能够用如图中图形的面积说明的等式是（）


A.$a(a+4)=a^2+4a$
B.$(a+4)(a-4)=a^2-16$
C.$(a+2)(a-2)=a^2-4$
D.$(a+2)^2=a^2+4a+4$

C

【分析】
解题的核心是利用“两种不同方法计算同一阴影部分面积，结果相等”推导代数恒等式。首先观察图形尺寸，先通过平移拼接阴影部分得到规则长方形，计算其面积；再用“大正方形面积减去空白小正方形面积”的方法计算阴影面积，最后令两个面积表达式相等，对应选项即可得到答案。
【解析】
方法1：拼接法求阴影面积
将右下角的小阴影矩形平移，和上方的大阴影拼接为一个完整的长方形，该长方形的长为$(a+2)$，宽为$(a-2)$，因此阴影面积为：
$S=(a+2)(a-2)$
方法2：作差法求阴影面积
阴影面积也可看作边长为$a$的正方形面积，减去边长为2的空白小正方形面积，即：
$S=a^2 - 2×2=a^2 -4$
由于两种方法计算的是同一部分面积，因此可得等式：$(a+2)(a-2)=a^2 -4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，面积法验证代数恒等式
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积计算直观验证了平方差公式，有助于理解代数公式的几何意义，考查了图形观察和代数转化能力。
【难度系数】
0.7

1.计算:
(1)$(x+3)(x-3)=$;
(2)$(a-b)(-b-a)=$;
(3)$(2ab-n)(2ab+n)=$.

解：
(1) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得
$(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 - 9$；
(2) 原式变形为$(-b+a)(-b-a)$，根据平方差公式，得
$(-b+a)(-b-a)=(-b)^2 - a^2 = b^2 - a^2$；
(3) 根据平方差公式，得
$(2ab-n)(2ab+n)=(2ab)^2 - n^2 = 4a^2b^2 - n^2$。

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：1. 首先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若其中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，结果为相同项的平方减去相反项的平方。2. 逐个分析小题：(1) 直接找到相同项为$x$，相反项为$3$和$-3$，直接套用公式；(2) 先调整多项式的项的顺序，找到相同项为$-b$，相反项为$a$和$-a$，再套用公式；(3) 相同项为$2ab$，相反项为$n$和$-n$，套用公式时注意将$2ab$看作整体进行平方运算。
【解析】
(1) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得：
$(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 - 9$
(2) 先将原式变形为$(-b+a)(-b-a)$，根据平方差公式，得：
$(-b+a)(-b-a)=(-b)^2 - a^2 = b^2 - a^2$
(3) 根据平方差公式，得：
$(2ab-n)(2ab+n)=(2ab)^2 - n^2 = 4a^2b^2 - n^2$
【答案】
(1)$x^2-9$；(2)$b^2-a^2$；(3)$4a^2b^2-n^2$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 整式乘法 3. 积的乘方
【点评】
本题是平方差公式的基础应用型题目，解题的核心是准确识别出两个相乘多项式中的相同项和互为相反的项，套用公式时要注意将整项平方，尤其是带有系数的单项式作为相同项时，不要遗漏系数的平方运算。
【难度系数】
0.85

2. 如图1，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪开的两张纸拼成如图2所示的等腰梯形。利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是。

解：
图1中阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$S_1 = a^2 - b^2$
图2中等腰梯形的上底为$2b$，下底为$2a$，高为$a-b$，由梯形面积公式得：
$S_2 = \frac{1}{2}×(2a + 2b)×(a - b) = (a + b)(a - b)$
两图阴影部分面积相等，因此可得验证的乘法公式：
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

【分析】
要验证对应的乘法公式，核心是利用两图阴影部分为同一部分、面积相等的关系，分别计算两个图形的阴影面积，联立等式化简即可。第一步先计算图1的阴影面积：图1是边长为a的正方形减去边长为b的小正方形，直接用正方形面积公式求差即可；第二步计算图2等腰梯形的面积：先确定梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式计算；第三步令两个面积相等，化简后就能得到要验证的乘法公式。
【解析】
解：首先计算图1的阴影部分面积：
边长为a的大正方形面积为$a^2$，减去的边长为b的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1 = a^2 - b^2$。
再计算图2中等腰梯形的面积：
由图可知，梯形的上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a - b$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_2 = \frac{1}{2}×(2a + 2b)×(a - b) = (a + b)(a - b)$
因为两张纸片是同一阴影部分剪开拼接得到，所以面积相等，即$S_1=S_2$，因此可得等式：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
【答案】
$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$
【知识点】
平方差公式；面积法推导公式；图形割补
【点评】
本题借助几何图形的割补变换，利用面积相等的关系推导代数公式，将抽象的乘法公式具象化，体现了数形结合的数学思想，能帮助加深对平方差公式几何意义的理解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

3.已知$a+b=10,a-b=8$,则$a^2-b^2=$.

$\boldsymbol{80}$

【分析】
解题时首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。观察题目已知条件，已经直接给出了$a+b$和$a-b$的数值，不需要分别求解a、b的具体值，直接将已知条件整体代入公式计算即可快速得到结果。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a+b=10$，$a-b=8$，将两个式子代入上式计算：
原式$=10×8=80$
【答案】
$\boldsymbol{80}$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构，采用整体代入的方法计算，可避免单独求解a、b的繁琐步骤，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9

4. 下列计算正确的是()

A.$(a-4)(a+4)=a^2 -4$
B.$(2x-3)(2x+3)=2x^2 -9$
C.$(4xy+1)(4xy-1)=16x^2y^2 -1$
D.$(-a+3)(a-3)=a^2 -9$

C

【分析】
解题前先回忆平方差公式的内容与结构特征：平方差公式为$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，公式左侧的两个二项式中，存在一项完全相同（即公式中的$m$），另一项互为相反数（即公式中的$n$和$-n$），右侧为相同项的平方减去相反项的平方。解题时逐一判断每个选项是否符合平方差公式的结构，再代入计算验证结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$(a-4)(a+4)$符合平方差公式结构，相同项为$a$，相反项为$4$和$-4$，计算得$a^2 - 4^2 = a^2 - 16$，与选项中的$a^2-4$不符，A错误。
B选项：$(2x-3)(2x+3)$符合平方差公式结构，相同项为$2x$，相反项为$3$和$-3$，计算得$(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$，与选项中的$2x^2-9$不符，B错误。
C选项：$(4xy+1)(4xy-1)$符合平方差公式结构，相同项为$4xy$，相反项为$1$和$-1$，计算得$(4xy)^2 - 1^2 = 16x^2y^2 - 1$，与选项结果一致，C正确。
D选项：$(-a+3)(a-3)$中两项均互为相反数，不符合平方差公式的结构，变形计算得$-(a-3)(a-3)=-(a-3)^2=-a^2+6a-9$，与选项中的$a^2-9$不符，D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，计算时要注意系数也要平方，避免因忽略系数平方出错，同时不要对不符合公式结构的式子强行套用平方差公式。
【难度系数】
0.8

5.在等式$(-3x^2 - 4y^2)(\quad)=16y^4 - 9x^4$中，括号内应填入的式子是()

A.$3x^2 - 4y^2$
B.$4y^2 - 3x^2$
C.$-3x^2 - 4y^2$
D.$3x^2 + 4y^2$

A

【分析】
这道题可利用平方差公式求解，解题思路如下：首先观察等式右边的多项式$16y^4-9x^4$，符合平方差公式“$a^2-b^2$”的结构，先将其分解为两个因式相乘的形式，再对比左边给出的已知因式$(-3x^2-4y^2)$，通过变形推导就能得到括号内应填的式子；也可直接用右边的结果除以左边已知的因式得到答案，使用平方差公式更简便。解题时要注意符号的处理，避免出错。
【解析】
1. 先对等号右侧的多项式变形：
$16y^4 - 9x^4 = (4y^2)^2 - (3x^2)^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，令$a=4y^2$，$b=3x^2$，可得：
$16y^4 - 9x^4 = (4y^2 + 3x^2)(4y^2 - 3x^2)$
2. 再对左侧已知因式变形：
$-3x^2 - 4y^2 = -(3x^2 + 4y^2) = -(4y^2 + 3x^2)$
3. 设括号内的式子为$M$，则等式可写为：
$-(4y^2 + 3x^2) · M = (4y^2 + 3x^2)(4y^2 - 3x^2)$
两边同时除以$(4y^2 + 3x^2)$，得：
$-M = 4y^2 - 3x^2$
整理得$M = 3x^2 - 4y^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、整式变形
【点评】
本题是平方差公式的典型应用，核心是掌握平方差公式的结构特征，能准确识别平方项并正确处理符号，是整式乘法部分的基础题型。
【难度系数】
0.8

6.运用平方差公式计算：
(1)$(-x+2y)(-x-2y)$；
(2)$(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y)$；
(3)$a^4+(1-a)(1+a)(1+a^2)$。

解：
(1) 原式$=(-x)^2 - (2y)^2$
$=x^2 - 4y^2$
(2) 原式$=(2x-3y)(2x+3y)-(4y-3x)(4y+3x)$
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$=4x^2 - 9y^2 - (16y^2 - 9x^2)$
$=4x^2 -9y^2 -16y^2 +9x^2$
$=13x^2 -25y^2$
(3) 原式$=a^4 + (1-a^2)(1+a^2)$
$=a^4 + [1^2 - (a^2)^2]$
$=a^4 + 1 - a^4$
$=1$

【分析】
解题核心是熟练掌握平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，公式特征为两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数。解题时先找准每个式子中对应的“相同项$a$”和“相反项$b$”，再代入公式计算，最后合并同类项化简即可。
(1) 观察式子，两个因式中相同项为$-x$，相反项为$2y$和$-2y$，直接套用平方差公式计算；
(2) 先调整两个乘积式的项的顺序，分别找到每组的相同项和相反项，各自套用平方差公式后，去括号再合并同类项；
(3) 从左到右连续两次运用平方差公式计算乘积部分，再和$a^4$合并化简。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式特征，代入公式得：
$=(-x)^2 - (2y)^2$
$=x^2 - 4y^2$
(2) 先调整因式内项的顺序，转化为平方差公式的标准形式：
原式$=(2x-3y)(2x+3y)-(4y-3x)(4y+3x)$
分别对两个乘积套用平方差公式：
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
计算乘方：
$=4x^2 - 9y^2 - (16y^2 - 9x^2)$
去括号（括号前为负号，括号内各项变号）：
$=4x^2 -9y^2 -16y^2 +9x^2$
合并同类项：
$=13x^2 -25y^2$
(3) 逐步运用平方差公式计算：
原式$=a^4 + (1-a^2)(1+a^2)$
$=a^4 + [1^2 - (a^2)^2]$
$=a^4 + 1 - a^4$
合并同类项得：
$=1$
【答案】
(1) $x^2-4y^2$；(2) $13x^2-25y^2$；(3) $1$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是准确识别公式中“相同项”和“相反项”，多次运用公式时要按顺序计算，去括号时注意符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75