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7.已知$(-4x+3y)(-3y-4x)$与多项式$m$的差是$36y^2+5xy$，求$m$的值。
答案
解：
由题意可得：
$m = (-4x+3y)(-3y-4x) - (36y^2+5xy)$
先利用平方差公式计算$(-4x+3y)(-3y-4x)$：
将式子变形为$(-4x+3y)(-4x-3y)$，
可得$(-4x)^2 - (3y)^2 = 16x^2 - 9y^2$
将结果代入$m$的表达式：
$\begin{aligned}m&=16x^2 - 9y^2 - 36y^2 - 5xy\\&=16x^2 -5xy -45y^2\end{aligned}$
答：$m$的值为$16x^2 -5xy -45y^2$。
由题意可得：
$m = (-4x+3y)(-3y-4x) - (36y^2+5xy)$
先利用平方差公式计算$(-4x+3y)(-3y-4x)$：
将式子变形为$(-4x+3y)(-4x-3y)$，
可得$(-4x)^2 - (3y)^2 = 16x^2 - 9y^2$
将结果代入$m$的表达式：
$\begin{aligned}m&=16x^2 - 9y^2 - 36y^2 - 5xy\\&=16x^2 -5xy -45y^2\end{aligned}$
答：$m$的值为$16x^2 -5xy -45y^2$。
解析
【分析】
首先根据题目中的差的关系列出m的表达式：由“(-4x+3y)(-3y-4x)与m的差是36y²+5xy”可得$(-4x+3y)(-3y-4x) - m = 36y^2+5xy$，移项后得到$m = (-4x+3y)(-3y-4x) - (36y^2+5xy)$。接下来先计算乘法部分：观察乘法算式的结构，将式子变形为$(-4x+3y)(-4x-3y)$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，其中相同项a为-4x，相反项b为3y，用公式算出乘积后，再去括号、合并同类项即可求出m的值。
【解析】
根据题意可得：
$m = (-4x+3y)(-3y-4x) - (36y^2+5xy)$
先利用平方差公式计算$(-4x+3y)(-3y-4x)$：
将式子变形为$(-4x+3y)(-4x-3y)$，符合平方差公式结构，代入公式得：
$(-4x)^2 - (3y)^2 = 16x^2 - 9y^2$
将结果代入m的表达式，去括号合并同类项：
$\begin{aligned}m&=16x^2 - 9y^2 - 36y^2 - 5xy\\&=16x^2 -5xy -45y^2\end{aligned}$
【答案】
$16x^2 -5xy -45y^2$
【知识点】
平方差公式，整式加减运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的识别与运用，以及整式加减的计算规则。解题时首先要准确抓住平方差公式“相同项平方减相反项平方”的结构特征，正确计算乘积，其次去括号时要注意符号变化，合并同类项要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
首先根据题目中的差的关系列出m的表达式：由“(-4x+3y)(-3y-4x)与m的差是36y²+5xy”可得$(-4x+3y)(-3y-4x) - m = 36y^2+5xy$，移项后得到$m = (-4x+3y)(-3y-4x) - (36y^2+5xy)$。接下来先计算乘法部分：观察乘法算式的结构，将式子变形为$(-4x+3y)(-4x-3y)$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，其中相同项a为-4x，相反项b为3y，用公式算出乘积后，再去括号、合并同类项即可求出m的值。
【解析】
根据题意可得：
$m = (-4x+3y)(-3y-4x) - (36y^2+5xy)$
先利用平方差公式计算$(-4x+3y)(-3y-4x)$：
将式子变形为$(-4x+3y)(-4x-3y)$，符合平方差公式结构，代入公式得：
$(-4x)^2 - (3y)^2 = 16x^2 - 9y^2$
将结果代入m的表达式，去括号合并同类项：
$\begin{aligned}m&=16x^2 - 9y^2 - 36y^2 - 5xy\\&=16x^2 -5xy -45y^2\end{aligned}$
【答案】
$16x^2 -5xy -45y^2$
【知识点】
平方差公式，整式加减运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的识别与运用，以及整式加减的计算规则。解题时首先要准确抓住平方差公式“相同项平方减相反项平方”的结构特征，正确计算乘积，其次去括号时要注意符号变化，合并同类项要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
8.(1)先化简，再求值：
$(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy$，其中$x=(3-π)^0$，$y=2$。
(2)解方程：
$2x(x-1)-(x-4)(x+4)=(x+2)(x-1)$。
$(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy$，其中$x=(3-π)^0$，$y=2$。
(2)解方程：
$2x(x-1)-(x-4)(x+4)=(x+2)(x-1)$。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2 - y^2 - x^2 - xy + 2xy\\&=xy - y^2\end{aligned}$
由零指数幂的性质得 $x=(3-π)^0=1$，
将$x=1$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=1×2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$。
(2)
展开方程两边各项：
左边$=2x^2 - 2x - (x^2 - 16) = x^2 - 2x + 16$
右边$=x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$
移项得：$x^2 - 2x + 16 - x^2 - x + 2 = 0$
合并同类项得：$-3x + 18 = 0$
系数化为1得：$x=6$。
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2 - y^2 - x^2 - xy + 2xy\\&=xy - y^2\end{aligned}$
由零指数幂的性质得 $x=(3-π)^0=1$，
将$x=1$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=1×2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$。
(2)
展开方程两边各项：
左边$=2x^2 - 2x - (x^2 - 16) = x^2 - 2x + 16$
右边$=x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$
移项得：$x^2 - 2x + 16 - x^2 - x + 2 = 0$
合并同类项得：$-3x + 18 = 0$
系数化为1得：$x=6$。
解析
【分析】
(1) 化简求值类题目，先按整式运算规则处理原式：先用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，再用单项式乘多项式法则计算$x(x+y)$，去括号后合并同类项得到最简式；再根据零指数幂的性质（非零数的0次幂为1）求出$x$的值，最后代入$x$、$y$的数值计算结果即可。
(2) 解方程类题目，先利用平方差公式、多项式乘多项式法则分别展开方程左右两边的整式，去括号时注意符号变化，再通过移项、合并同类项将方程转化为一元一次方程的标准形式，最后系数化为1即可求出解。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2 - y^2 - x^2 - xy + 2xy\\&=xy - y^2\end{aligned}$
由零指数幂的性质得 $x=(3-π)^0=1$，
将$x=1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=1×2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$。
(2) 展开方程两边各项：
左边$=2x^2 - 2x - (x^2 - 16) = x^2 - 2x + 16$
右边$=x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$
移项得：$x^2 - 2x + 16 - x^2 - x + 2 = 0$
合并同类项得：$-3x + 18 = 0$
系数化为1得：$x=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{x=6}$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察整式乘法法则、平方差公式的应用以及一元一次方程的解法，解题时要注意去括号的符号变化，牢记零指数幂的运算规则，计算时细心即可避免失误。
【难度系数】
0.75
(1) 化简求值类题目，先按整式运算规则处理原式：先用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，再用单项式乘多项式法则计算$x(x+y)$，去括号后合并同类项得到最简式；再根据零指数幂的性质（非零数的0次幂为1）求出$x$的值，最后代入$x$、$y$的数值计算结果即可。
(2) 解方程类题目，先利用平方差公式、多项式乘多项式法则分别展开方程左右两边的整式，去括号时注意符号变化，再通过移项、合并同类项将方程转化为一元一次方程的标准形式，最后系数化为1即可求出解。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2 - y^2 - x^2 - xy + 2xy\\&=xy - y^2\end{aligned}$
由零指数幂的性质得 $x=(3-π)^0=1$，
将$x=1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=1×2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$。
(2) 展开方程两边各项：
左边$=2x^2 - 2x - (x^2 - 16) = x^2 - 2x + 16$
右边$=x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$
移项得：$x^2 - 2x + 16 - x^2 - x + 2 = 0$
合并同类项得：$-3x + 18 = 0$
系数化为1得：$x=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{x=6}$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察整式乘法法则、平方差公式的应用以及一元一次方程的解法，解题时要注意去括号的符号变化，牢记零指数幂的运算规则，计算时细心即可避免失误。
【难度系数】
0.75
9. 解方程：$6x + 7(2x + 3)(2x - 3) - 28(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2}) = 4.$
答案
解：
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开各项：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$，
$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})=x^2-(\frac{1}{2})^2=x^2-\frac{1}{4}$。
将上述结果代入原方程：
$6x + 7(4x^2 -9) -28(x^2 -\frac{1}{4})=4$
去括号：
$6x + 28x^2 -63 -28x^2 +7 =4$
合并同类项：
$6x -56 =4$
移项得：
$6x=60$
系数化为1：
$x=10$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开各项：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$，
$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})=x^2-(\frac{1}{2})^2=x^2-\frac{1}{4}$。
将上述结果代入原方程：
$6x + 7(4x^2 -9) -28(x^2 -\frac{1}{4})=4$
去括号：
$6x + 28x^2 -63 -28x^2 +7 =4$
合并同类项：
$6x -56 =4$
移项得：
$6x=60$
系数化为1：
$x=10$
解析
【分析】
观察方程结构，发现式子中$(2x+3)(2x-3)$和$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$都符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此解题第一步先利用平方差公式展开这两个乘积项，展开后代入原方程，再通过去括号、合并同类项将方程化简，此时可发现二次项相互抵消，原方程转化为常见的一元一次方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
解：首先利用平方差公式展开各项：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$，
$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})=x^2-(\frac{1}{2})^2=x^2-\frac{1}{4}$。
将上述展开结果代入原方程，得：
$6x + 7(4x^2 -9) -28(x^2 -\frac{1}{4})=4$
去括号：
$6x + 28x^2 -63 -28x^2 +7 =4$
合并同类项，二次项$28x^2$和$-28x^2$抵消，得：
$6x -56 =4$
移项，将常数项移到等号右侧：
$6x=4+56$
计算得：
$6x=60$
系数化为1，两边同时除以6：
$x=10$
【答案】
$x=10$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题将整式乘法公式与解方程结合考查，解题核心是先识别出符合平方差公式的结构，利用公式展开可简化计算，避免直接多项式相乘带来的计算失误，展开后二次项抵消，方程转化为基础的一元一次方程，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
观察方程结构，发现式子中$(2x+3)(2x-3)$和$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$都符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此解题第一步先利用平方差公式展开这两个乘积项，展开后代入原方程，再通过去括号、合并同类项将方程化简，此时可发现二次项相互抵消，原方程转化为常见的一元一次方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
解：首先利用平方差公式展开各项：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$，
$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})=x^2-(\frac{1}{2})^2=x^2-\frac{1}{4}$。
将上述展开结果代入原方程，得：
$6x + 7(4x^2 -9) -28(x^2 -\frac{1}{4})=4$
去括号：
$6x + 28x^2 -63 -28x^2 +7 =4$
合并同类项，二次项$28x^2$和$-28x^2$抵消，得：
$6x -56 =4$
移项，将常数项移到等号右侧：
$6x=4+56$
计算得：
$6x=60$
系数化为1，两边同时除以6：
$x=10$
【答案】
$x=10$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题将整式乘法公式与解方程结合考查，解题核心是先识别出符合平方差公式的结构，利用公式展开可简化计算，避免直接多项式相乘带来的计算失误，展开后二次项抵消，方程转化为基础的一元一次方程，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
10.若实数$(a^2 + 2b^2 + 5)(a^2 + 2b^2 - 5)=0$，求$a^2 + 2b^2$的值.
答案
解：设$x = a^2 + 2b^2$，
由平方差公式，原等式可化为：
$(x + 5)(x - 5) = 0$
即$x^2 - 25 = 0$，
解得$x = 5$或$x = -5$。
∵ $a^2 ≥ 0$，$2b^2 ≥ 0$，
∴ $x = a^2 + 2b^2 ≥ 0$，
∴ $x = -5$不符合题意，舍去，
∴ $a^2 + 2b^2 = 5$。
由平方差公式，原等式可化为：
$(x + 5)(x - 5) = 0$
即$x^2 - 25 = 0$，
解得$x = 5$或$x = -5$。
∵ $a^2 ≥ 0$，$2b^2 ≥ 0$，
∴ $x = a^2 + 2b^2 ≥ 0$，
∴ $x = -5$不符合题意，舍去，
∴ $a^2 + 2b^2 = 5$。
解析
【分析】
首先观察等式的结构，两个因式中都含有相同的整体$a^2 + 2b^2$，且两个因式符合“两数和乘两数差”的平方差公式结构，因此可以采用换元法，将$a^2 + 2b^2$设为新的未知数$x$，先求解关于$x$的方程，再结合平方的非负性判断$a^2 + 2b^2$的取值范围，对得到的解进行取舍，最终得到正确结果。
【解析】
解：设$x = a^2 + 2b^2$，
根据平方差公式，原等式可化为：
$(x + 5)(x - 5) = 0$
即$x^2 - 25 = 0$，
解得$x = 5$或$x = -5$。
∵ 平方数具有非负性，即$a^2 ≥ 0$，$2b^2 ≥ 0$，
∴ $x = a^2 + 2b^2 ≥ 0$，
∴ $x = -5$不符合题意，舍去，
∴ $a^2 + 2b^2 = 5$。
【答案】
$5$
【知识点】
平方差公式，换元法，平方的非负性
【点评】
本题是平方差公式的典型应用，解题的关键是识别出式子的整体结构，合理使用换元法简化运算，同时要注意结合代数式本身的取值范围对解进行取舍，避免因忽略非负性出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
首先观察等式的结构，两个因式中都含有相同的整体$a^2 + 2b^2$，且两个因式符合“两数和乘两数差”的平方差公式结构，因此可以采用换元法，将$a^2 + 2b^2$设为新的未知数$x$，先求解关于$x$的方程，再结合平方的非负性判断$a^2 + 2b^2$的取值范围，对得到的解进行取舍，最终得到正确结果。
【解析】
解：设$x = a^2 + 2b^2$，
根据平方差公式，原等式可化为：
$(x + 5)(x - 5) = 0$
即$x^2 - 25 = 0$，
解得$x = 5$或$x = -5$。
∵ 平方数具有非负性，即$a^2 ≥ 0$，$2b^2 ≥ 0$，
∴ $x = a^2 + 2b^2 ≥ 0$，
∴ $x = -5$不符合题意，舍去，
∴ $a^2 + 2b^2 = 5$。
【答案】
$5$
【知识点】
平方差公式，换元法，平方的非负性
【点评】
本题是平方差公式的典型应用，解题的关键是识别出式子的整体结构，合理使用换元法简化运算，同时要注意结合代数式本身的取值范围对解进行取舍，避免因忽略非负性出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
