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1. (1)$(x-2)^2 =$ ；
(2)$(2m+n)^2 =$ 。
(2)$(2m+n)^2 =$ 。
答案
(1) $\boldsymbol{x^2-4x+4}$；
(2) $\boldsymbol{4m^2+4mn+n^2}$。
(2) $\boldsymbol{4m^2+4mn+n^2}$。
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的基础应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：两数和的平方等于两数的平方和加两数积的2倍，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；两数差的平方等于两数的平方和减两数积的2倍，即$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。接下来分别确定每道小题中对应的a、b，代入公式计算即可，计算时注意不要遗漏中间的2倍项，同时系数和字母要同时做乘方运算。
【解析】
(1) 对于$(x-2)^2$，符合两数差的完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，代入公式得：
$\begin{aligned}(x-2)^2&=x^2 - 2× x×2 + 2^2\\&=x^2 -4x +4\end{aligned}$
(2) 对于$(2m+n)^2$，符合两数和的完全平方公式，其中$a=2m$，$b=n$，代入公式得：
$\begin{aligned}(2m+n)^2&=(2m)^2 + 2×2m× n + n^2\\&=4m^2 +4mn +n^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^2-4x+4}$；(2) $\boldsymbol{4m^2+4mn+n^2}$
【知识点】
完全平方公式；积的乘方运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心是准确识别公式中的a和b，牢记公式结构，计算时注意避免出现漏掉中间项、系数未乘方等常见错误。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的基础应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：两数和的平方等于两数的平方和加两数积的2倍，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；两数差的平方等于两数的平方和减两数积的2倍，即$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。接下来分别确定每道小题中对应的a、b，代入公式计算即可，计算时注意不要遗漏中间的2倍项，同时系数和字母要同时做乘方运算。
【解析】
(1) 对于$(x-2)^2$，符合两数差的完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，代入公式得：
$\begin{aligned}(x-2)^2&=x^2 - 2× x×2 + 2^2\\&=x^2 -4x +4\end{aligned}$
(2) 对于$(2m+n)^2$，符合两数和的完全平方公式，其中$a=2m$，$b=n$，代入公式得：
$\begin{aligned}(2m+n)^2&=(2m)^2 + 2×2m× n + n^2\\&=4m^2 +4mn +n^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^2-4x+4}$；(2) $\boldsymbol{4m^2+4mn+n^2}$
【知识点】
完全平方公式；积的乘方运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心是准确识别公式中的a和b，牢记公式结构，计算时注意避免出现漏掉中间项、系数未乘方等常见错误。
【难度系数】
0.9
2.若$4x^2 + ax + \frac{1}{64}$是一个完全平方式，则a的值可以是。
答案
解：
因为$4x^2 = (2x)^2$，$\frac{1}{64} = (\frac{1}{8})^2$，
根据完全平方公式$(A\pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$，可得：
$ax = \pm 2· 2x · \frac{1}{8} = \pm \frac{1}{2}x$，
所以$a = \pm \frac{1}{2}$。
因为$4x^2 = (2x)^2$，$\frac{1}{64} = (\frac{1}{8})^2$，
根据完全平方公式$(A\pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$，可得：
$ax = \pm 2· 2x · \frac{1}{8} = \pm \frac{1}{2}x$，
所以$a = \pm \frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式分为“和的平方”“差的平方”两种，结构为$A^2\pm2AB+B^2$。首先将题目中给出的两个平方项对应到公式的$A^2$和$B^2$，确定$A$、$B$的取值，再根据中间项等于$\pm2AB$建立等式，即可求出$a$的值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
解：
∵ $4x^2=(2x)^2$，$\frac{1}{64}=(\frac{1}{8})^2$，
根据完全平方公式$(A\pm B)^2=A^2\pm2AB+B^2$，可得中间项满足：
$ax=\pm2·2x·\frac{1}{8}=\pm\frac{1}{2}x$，
对比等式两边同类项的系数，得$a=\pm\frac{1}{2}$。
【答案】
$\pm\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，易错点是容易忽略完全平方式有两种结构，仅计算出$a$的正数值而遗漏负数值，解题时要考虑全面避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式分为“和的平方”“差的平方”两种，结构为$A^2\pm2AB+B^2$。首先将题目中给出的两个平方项对应到公式的$A^2$和$B^2$，确定$A$、$B$的取值，再根据中间项等于$\pm2AB$建立等式，即可求出$a$的值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
解：
∵ $4x^2=(2x)^2$，$\frac{1}{64}=(\frac{1}{8})^2$，
根据完全平方公式$(A\pm B)^2=A^2\pm2AB+B^2$，可得中间项满足：
$ax=\pm2·2x·\frac{1}{8}=\pm\frac{1}{2}x$，
对比等式两边同类项的系数，得$a=\pm\frac{1}{2}$。
【答案】
$\pm\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，易错点是容易忽略完全平方式有两种结构，仅计算出$a$的正数值而遗漏负数值，解题时要考虑全面避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 下列等式成立的是()
A.$(x-y)^2 = y^2 - 2xy + x^2$
B.$(x+6)(x-6) = x^2 - 6$
C.$(2a+b)^2 = 4a^2 + b^2$
D.$(x+y)^2 = x^2 + xy + y^2$
A.$(x-y)^2 = y^2 - 2xy + x^2$
B.$(x+6)(x-6) = x^2 - 6$
C.$(2a+b)^2 = 4a^2 + b^2$
D.$(x+y)^2 = x^2 + xy + y^2$
答案
A
解析
【分析】
本题考查整式乘法中平方差公式与完全平方公式的应用，解题思路为：先回忆平方差公式和完全平方公式的标准展开形式，再逐个将选项左侧的式子按照对应公式展开，将展开结果与选项右侧的式子对比，即可判断等式是否成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a=x$，$b=y$，可得$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，根据加法交换律，$x^2-2xy+y^2=y^2-2xy+x^2$，该等式成立。
选项B：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=x$，$b=6$，可得$(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36$，与选项右侧的$x^2-6$不符，等式不成立。
选项C：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=2a$，$b=b$，可得$(2a+b)^2=(2a)^2+2×2a× b +b^2=4a^2+4ab+b^2$，与选项右侧的$4a^2+b^2$不符，等式不成立。
选项D：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=x$，$b=y$，可得$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，与选项右侧的$x^2+xy+y^2$不符，等式不成立。
综上，只有A选项的等式成立。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对乘法公式的记忆和运用，解题时要注意完全平方公式展开后包含三项，不要遗漏中间的两倍乘积项，使用平方差公式时要注意对常数项也进行平方运算，避免因公式记混导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法中平方差公式与完全平方公式的应用，解题思路为：先回忆平方差公式和完全平方公式的标准展开形式，再逐个将选项左侧的式子按照对应公式展开，将展开结果与选项右侧的式子对比，即可判断等式是否成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a=x$，$b=y$，可得$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，根据加法交换律，$x^2-2xy+y^2=y^2-2xy+x^2$，该等式成立。
选项B：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=x$，$b=6$，可得$(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36$，与选项右侧的$x^2-6$不符，等式不成立。
选项C：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=2a$，$b=b$，可得$(2a+b)^2=(2a)^2+2×2a× b +b^2=4a^2+4ab+b^2$，与选项右侧的$4a^2+b^2$不符，等式不成立。
选项D：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=x$，$b=y$，可得$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，与选项右侧的$x^2+xy+y^2$不符，等式不成立。
综上，只有A选项的等式成立。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对乘法公式的记忆和运用，解题时要注意完全平方公式展开后包含三项，不要遗漏中间的两倍乘积项，使用平方差公式时要注意对常数项也进行平方运算，避免因公式记混导致出错。
【难度系数】
0.8
4.小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果$4x^2 + 20xy + $
$$，但不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是()
A.$5y^2$
B.$10y^2$
C.$100y^2$
D.$25y^2$
$$，但不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是()A.$5y^2$
B.$10y^2$
C.$100y^2$
D.$25y^2$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，首先回忆完全平方和公式的结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，公式的三项分别对应第一个数的平方、两数乘积的2倍、第二个数的平方。我们先通过已知的第一项确定公式里的$a$，再借助中间的2倍乘积项求出$b$，最后计算$b^2$就能得到被染黑的项。
【解析】
解：根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
1. 由展开式第一项$4x^2=(2x)^2$，可得公式中$a=2x$；
2. 中间项$20xy$对应公式里的$2ab$，把$a=2x$代入得：$2×2x× b=20xy$，化简得$4xb=20xy$，解得$b=5y$；
3. 被染黑的最后一项为$b^2=(5y)^2=25y^2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要找准公式里各部分的对应关系，尤其注意中间项是首尾两项底数乘积的2倍，避免漏算系数2出现错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查完全平方公式的应用，首先回忆完全平方和公式的结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，公式的三项分别对应第一个数的平方、两数乘积的2倍、第二个数的平方。我们先通过已知的第一项确定公式里的$a$，再借助中间的2倍乘积项求出$b$，最后计算$b^2$就能得到被染黑的项。
【解析】
解：根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
1. 由展开式第一项$4x^2=(2x)^2$，可得公式中$a=2x$；
2. 中间项$20xy$对应公式里的$2ab$，把$a=2x$代入得：$2×2x× b=20xy$，化简得$4xb=20xy$，解得$b=5y$；
3. 被染黑的最后一项为$b^2=(5y)^2=25y^2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要找准公式里各部分的对应关系，尤其注意中间项是首尾两项底数乘积的2倍，避免漏算系数2出现错误。
【难度系数】
0.7
5.若$(7x - a)^2 = 49x^2 - bx + 9$，则$|a + b|$的值为（）
A.18
B.24
C.39
D.45
A.18
B.24
C.39
D.45
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用完全平方公式将等号左侧的式子展开，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，分别求出a、b的可能取值，最后代入计算|a+b|即可。注意平方等于正数的数有正负两个，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将等号左侧展开：
$(7x - a)^2=(7x)^2 - 2×7x× a + a^2=49x^2 -14ax +a^2$
已知$(7x - a)^2 = 49x^2 - bx + 9$，因此左右两边对应项系数相等：
1. 常数项对应：$a^2=9$，解得$a=3$或$a=-3$
2. 一次项系数对应：$-14a=-b$，化简得$b=14a$
分两种情况计算：
当$a=3$时，$b=14×3=42$，则$|a+b|=|3+42|=45$
当$a=-3$时，$b=14×(-3)=-42$，则$|a+b|=|-3-42|=45$
综上，$|a+b|$的值为45。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；绝对值的性质
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，解题关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，虽然a的取值有两种情况，但最终计算结果一致，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用完全平方公式将等号左侧的式子展开，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，分别求出a、b的可能取值，最后代入计算|a+b|即可。注意平方等于正数的数有正负两个，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将等号左侧展开：
$(7x - a)^2=(7x)^2 - 2×7x× a + a^2=49x^2 -14ax +a^2$
已知$(7x - a)^2 = 49x^2 - bx + 9$，因此左右两边对应项系数相等：
1. 常数项对应：$a^2=9$，解得$a=3$或$a=-3$
2. 一次项系数对应：$-14a=-b$，化简得$b=14a$
分两种情况计算：
当$a=3$时，$b=14×3=42$，则$|a+b|=|3+42|=45$
当$a=-3$时，$b=14×(-3)=-42$，则$|a+b|=|-3-42|=45$
综上，$|a+b|$的值为45。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；绝对值的性质
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，解题关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，虽然a的取值有两种情况，但最终计算结果一致，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
6.计算：
(1)$(a+b)^2 - (a-b)^2 + a(1-4b)$；
(2)$a(a-2b)+2(a+b)(a-b)+(a-b)^2$。
(1)$(a+b)^2 - (a-b)^2 + a(1-4b)$；
(2)$a(a-2b)+2(a+b)(a-b)+(a-b)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) + a - 4ab$
$=a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + a - 4ab$
$=a$
(2) 原式$=a^2 - 2ab + 2(a^2 - b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$
$=a^2 - 2ab + 2a^2 - 2b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
$=4a^2 - 4ab - b^2$
(1) 原式$=(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) + a - 4ab$
$=a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + a - 4ab$
$=a$
(2) 原式$=a^2 - 2ab + 2(a^2 - b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$
$=a^2 - 2ab + 2a^2 - 2b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
$=4a^2 - 4ab - b^2$
解析
【分析】
这两道题属于整式的混合运算题，解题思路如下：①先识别式子中的运算类型，确定需要用到的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）和单项式乘多项式法则；②按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的运算顺序，先分别展开各个含公式的项和单项式乘多项式的项；③去括号时注意符号规则，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；④最后合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开各项：
原式$=(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) + a - 4ab$
去括号得：
$=a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + a - 4ab$
合并同类项得：
$=a$
(2) 先利用单项式乘多项式法则、平方差公式、完全平方公式展开各项：
原式$=a^2 - 2ab + 2(a^2 - b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$
去括号得：
$=a^2 - 2ab + 2a^2 - 2b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
合并同类项得：
$=4a^2 - 4ab - b^2$
【答案】
(1) $\boxed{a}$；(2) $\boxed{4a^2 - 4ab - b^2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对乘法公式的掌握程度和运算的准确性，解题时要牢记公式结构，注意去括号的符号变化，熟练掌握这类运算能为后续代数式化简、因式分解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的混合运算题，解题思路如下：①先识别式子中的运算类型，确定需要用到的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）和单项式乘多项式法则；②按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的运算顺序，先分别展开各个含公式的项和单项式乘多项式的项；③去括号时注意符号规则，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；④最后合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开各项：
原式$=(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) + a - 4ab$
去括号得：
$=a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + a - 4ab$
合并同类项得：
$=a$
(2) 先利用单项式乘多项式法则、平方差公式、完全平方公式展开各项：
原式$=a^2 - 2ab + 2(a^2 - b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$
去括号得：
$=a^2 - 2ab + 2a^2 - 2b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
合并同类项得：
$=4a^2 - 4ab - b^2$
【答案】
(1) $\boxed{a}$；(2) $\boxed{4a^2 - 4ab - b^2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对乘法公式的掌握程度和运算的准确性，解题时要牢记公式结构，注意去括号的符号变化，熟练掌握这类运算能为后续代数式化简、因式分解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
7.先化简，再求值：
$(x+2)^2 + (2x+1)(2x-1) - 4x(x+1)$，其中$x=-\dfrac{1}{2}$。
$(x+2)^2 + (2x+1)(2x-1) - 4x(x+1)$，其中$x=-\dfrac{1}{2}$。
答案
解：
原式$=x^2 + 4x + 4 + 4x^2 - 1 - 4x^2 - 4x$
$=x^2 + 3$
当$x=-\dfrac{1}{2}$时，
原式$=(-\dfrac{1}{2})^2 + 3$
$=\dfrac{1}{4} + 3$
$=\dfrac{13}{4}$
原式$=x^2 + 4x + 4 + 4x^2 - 1 - 4x^2 - 4x$
$=x^2 + 3$
当$x=-\dfrac{1}{2}$时，
原式$=(-\dfrac{1}{2})^2 + 3$
$=\dfrac{1}{4} + 3$
$=\dfrac{13}{4}$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题分两步开展：第一步先化简整式，先识别原式中的三类运算：①$(x+2)^2$符合完全平方和公式，可按$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开；②$(2x+1)(2x-1)$符合平方差公式，可按$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开；③$4x(x+1)$属于单项式乘多项式，按乘法分配律展开，展开时注意$4x(x+1)$前是负号，各项要变号，再合并同类项得到最简整式。第二步将$x=-\frac{1}{2}$代入最简整式计算即可得到结果。
【解析】
原式展开得：
$=x^2 + 4x + 4 + 4x^2 - 1 - 4x^2 - 4x$
合并同类项：
$=x^2 + 3$
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=(-\dfrac{1}{2})^2 + 3$
$=\dfrac{1}{4} + 3$
$=\dfrac{13}{4}$
【答案】
$\dfrac{13}{4}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查乘法公式的运用和运算准确性，计算时要注意去括号的符号变化，合并同类项时不要漏项，代值计算时负数的平方需注意符号处理。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题分两步开展：第一步先化简整式，先识别原式中的三类运算：①$(x+2)^2$符合完全平方和公式，可按$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开；②$(2x+1)(2x-1)$符合平方差公式，可按$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开；③$4x(x+1)$属于单项式乘多项式，按乘法分配律展开，展开时注意$4x(x+1)$前是负号，各项要变号，再合并同类项得到最简整式。第二步将$x=-\frac{1}{2}$代入最简整式计算即可得到结果。
【解析】
原式展开得：
$=x^2 + 4x + 4 + 4x^2 - 1 - 4x^2 - 4x$
合并同类项：
$=x^2 + 3$
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=(-\dfrac{1}{2})^2 + 3$
$=\dfrac{1}{4} + 3$
$=\dfrac{13}{4}$
【答案】
$\dfrac{13}{4}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查乘法公式的运用和运算准确性，计算时要注意去括号的符号变化，合并同类项时不要漏项，代值计算时负数的平方需注意符号处理。
【难度系数】
0.8
