = 180° - ∠C = 90°，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠CAB + ∠CBA) = $\frac{1}{2}$ × 90° = 45°。
又∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠1 + ∠2 = 45°。
∵ AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠2 = $\frac{1}{2}$∠CBA。
∵ 在△ABC中，∠C = 90°，
∴ ∠CAB + ∠CBA = 180° - ∠C = 90°，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠CAB + ∠CBA) = $\frac{1}{2}$ × 90° = 45°。
又∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠1 + ∠2 = 45°。
解析
【分析】
要求∠ADE的度数，首先观察∠ADE的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ADE=∠1+∠2，因此只需计算出∠1+∠2的度数即可。已知AD、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，可得∠1是∠CAB的一半，∠2是∠CBA的一半；再结合△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据三角形内角和可求出∠CAB+∠CBA=90°，进而就能求出∠1+∠2的度数，最终得到∠ADE的度数。
【解析】
∵ AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠2 = $\frac{1}{2}$∠CBA。
∵ 在△ABC中，∠C = 90°，
∴ ∠CAB + ∠CBA = 180° - ∠C = 90°，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠CAB + ∠CBA) = $\frac{1}{2}$ × 90° = 45°。
又
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠1 + ∠2 = 45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的关键是利用转化思想将所求角转化为两个角的和，再结合角平分线性质和三角形内角相关定理整体计算，不需要单独求解每个角的度数，是三角形角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.8
要求∠ADE的度数，首先观察∠ADE的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ADE=∠1+∠2，因此只需计算出∠1+∠2的度数即可。已知AD、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，可得∠1是∠CAB的一半，∠2是∠CBA的一半；再结合△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据三角形内角和可求出∠CAB+∠CBA=90°，进而就能求出∠1+∠2的度数，最终得到∠ADE的度数。
【解析】
∵ AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠2 = $\frac{1}{2}$∠CBA。
∵ 在△ABC中，∠C = 90°，
∴ ∠CAB + ∠CBA = 180° - ∠C = 90°，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠CAB + ∠CBA) = $\frac{1}{2}$ × 90° = 45°。
又
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE = ∠1 + ∠2 = 45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的关键是利用转化思想将所求角转化为两个角的和，再结合角平分线性质和三角形内角相关定理整体计算，不需要单独求解每个角的度数，是三角形角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.8
例2 如图,已知DE分别交$△ ABC$的边AB,AC于点D,E,交BC的延长线于点F,$∠ B=67°$,$∠ ACB=74°$,$∠ AED=48°$,求$∠ BDF$的度数.
【思路导析】要求$∠ BDF$的度数,应从三角形内角和与三角形的外角出发,若将$∠ BDF$看成$△ BDF$的内角,只需求$∠ F$的度数即可.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】要求$∠ BDF$的度数,应从三角形内角和与三角形的外角出发,若将$∠ BDF$看成$△ BDF$的内角,只需求$∠ F$的度数即可.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
∵ ∠ACB是△ECF的外角，
∴ ∠ACB = ∠CEF + ∠F，
又∵ ∠CEF = ∠AED = 48°，∠ACB=74°，
∴ ∠F = ∠ACB - ∠CEF = 74° - 48° = 26°，
在△BDF中，由三角形内角和为180°得：
∠BDF + ∠B + ∠F = 180°，
∴ ∠BDF = 180° - ∠B - ∠F = 180° - 67° - 26° = 87°。
∵ ∠ACB是△ECF的外角，
∴ ∠ACB = ∠CEF + ∠F，
又∵ ∠CEF = ∠AED = 48°，∠ACB=74°，
∴ ∠F = ∠ACB - ∠CEF = 74° - 48° = 26°，
在△BDF中，由三角形内角和为180°得：
∠BDF + ∠B + ∠F = 180°，
∴ ∠BDF = 180° - ∠B - ∠F = 180° - 67° - 26° = 87°。
解析
【分析】
要求∠BDF的度数，首先观察到∠BDF是△BDF的内角，已知∠B=67°，结合三角形内角和为180°的性质，只需先求出∠F的度数即可。求∠F时，利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠ACB是△ECF的外角，且∠CEF与∠AED是对顶角，二者相等，由此可计算出∠F的度数，最后代入△BDF的内角和公式即可求出∠BDF。
【解析】
∵ ∠ACB是△ECF的外角，
∴ ∠ACB = ∠CEF + ∠F，
又
∵ ∠CEF与∠AED是对顶角，
∴ ∠CEF = ∠AED = 48°，
已知∠ACB=74°，
∴ ∠F = ∠ACB - ∠CEF = 74° - 48° = 26°，
在△BDF中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BDF + ∠B + ∠F = 180°，
已知∠B=67°，
∴ ∠BDF = 180° - ∠B - ∠F = 180° - 67° - 26° = 87°。
【答案】
87°
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角相等
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的核心是先确定目标角所在的三角形，再结合对顶角性质、三角形内外角相关定理逐步推导未知角，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.75
要求∠BDF的度数，首先观察到∠BDF是△BDF的内角，已知∠B=67°，结合三角形内角和为180°的性质，只需先求出∠F的度数即可。求∠F时，利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠ACB是△ECF的外角，且∠CEF与∠AED是对顶角，二者相等，由此可计算出∠F的度数，最后代入△BDF的内角和公式即可求出∠BDF。
【解析】
∵ ∠ACB是△ECF的外角，
∴ ∠ACB = ∠CEF + ∠F，
又
∵ ∠CEF与∠AED是对顶角，
∴ ∠CEF = ∠AED = 48°，
已知∠ACB=74°，
∴ ∠F = ∠ACB - ∠CEF = 74° - 48° = 26°，
在△BDF中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BDF + ∠B + ∠F = 180°，
已知∠B=67°，
∴ ∠BDF = 180° - ∠B - ∠F = 180° - 67° - 26° = 87°。
【答案】
87°
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角相等
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的核心是先确定目标角所在的三角形，再结合对顶角性质、三角形内外角相关定理逐步推导未知角，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.75
例3 如图，∠XOY=90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C.问：∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请求出∠ACB的大小；如果发生变化，请探究变化规律.
【思路导析】把动点的问题静止化.
【示范解答】不变化.
∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠EBA=$\frac{1}{2}$∠YBA.
∵ ∠EBA=∠C+∠CAB，
∴ ∠C =∠EBA−∠CAB
=$\frac{1}{2}$∠YBA−$\frac{1}{2}$∠OAB
=$\frac{1}{2}$(∠YBA−∠OAB).
∵ ∠YBA−∠OAB=∠XOY=90°，
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
【思路导析】把动点的问题静止化.
【示范解答】不变化.
∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠EBA=$\frac{1}{2}$∠YBA.
∵ ∠EBA=∠C+∠CAB，
∴ ∠C =∠EBA−∠CAB
=$\frac{1}{2}$∠YBA−$\frac{1}{2}$∠OAB
=$\frac{1}{2}$(∠YBA−∠OAB).
∵ ∠YBA−∠OAB=∠XOY=90°，
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
答案
解：∠ACB的大小保持不变。
∵ AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴ $∠ CAB=\frac{1}{2}∠ OAB$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ YBA$。
由三角形外角的性质，得$∠ EBA = ∠ ACB + ∠ CAB$，
∴ $∠ ACB = ∠ EBA - ∠ CAB$
$=\frac{1}{2}∠ YBA - \frac{1}{2}∠ OAB$
$=\frac{1}{2}(∠ YBA - ∠ OAB)$。
又∵ $∠ YBA$是$△ AOB$的外角，$∠ XOY=90°$，
∴ $∠ YBA = ∠ XOY + ∠ OAB = 90° + ∠ OAB$，
即$∠ YBA - ∠ OAB = 90°$，
∴ $∠ ACB = \frac{1}{2}×90° = 45°$。
综上，$∠ ACB$大小不变，恒为$45°$。
∵ AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴ $∠ CAB=\frac{1}{2}∠ OAB$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ YBA$。
由三角形外角的性质，得$∠ EBA = ∠ ACB + ∠ CAB$，
∴ $∠ ACB = ∠ EBA - ∠ CAB$
$=\frac{1}{2}∠ YBA - \frac{1}{2}∠ OAB$
$=\frac{1}{2}(∠ YBA - ∠ OAB)$。
又∵ $∠ YBA$是$△ AOB$的外角，$∠ XOY=90°$，
∴ $∠ YBA = ∠ XOY + ∠ OAB = 90° + ∠ OAB$，
即$∠ YBA - ∠ OAB = 90°$，
∴ $∠ ACB = \frac{1}{2}×90° = 45°$。
综上，$∠ ACB$大小不变，恒为$45°$。
解析
【分析】
要判断∠ACB的大小是否变化，核心是将∠ACB用已知的固定角∠XOY=90°来表示。首先利用角平分线的定义，把∠CAB、∠EBA分别转化为∠OAB、∠YBA的一半；再结合三角形外角的性质，先从△ABC的外角关系得到∠EBA=∠ACB+∠CAB，推导出∠ACB是∠EBA与∠CAB的差；接着利用△AOB的外角关系得到∠YBA与∠OAB、∠XOY的关系，代入化简即可得到∠ACB的定值，整个过程不用考虑A、B的移动，只需要抓住不变的角的关系即可。
【解析】
∠ACB的大小保持不变。
∵ AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴ $∠ CAB=\frac{1}{2}∠ OAB$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ YBA$。
由三角形外角的性质，得$∠ EBA = ∠ ACB + ∠ CAB$，
∴ $∠ ACB = ∠ EBA - ∠ CAB$
$=\frac{1}{2}∠ YBA - \frac{1}{2}∠ OAB$
$=\frac{1}{2}(∠ YBA - ∠ OAB)$。
又
∵ $∠ YBA$是$△ AOB$的外角，$∠ XOY=90°$，
∴ $∠ YBA = ∠ XOY + ∠ OAB = 90° + ∠ OAB$，
即$∠ YBA - ∠ OAB = 90°$，
∴ $∠ ACB = \frac{1}{2}×90° = 45°$。
综上，$∠ ACB$大小不变，恒为$45°$。
【答案】
∠ACB的大小保持不变，为45°
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，角的和差运算
【点评】
本题属于动点背景下的角度定值类问题，解题的核心是忽略动点的动态变化，抓住不变的角的数量关系，通过角平分线性质和三角形外角性质完成待求角与已知固定角的转化，体现了几何中“动中取静”的解题思想，熟练掌握相关性质即可快速求解同类问题。
【难度系数】
0.7
要判断∠ACB的大小是否变化，核心是将∠ACB用已知的固定角∠XOY=90°来表示。首先利用角平分线的定义，把∠CAB、∠EBA分别转化为∠OAB、∠YBA的一半；再结合三角形外角的性质，先从△ABC的外角关系得到∠EBA=∠ACB+∠CAB，推导出∠ACB是∠EBA与∠CAB的差；接着利用△AOB的外角关系得到∠YBA与∠OAB、∠XOY的关系，代入化简即可得到∠ACB的定值，整个过程不用考虑A、B的移动，只需要抓住不变的角的关系即可。
【解析】
∠ACB的大小保持不变。
∵ AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴ $∠ CAB=\frac{1}{2}∠ OAB$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ YBA$。
由三角形外角的性质，得$∠ EBA = ∠ ACB + ∠ CAB$，
∴ $∠ ACB = ∠ EBA - ∠ CAB$
$=\frac{1}{2}∠ YBA - \frac{1}{2}∠ OAB$
$=\frac{1}{2}(∠ YBA - ∠ OAB)$。
又
∵ $∠ YBA$是$△ AOB$的外角，$∠ XOY=90°$，
∴ $∠ YBA = ∠ XOY + ∠ OAB = 90° + ∠ OAB$，
即$∠ YBA - ∠ OAB = 90°$，
∴ $∠ ACB = \frac{1}{2}×90° = 45°$。
综上，$∠ ACB$大小不变，恒为$45°$。
【答案】
∠ACB的大小保持不变，为45°
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，角的和差运算
【点评】
本题属于动点背景下的角度定值类问题，解题的核心是忽略动点的动态变化，抓住不变的角的数量关系，通过角平分线性质和三角形外角性质完成待求角与已知固定角的转化，体现了几何中“动中取静”的解题思想，熟练掌握相关性质即可快速求解同类问题。
【难度系数】
0.7
变式探究
如图所示是可调躺椅的示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小使∠EFD=110°,则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度.
如图所示是可调躺椅的示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小使∠EFD=110°,则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度.
答案
减少；10
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，结合对顶角相等得到∠DCE的度数；再利用三角形外角的性质，推导出∠EFD与∠D、∠E、∠DCE的数量关系，代入∠EFD=110°算出此时∠D的大小，最后与原∠D的度数对比即可得出结论。
【解析】
1. 计算∠DCE的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=50°，∠B=60°，则
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-60°=70°$
因为∠DCE与∠ACB是对顶角，所以$∠ DCE=∠ ACB=70°$。
2. 推导∠EFD的角度关系：
延长EF交CD于点G，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在△EGC中，$∠ DGE=∠ E+∠ DCE=30°+70°=100°$；
在△DFG中，$∠ EFD=∠ D+∠ DGE$。
3. 计算调整后∠D的度数：
要求$∠ EFD=110°$，代入得$110°=∠ D+100°$，解得$∠ D=10°$。
原∠D为20°，$20°-10°=10°$，因此∠D应减少10度。
【答案】
减少；10
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查三角形内外角性质的应用，解题的核心是梳理清楚各角之间的数量关系，通过逐步推导即可得到结果，能很好地锻炼学生结合几何性质解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，结合对顶角相等得到∠DCE的度数；再利用三角形外角的性质，推导出∠EFD与∠D、∠E、∠DCE的数量关系，代入∠EFD=110°算出此时∠D的大小，最后与原∠D的度数对比即可得出结论。
【解析】
1. 计算∠DCE的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=50°，∠B=60°，则
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-60°=70°$
因为∠DCE与∠ACB是对顶角，所以$∠ DCE=∠ ACB=70°$。
2. 推导∠EFD的角度关系：
延长EF交CD于点G，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在△EGC中，$∠ DGE=∠ E+∠ DCE=30°+70°=100°$；
在△DFG中，$∠ EFD=∠ D+∠ DGE$。
3. 计算调整后∠D的度数：
要求$∠ EFD=110°$，代入得$110°=∠ D+100°$，解得$∠ D=10°$。
原∠D为20°，$20°-10°=10°$，因此∠D应减少10度。
【答案】
减少；10
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查三角形内外角性质的应用，解题的核心是梳理清楚各角之间的数量关系，通过逐步推导即可得到结果，能很好地锻炼学生结合几何性质解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
