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8.已知$a+b=4$，$ab=-12$，求下列各式的值：
(1)$a^2+b^2$；
(2)$a^2+ab+b^2$；
(3)$(a-b)^2$。
(1)$a^2+b^2$；
(2)$a^2+ab+b^2$；
(3)$(a-b)^2$。
答案
解：
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=4$，$ab=-12$代入得：
$a^2+b^2=4^2 - 2×(-12)=16+24=40$
(2) 代入$a^2+b^2=40$，$ab=-12$得：
$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab=40+(-12)=28$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=4$，$ab=-12$代入得：
$(a-b)^2=4^2 - 4×(-12)=16+48=64$
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=4$，$ab=-12$代入得：
$a^2+b^2=4^2 - 2×(-12)=16+24=40$
(2) 代入$a^2+b^2=40$，$ab=-12$得：
$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab=40+(-12)=28$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=4$，$ab=-12$代入得：
$(a-b)^2=4^2 - 4×(-12)=16+48=64$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时不需要单独求出a、b的具体值，只需利用完全平方公式将待求式转化为含有(a+b)和ab的形式，再将已知条件整体代入计算即可。解题思路：首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，再根据每个待求式的结构对公式进行变形，最后代入数值计算。
【解析】
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=4$，$ab=-12$代入得：
$a^2+b^2=4^2 - 2×(-12)=16+24=40$
(2) 代入$a^2+b^2=40$，$ab=-12$得：
$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab=40+(-12)=28$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=4$，$ab=-12$代入得：
$(a-b)^2=4^2 - 4×(-12)=16+48=64$
【答案】
(1)$40$；(2)$28$；(3)$64$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是整式乘法中的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，运用整体代入的方法可大幅简化计算，避免单独求解a、b值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时不需要单独求出a、b的具体值，只需利用完全平方公式将待求式转化为含有(a+b)和ab的形式，再将已知条件整体代入计算即可。解题思路：首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，再根据每个待求式的结构对公式进行变形，最后代入数值计算。
【解析】
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=4$，$ab=-12$代入得：
$a^2+b^2=4^2 - 2×(-12)=16+24=40$
(2) 代入$a^2+b^2=40$，$ab=-12$得：
$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab=40+(-12)=28$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=4$，$ab=-12$代入得：
$(a-b)^2=4^2 - 4×(-12)=16+48=64$
【答案】
(1)$40$；(2)$28$；(3)$64$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是整式乘法中的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，运用整体代入的方法可大幅简化计算，避免单独求解a、b值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
9. 如图
是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按的形状拼成一个正方形。
(1) 图2中阴影部分的正方形边长是；
(2) 用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
方法1：，
方法2：；
(3) 观察图2，请你写出式子$(a + b)^2$，$(a - b)^2$，$ab$之间的等量关系：；
(4) 根据(3)中的等量关系解决如下问题：
若$m - n = -7$，$mn = 5$，则$(m + n)^2$的值为多少？
是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按的形状拼成一个正方形。(1) 图2中阴影部分的正方形边长是；
(2) 用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
方法1：，
方法2：；
(3) 观察图2，请你写出式子$(a + b)^2$，$(a - b)^2$，$ab$之间的等量关系：；
(4) 根据(3)中的等量关系解决如下问题：
若$m - n = -7$，$mn = 5$，则$(m + n)^2$的值为多少？
答案
解：
(1) $a - b$
(2) 方法1：$(a-b)^2$
方法2：$(a+b)^2 - 4ab$
(3) $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
(4) 由(3)中的等量关系变形可得：
$(m+n)^2 = (m-n)^2 + 4mn$
将$m-n=-7$，$mn=5$代入得：
$(m+n)^2 = (-7)^2 + 4×5 = 49 + 20 = 69$
即$(m+n)^2$的值为69。
(1) $a - b$
(2) 方法1：$(a-b)^2$
方法2：$(a+b)^2 - 4ab$
(3) $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
(4) 由(3)中的等量关系变形可得：
$(m+n)^2 = (m-n)^2 + 4mn$
将$m-n=-7$，$mn=5$代入得：
$(m+n)^2 = (-7)^2 + 4×5 = 49 + 20 = 69$
即$(m+n)^2$的值为69。
解析
【分析】
解题时结合图形边长与面积的关系逐步推导：
(1) 观察图2的边长组成，小长方形的长为a、宽为b，阴影正方形的边长等于小长方形的长减去宽，即可得出结果；
(2) 求阴影面积可从两个角度思考：方法1直接用阴影正方形的边长计算面积；方法2用外围大正方形的总面积减去4个小长方形的面积，得到阴影面积；
(3) 两种方法表示的是同一个阴影部分的面积，因此两个代数式相等，即可得到三个式子的等量关系；
(4) 对(3)得到的等量关系变形，将$(m+n)^2$转化为含$(m-n)^2$和$mn$的式子，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 小长方形的长为a，宽为b，阴影正方形的边长为长与宽的差，即$a-b$；
(2) 方法1：阴影部分是边长为$a-b$的正方形，根据正方形面积公式，面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$；
方法2：外围大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此阴影面积为大正方形面积减去4个小长方形的面积，即$\boldsymbol{(a+b)^2 - 4ab}$；
(3) 两种方法表示的阴影面积相等，因此可得等量关系：$\boldsymbol{(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab}$；
(4) 将(3)的等量关系变形得：$(m+n)^2 = (m-n)^2 + 4mn$，
把$m-n=-7$，$mn=5$代入式子：
$\begin{aligned}(m+n)^2 &= (-7)^2 + 4×5 \\&= 49 + 20 \\&= 69\end{aligned}$
【答案】
(1) $a-b$
(2) 方法1：$(a-b)^2$；方法2：$(a+b)^2 - 4ab$
(3) $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
(4) $69$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，数形结合求面积
【点评】
本题通过几何拼图考查完全平方公式的推导与应用，将代数公式和几何面积计算结合，体现了数形结合的思想，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时结合图形边长与面积的关系逐步推导：
(1) 观察图2的边长组成，小长方形的长为a、宽为b，阴影正方形的边长等于小长方形的长减去宽，即可得出结果；
(2) 求阴影面积可从两个角度思考：方法1直接用阴影正方形的边长计算面积；方法2用外围大正方形的总面积减去4个小长方形的面积，得到阴影面积；
(3) 两种方法表示的是同一个阴影部分的面积，因此两个代数式相等，即可得到三个式子的等量关系；
(4) 对(3)得到的等量关系变形，将$(m+n)^2$转化为含$(m-n)^2$和$mn$的式子，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 小长方形的长为a，宽为b，阴影正方形的边长为长与宽的差，即$a-b$；
(2) 方法1：阴影部分是边长为$a-b$的正方形，根据正方形面积公式，面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$；
方法2：外围大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此阴影面积为大正方形面积减去4个小长方形的面积，即$\boldsymbol{(a+b)^2 - 4ab}$；
(3) 两种方法表示的阴影面积相等，因此可得等量关系：$\boldsymbol{(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab}$；
(4) 将(3)的等量关系变形得：$(m+n)^2 = (m-n)^2 + 4mn$，
把$m-n=-7$，$mn=5$代入式子：
$\begin{aligned}(m+n)^2 &= (-7)^2 + 4×5 \\&= 49 + 20 \\&= 69\end{aligned}$
【答案】
(1) $a-b$
(2) 方法1：$(a-b)^2$；方法2：$(a+b)^2 - 4ab$
(3) $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
(4) $69$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，数形结合求面积
【点评】
本题通过几何拼图考查完全平方公式的推导与应用，将代数公式和几何面积计算结合，体现了数形结合的思想，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7
