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例1 下列各式中,不能由$m-n+c$通过变形得到的是()
A.$m-(n-c)$
B.$c-(n-m)$
C.$m-(n+c)$
D.$(m-n)+c$
【思路导析】根据添括号法则作答.
【请你解答】
A.$m-(n-c)$
B.$c-(n-m)$
C.$m-(n+c)$
D.$(m-n)+c$
【思路导析】根据添括号法则作答.
【请你解答】
答案
C
解析
【分析】
本题考查去添括号的符号变化规则，解题思路是：先明确去添括号的法则，再对每个选项进行去括号运算，将运算结果和原式$m-n+c$对比，结果不一致的即为正确选项。
【解析】
首先回忆去（添）括号法则：括号前为正号时，去（添）括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去（添）括号后括号内各项符号都要改变。
我们逐个分析选项：
A. 对$m-(n-c)$去括号，得$m-n+c$，和原式一致，可通过变形得到，不符合题意；
B. 对$c-(n-m)$去括号，得$c-n+m=m-n+c$，和原式一致，可通过变形得到，不符合题意；
C. 对$m-(n+c)$去括号，得$m-n-c$，和原式$m-n+c$不一致，不能通过变形得到，符合题意；
D. 对$(m-n)+c$去括号，得$m-n+c$，和原式一致，可通过变形得到，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则；添括号法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查去添括号时的符号变化规律，做题时需格外注意括号前为负号的情况，避免出现只有首项变号、其余项不变号的错误，熟练掌握该规则是后续进行整式化简运算的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查去添括号的符号变化规则，解题思路是：先明确去添括号的法则，再对每个选项进行去括号运算，将运算结果和原式$m-n+c$对比，结果不一致的即为正确选项。
【解析】
首先回忆去（添）括号法则：括号前为正号时，去（添）括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去（添）括号后括号内各项符号都要改变。
我们逐个分析选项：
A. 对$m-(n-c)$去括号，得$m-n+c$，和原式一致，可通过变形得到，不符合题意；
B. 对$c-(n-m)$去括号，得$c-n+m=m-n+c$，和原式一致，可通过变形得到，不符合题意；
C. 对$m-(n+c)$去括号，得$m-n-c$，和原式$m-n+c$不一致，不能通过变形得到，符合题意；
D. 对$(m-n)+c$去括号，得$m-n+c$，和原式一致，可通过变形得到，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则；添括号法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查去添括号时的符号变化规律，做题时需格外注意括号前为负号的情况，避免出现只有首项变号、其余项不变号的错误，熟练掌握该规则是后续进行整式化简运算的基础。
【难度系数】
0.8
例2 计算：
(1)$(2x - y + 4)(2x + y - 4)$；
(2)$(m - 2n + 1)(-2n - 1 + m)$；
(3)$(2a + 3b - 1)(1 - 2a - 3b)$；
(4)$(3a - b + c)^2$。
【思路导析】先通过添括号把式子转化为符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算。
【请你解答】
(1)$(2x - y + 4)(2x + y - 4)$；
(2)$(m - 2n + 1)(-2n - 1 + m)$；
(3)$(2a + 3b - 1)(1 - 2a - 3b)$；
(4)$(3a - b + c)^2$。
【思路导析】先通过添括号把式子转化为符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算。
【请你解答】
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}原式&=[2x-(y-4)][2x+(y-4)]\\&=(2x)^2-(y-4)^2\\&=4x^2-(y^2-8y+16)\\&=4x^2-y^2+8y-16\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=[(m-2n)+1][(m-2n)-1]\\&=(m-2n)^2-1^2\\&=m^2-4mn+4n^2-1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=[(2a+3b)-1][-(2a+3b-1)]\\&=-(2a+3b-1)^2\\&=-[(2a+3b)^2-2·(2a+3b)·1+1^2]\\&=-(4a^2+12ab+9b^2-4a-6b+1)\\&=-4a^2-12ab-9b^2+4a+6b-1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}原式&=[(3a-b)+c]^2\\&=(3a-b)^2+2·(3a-b)· c + c^2\\&=9a^2-6ab+b^2+6ac-2bc+c^2\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}原式&=[2x-(y-4)][2x+(y-4)]\\&=(2x)^2-(y-4)^2\\&=4x^2-(y^2-8y+16)\\&=4x^2-y^2+8y-16\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=[(m-2n)+1][(m-2n)-1]\\&=(m-2n)^2-1^2\\&=m^2-4mn+4n^2-1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=[(2a+3b)-1][-(2a+3b-1)]\\&=-(2a+3b-1)^2\\&=-[(2a+3b)^2-2·(2a+3b)·1+1^2]\\&=-(4a^2+12ab+9b^2-4a-6b+1)\\&=-4a^2-12ab-9b^2+4a+6b-1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}原式&=[(3a-b)+c]^2\\&=(3a-b)^2+2·(3a-b)· c + c^2\\&=9a^2-6ab+b^2+6ac-2bc+c^2\end{aligned}$
解析
【分析】
本题是三项式的乘法及乘方运算，解题思路为：先观察多项式中各项的符号特征，将符号一致的项通过添括号看作一个整体，把原式变形为符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$或完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的结构，先套用乘法公式展开整体部分，再对得到的多项式继续展开，最后去括号、合并同类项即可，计算时要注意添括号和去括号的符号变化规则。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=[2x-(y-4)][2x+(y-4)]\\&=(2x)^2-(y-4)^2\\&=4x^2-(y^2-8y+16)\\&=4x^2-y^2+8y-16\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=[(m-2n)+1][(m-2n)-1]\\&=(m-2n)^2-1^2\\&=m^2-4mn+4n^2-1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=[(2a+3b)-1][-(2a+3b-1)]\\&=-(2a+3b-1)^2\\&=-[(2a+3b)^2-2·(2a+3b)·1+1^2]\\&=-(4a^2+12ab+9b^2-4a-6b+1)\\&=-4a^2-12ab-9b^2+4a+6b-1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}原式&=[(3a-b)+c]^2\\&=(3a-b)^2+2·(3a-b)· c + c^2\\&=9a^2-6ab+b^2+6ac-2bc+c^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $4x^2 - y^2 + 8y - 16$
(2) $m^2 - 4mn + 4n^2 - 1$
(3) $-4a^2 - 12ab - 9b^2 + 4a + 6b - 1$
(4) $9a^2 - 6ab + b^2 + 6ac - 2bc + c^2$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、添括号法则
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，核心是通过合理分组将复杂运算转化为公式运算，体现了整体数学思想，计算时需注意符号变化，避免去括号时出现符号错误。
【难度系数】
0.65
本题是三项式的乘法及乘方运算，解题思路为：先观察多项式中各项的符号特征，将符号一致的项通过添括号看作一个整体，把原式变形为符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$或完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的结构，先套用乘法公式展开整体部分，再对得到的多项式继续展开，最后去括号、合并同类项即可，计算时要注意添括号和去括号的符号变化规则。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=[2x-(y-4)][2x+(y-4)]\\&=(2x)^2-(y-4)^2\\&=4x^2-(y^2-8y+16)\\&=4x^2-y^2+8y-16\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=[(m-2n)+1][(m-2n)-1]\\&=(m-2n)^2-1^2\\&=m^2-4mn+4n^2-1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=[(2a+3b)-1][-(2a+3b-1)]\\&=-(2a+3b-1)^2\\&=-[(2a+3b)^2-2·(2a+3b)·1+1^2]\\&=-(4a^2+12ab+9b^2-4a-6b+1)\\&=-4a^2-12ab-9b^2+4a+6b-1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}原式&=[(3a-b)+c]^2\\&=(3a-b)^2+2·(3a-b)· c + c^2\\&=9a^2-6ab+b^2+6ac-2bc+c^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $4x^2 - y^2 + 8y - 16$
(2) $m^2 - 4mn + 4n^2 - 1$
(3) $-4a^2 - 12ab - 9b^2 + 4a + 6b - 1$
(4) $9a^2 - 6ab + b^2 + 6ac - 2bc + c^2$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、添括号法则
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，核心是通过合理分组将复杂运算转化为公式运算，体现了整体数学思想，计算时需注意符号变化，避免去括号时出现符号错误。
【难度系数】
0.65
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
例3 分别按下列要求把多项式$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2$添上括号：
(1)把前两项括到前面带有“＋”号的括号里，后两项括到前面带有“－”号的括号里；
(2)把后三项括到前面带有“－”号的括号里；
(3)把含有字母$a$的项括到前面带有“＋”号的括号里，把含有字母$b$的项括到前面带有“－”号的括号里.
【思路导析】添括号，看符号，正号在前直接抄，负号在前变号抄.
【示范解答】(1)$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - b) - (2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$.
(2)$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = 5a - (b + 2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$.
(3)$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = 5a - 2a^2 - b + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - 2a^2) - (b - \frac{1}{3}b^2)$.
例3 分别按下列要求把多项式$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2$添上括号：
(1)把前两项括到前面带有“＋”号的括号里，后两项括到前面带有“－”号的括号里；
(2)把后三项括到前面带有“－”号的括号里；
(3)把含有字母$a$的项括到前面带有“＋”号的括号里，把含有字母$b$的项括到前面带有“－”号的括号里.
【思路导析】添括号，看符号，正号在前直接抄，负号在前变号抄.
【示范解答】(1)$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - b) - (2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$.
(2)$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = 5a - (b + 2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$.
(3)$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = 5a - 2a^2 - b + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - 2a^2) - (b - \frac{1}{3}b^2)$.
答案
解：
(1) 根据添括号法则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都改变符号，可得：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - b) - (2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(2) 同理，将后三项括到前面带有“-”号的括号里，可得：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = 5a - (b + 2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(3) 先将含字母$a$的项、含字母$b$的项分别归类，再按要求添括号，可得：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - 2a^2) - (b - \frac{1}{3}b^2)$
(1) 根据添括号法则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都改变符号，可得：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - b) - (2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(2) 同理，将后三项括到前面带有“-”号的括号里，可得：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = 5a - (b + 2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(3) 先将含字母$a$的项、含字母$b$的项分别归类，再按要求添括号，可得：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - 2a^2) - (b - \frac{1}{3}b^2)$
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握添括号法则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。具体各小问思路如下：
(1)先拆分多项式为前两项和后两项，前两项放入带“+”号的括号内直接照抄，后两项放入带“-”号的括号内，每一项都改变符号即可；
(2)拆分多项式为第一项和后三项，后三项放入带“-”号的括号内，每一项都改变符号，第一项保留在括号外即可；
(3)先将多项式的项按含a、含b分类，含a的项放入带“+”号的括号内直接照抄，含b的项放入带“-”号的括号内，每一项改变符号即可。
【解析】
根据添括号法则求解：
(1) 前两项括到带“+”号的括号里，各项符号不变，后两项括到带“-”号的括号里，各项符号改变：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - b) - (2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(2) 后三项括到带“-”号的括号里，后三项各项符号改变，第一项5a保留在括号外：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = 5a - (b + 2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(3) 先归类含a的项和含b的项，再按要求添括号：含a的项括到带“+”号的括号里符号不变，含b的项括到带“-”号的括号里符号改变：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - 2a^2) - (b - \frac{1}{3}b^2)$
【答案】
(1) $+(5a - b) - (2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(2) $5a - (b + 2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(3) $+(5a - 2a^2) - (b - \frac{1}{3}b^2)$
【知识点】
添括号法则，多项式的项，整式变形
【点评】
本题是整式变形的基础题，重点考查添括号法则的应用，解题关键是牢记括号前的符号决定括号内各项的符号是否改变，第三问需先对多项式的项按要求分类再变形，掌握本题规律可为后续因式分解、整式混合运算等知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心是熟练掌握添括号法则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。具体各小问思路如下：
(1)先拆分多项式为前两项和后两项，前两项放入带“+”号的括号内直接照抄，后两项放入带“-”号的括号内，每一项都改变符号即可；
(2)拆分多项式为第一项和后三项，后三项放入带“-”号的括号内，每一项都改变符号，第一项保留在括号外即可；
(3)先将多项式的项按含a、含b分类，含a的项放入带“+”号的括号内直接照抄，含b的项放入带“-”号的括号内，每一项改变符号即可。
【解析】
根据添括号法则求解：
(1) 前两项括到带“+”号的括号里，各项符号不变，后两项括到带“-”号的括号里，各项符号改变：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - b) - (2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(2) 后三项括到带“-”号的括号里，后三项各项符号改变，第一项5a保留在括号外：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = 5a - (b + 2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(3) 先归类含a的项和含b的项，再按要求添括号：含a的项括到带“+”号的括号里符号不变，含b的项括到带“-”号的括号里符号改变：
$5a - b - 2a^2 + \frac{1}{3}b^2 = +(5a - 2a^2) - (b - \frac{1}{3}b^2)$
【答案】
(1) $+(5a - b) - (2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(2) $5a - (b + 2a^2 - \frac{1}{3}b^2)$
(3) $+(5a - 2a^2) - (b - \frac{1}{3}b^2)$
【知识点】
添括号法则，多项式的项，整式变形
【点评】
本题是整式变形的基础题，重点考查添括号法则的应用，解题关键是牢记括号前的符号决定括号内各项的符号是否改变，第三问需先对多项式的项按要求分类再变形，掌握本题规律可为后续因式分解、整式混合运算等知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.75
变式探究
当$x=1$时，$ax+b+1$的值为$-2$，则$(a+b-1)·(1-a-b)$的值为（）
A. $-16$
B. $-8$
C. $8$
D. $16$
学后反思
(1)无论添括号还是去括号，都只改变式子的形式不改变式子的值，这就是多项式的恒等变形.(2)添括号正确与否，可用去括号法则进行检验.(3)应特别注意添括号时，如果括号前是负号，那么括号里的各项都改变符号，而不是只改变部分项的符号.
当$x=1$时，$ax+b+1$的值为$-2$，则$(a+b-1)·(1-a-b)$的值为（）
A. $-16$
B. $-8$
C. $8$
D. $16$
学后反思
(1)无论添括号还是去括号，都只改变式子的形式不改变式子的值，这就是多项式的恒等变形.(2)添括号正确与否，可用去括号法则进行检验.(3)应特别注意添括号时，如果括号前是负号，那么括号里的各项都改变符号，而不是只改变部分项的符号.
答案
解：
当$x=1$时，将其代入$ax+b+1$得：
$a·1 + b + 1 = -2$
整理得：$a + b = -3$
对所求式子添括号变形：
$(a + b - 1)·(1 - a - b) = (a + b - 1)·[1 - (a + b)]$
将$a + b = -3$代入上式：
原式$= (-3 - 1)×[1 - (-3)]$
$= (-4)× 4$
$= -16$
答案选A。
当$x=1$时，将其代入$ax+b+1$得：
$a·1 + b + 1 = -2$
整理得：$a + b = -3$
对所求式子添括号变形：
$(a + b - 1)·(1 - a - b) = (a + b - 1)·[1 - (a + b)]$
将$a + b = -3$代入上式：
原式$= (-3 - 1)×[1 - (-3)]$
$= (-4)× 4$
$= -16$
答案选A。
解析
【分析】
解题时先根据已知条件，把$x=1$代入代数式$ax+b+1$中，求出$a+b$的整体值，不需要单独计算$a$和$b$的具体数值。再观察所求代数式的结构，利用添括号法则将$1-a-b$变形为$1-(a+b)$，最后把$a+b$的整体值代入计算即可得到结果。
【解析】
当$x=1$时，代入$ax+b+1$得：
$a·1 + b + 1 = -2$
整理得：$a + b = -3$
对所求式子利用添括号法则变形：
$(a + b - 1)·(1 - a - b) = (a + b - 1)·[1 - (a + b)]$
将$a + b = -3$代入上式：
原式$= (-3 - 1)×[1 - (-3)]$
$= (-4)× 4$
$= -16$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；添括号法则；整体代入思想
【点评】
本题解题核心是运用整体代入的思想，无需单独求解$a$、$b$的值，通过将$a+b$看作整体代入计算即可简化运算，要注意添括号时，若括号前为负号，括号内的所有项都要改变符号。
【难度系数】
0.7
解题时先根据已知条件，把$x=1$代入代数式$ax+b+1$中，求出$a+b$的整体值，不需要单独计算$a$和$b$的具体数值。再观察所求代数式的结构，利用添括号法则将$1-a-b$变形为$1-(a+b)$，最后把$a+b$的整体值代入计算即可得到结果。
【解析】
当$x=1$时，代入$ax+b+1$得：
$a·1 + b + 1 = -2$
整理得：$a + b = -3$
对所求式子利用添括号法则变形：
$(a + b - 1)·(1 - a - b) = (a + b - 1)·[1 - (a + b)]$
将$a + b = -3$代入上式：
原式$= (-3 - 1)×[1 - (-3)]$
$= (-4)× 4$
$= -16$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；添括号法则；整体代入思想
【点评】
本题解题核心是运用整体代入的思想，无需单独求解$a$、$b$的值，通过将$a+b$看作整体代入计算即可简化运算，要注意添括号时，若括号前为负号，括号内的所有项都要改变符号。
【难度系数】
0.7
