例1 计算：
(1)$(a+3b)^2$；
(2)$(-x+3y)^2$；
(3)$(-m-n)^2$；
(4)$(2x+3)(-2x-3)$。
【思路导析】当所给二项式中两项的符号相同时，一般选用“和”的完全平方公式；当二项式中两项的符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式。
【请你解答】

解：
(1) 原式$=a^2 + 2· a· 3b + (3b)^2$
$=a^2 + 6ab + 9b^2$
(2) 原式$=(3y - x)^2$
$=(3y)^2 - 2· 3y· x + x^2$
$=9y^2 - 6xy + x^2$
(3) 原式$=[-(m + n)]^2$
$=(m + n)^2$
$=m^2 + 2mn + n^2$
(4) 原式$=(2x + 3)· [-(2x + 3)]$
$=-(2x + 3)^2$
$=-(4x^2 + 12x + 9)$
$=-4x^2 - 12x - 9$

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，解题时先观察二项式的符号特征：①若两项符号相同，可选用“和”的完全平方公式；②若两项符号相反，可选用“差”的完全平方公式；对于形式不标准的式子，先通过添括号、提负号等操作转化为完全平方的标准形式，再套用公式展开，最后合并化简即可，注意展开时不要漏算系数的平方和中间的2倍项。
【解析】
(1) 直接套用和的完全平方公式：
原式$=a^2 + 2· a· 3b + (3b)^2$
$=a^2 + 6ab + 9b^2$
(2) 先将式子改写为符号相反的标准差形式，再套用差的完全平方公式：
原式$=(3y - x)^2$
$=(3y)^2 - 2· 3y· x + x^2$
$=9y^2 - 6xy + x^2$
(3) 先提负号，利用平方的非负性转化为和的完全平方形式，再展开：
原式$=[-(m + n)]^2$
$=(m + n)^2$
$=m^2 + 2mn + n^2$
(4) 先对第二个因式提负号，转化为完全平方的相反数形式，再展开去括号：
原式$=(2x + 3)· [-(2x + 3)]$
$=-(2x + 3)^2$
$=-(4x^2 + 12x + 9)$
$=-4x^2 - 12x - 9$
【答案】
(1) $a^2 + 6ab + 9b^2$
(2) $9y^2 - 6xy + x^2$
(3) $m^2 + 2mn + n^2$
(4) $-4x^2 - 12x - 9$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法；去括号法则
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是根据式子的符号特征灵活变形，选择对应的完全平方公式展开，易错点是混淆完全平方公式与平方差公式、漏算中间项的2倍系数、忘记系数平方或者去括号时符号出错，掌握公式特征多加练习就能避免这类错误。
【难度系数】
0.7

例2 计算:(1)$9999^2$;(2)$1002^2$.
【思路导析】根据数的特征,将底数化成一个大整数与一个小整数的和或差的形式,然后再利用完全平方公式进行运算.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：
(1) 原式$=(10000 - 1)^2$
$=10000^2 - 2×10000×1 + 1^2$
$=100000000 - 20000 + 1$
$=99980001$
(2) 原式$=(1000 + 2)^2$
$=1000^2 + 2×1000×2 + 2^2$
$=1000000 + 4000 + 4$
$=1004004$

【分析】
观察两个算式的底数，分别接近整万、整千，直接计算计算量较大易出错。我们可以利用凑整的思想，将9999转化为10000-1，1002转化为1000+2，再套用完全平方公式展开计算，即可快速得到结果，简化运算过程。
【解析】
(1) 计算$9999^2$：
原式$=(10000 - 1)^2$
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
$=10000^2 - 2×10000×1 + 1^2$
$=100000000 - 20000 + 1$
$=99980001$
(2) 计算$1002^2$：
原式$=(1000 + 2)^2$
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开：
$=1000^2 + 2×1000×2 + 2^2$
$=1000000 + 4000 + 4$
$=1004004$
【答案】
(1) $\boxed{99980001}$；(2) $\boxed{1004004}$
【知识点】
完全平方公式，有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式在大数运算中的典型应用，核心技巧是凑整思想，将底数拆为整十/整百/整千数与较小数的和或差，再套用公式计算，能有效降低计算量，提高计算准确率，这类简便运算的思路在整式运算和有理数计算中都经常使用。
【难度系数】
0.8

例3 已知$x+y=4$，$xy=2$，试求：
(1)$x^2+y^2$的值；(2)$3x^2-xy+3y^2$的值.
【思路导析】因为$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入已知数值即可求值；(2)把$3x^2-xy+3y^2$用$(x+y)$和$xy$表示，再求值.
【示范解答】(1)∵ $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，
∴ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$.
当$x+y=4$，$xy=2$时，$x^2+y^2=4^2-2×2=12$.
(2)$3x^2-xy+3y^2=3(x^2+y^2)-xy=3×12-2=34$.

解：
(1) ∵ $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
∴ $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$。
当$x+y=4$，$xy=2$时，
$x^2 + y^2 = 4^2 - 2×2 = 12$。
(2) $3x^2 - xy + 3y^2$
$= 3(x^2 + y^2) - xy$
将$x^2+y^2=12$，$xy=2$代入得：
原式$= 3×12 - 2 = 34$。

【分析】
本题属于已知x+y与xy的值，求相关代数式的值的题型，无需计算x、y的具体数值，可利用完全平方公式的变形进行整体代入求解。(1)首先回忆完全平方公式的展开形式，将公式变形得到x²+y²与x+y、xy的关系，代入已知数值即可求出结果；(2)先将待求式整理为含有x²+y²和xy的形式，再将第(1)问的结果和已知xy的值整体代入计算即可。
【解析】
(1)
∵ $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
∴ $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$。
当$x+y=4$，$xy=2$时，
$x^2 + y^2 = 4^2 - 2×2 = 16 - 4 = 12$。
(2) 先对待求式变形：
$3x^2 - xy + 3y^2 = 3(x^2 + y^2) - xy$
将$x^2+y^2=12$，$xy=2$代入上式得：
原式$= 3×12 - 2 = 36 - 2 = 34$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{34}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题重点考查完全平方公式的变形应用，解题时采用整体代入的思想可避免求解x、y的具体值，大幅简化计算过程，是整式运算中典型的基础应用题型，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解题关键。
【难度系数】
0.8

变式探究
将如图所示的大正方形分成2个不同的小正方形和2个相同的小长方形.

(1)请用两种不同的方法表示大正方形的面积；
方法1：；
方法2：.
(2)由(1)可验证的乘法公式是.(用等式表示)

解：
(1) 方法1：$\boldsymbol{(a+b)^2}$；
方法2：$\boldsymbol{a^2 + 2ab + b^2}$。
(2) $\boldsymbol{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$。

【分析】
解题思路：(1)求大正方形面积可从两个角度思考：一是直接根据正方形面积公式，先确定大正方形的边长再计算面积；二是用分割法，将大正方形拆分为若干个小图形，分别计算各部分面积后求和。(2)两种方法计算的是同一个大正方形的面积，因此两个表示面积的代数式相等，即可得到对应的乘法公式。
【解析】
(1) 方法1：观察图形可得大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$。
方法2：大正方形被分割为2个小正方形和2个完全相同的小长方形：边长为$a$的小正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，每个小长方形的长为$b$、宽为$a$，单个面积为$ab$，两个小长方形的总面积为$2ab$，将各部分面积相加，可得大正方形的面积为$a^2 + 2ab + b^2$。
(2) 由于两种方法表示的是同一个大正方形的面积，因此两个代数式相等，可验证的乘法公式为$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
【答案】
(1) 方法1：$\boldsymbol{(a+b)^2}$；方法2：$\boldsymbol{a^2 + 2ab + b^2}$
(2) $\boldsymbol{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 正方形面积计算
3. 列代数式
【点评】
本题通过几何图形面积的不同表示方法推导代数公式，体现了数形结合的思想，能帮助学生直观理解完全平方和公式的几何意义，是整式乘法部分的典型基础题。
【难度系数】
0.9