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不改变分式的值,把下面分式中分子、分母的各项系数化为整数:
(1)$\dfrac{\dfrac{1}{2}a + \dfrac{4}{3}b}{\dfrac{1}{3}a - \dfrac{1}{4}b}$;
(2)$\dfrac{0.3x + 0.2y}{0.05x - y}$.
学后反思
利用分式的基本性质进行分式的变形是一种恒等变形,它只改变分式的形式,不改变分式的值.
(1)$\dfrac{\dfrac{1}{2}a + \dfrac{4}{3}b}{\dfrac{1}{3}a - \dfrac{1}{4}b}$;
(2)$\dfrac{0.3x + 0.2y}{0.05x - y}$.
学后反思
利用分式的基本性质进行分式的变形是一种恒等变形,它只改变分式的形式,不改变分式的值.
答案
解：
(1) 分式的分子、分母同时乘以12，得：
原式$=\dfrac{(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{4}{3}b)×12}{(\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}b)×12}=\dfrac{6a + 16b}{4a - 3b}$
(2) 分式的分子、分母同时乘以20，得：
原式$=\dfrac{(0.3x + 0.2y)×20}{(0.05x - y)×20}=\dfrac{6x + 4y}{x - 20y}$
(1) 分式的分子、分母同时乘以12，得：
原式$=\dfrac{(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{4}{3}b)×12}{(\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}b)×12}=\dfrac{6a + 16b}{4a - 3b}$
(2) 分式的分子、分母同时乘以20，得：
原式$=\dfrac{(0.3x + 0.2y)×20}{(0.05x - y)×20}=\dfrac{6x + 4y}{x - 20y}$
解析
【分析】
要将分式分子、分母的各项系数化为整数且不改变分式的值，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时分两种情况处理：①对于分数系数的分式，先找出分子、分母中所有分数分母的最小公倍数，将分子分母同时乘这个最小公倍数即可；②对于小数系数的分式，选择能将所有小数系数转化为整数的最小正整数，将分子分母同时乘这个整数即可简化得到结果。
【解析】
(1) 观察分式中各分数的分母为2、3、3、4，它们的最小公倍数是12，将分子、分母同时乘以12：
原式$=\dfrac{(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{4}{3}b)× 12}{(\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}b)× 12}=\dfrac{6a + 16b}{4a - 3b}$
(2) 观察分式中各小数系数，要将所有系数化为整数，可将分子、分母同时乘以20：
原式$=\dfrac{(0.3x + 0.2y)× 20}{(0.05x - y)× 20}=\dfrac{6x + 4y}{x - 20y}$
【答案】
(1) $\dfrac{6a + 16b}{4a - 3b}$；(2) $\dfrac{6x + 4y}{x - 20y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质 2. 最小公倍数应用
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题时需注意：分子分母必须同时乘同一个不为0的数，且要乘到分子、分母的每一项，避免漏乘无分母的项，选择最小公倍数作为乘数可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
要将分式分子、分母的各项系数化为整数且不改变分式的值，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时分两种情况处理：①对于分数系数的分式，先找出分子、分母中所有分数分母的最小公倍数，将分子分母同时乘这个最小公倍数即可；②对于小数系数的分式，选择能将所有小数系数转化为整数的最小正整数，将分子分母同时乘这个整数即可简化得到结果。
【解析】
(1) 观察分式中各分数的分母为2、3、3、4，它们的最小公倍数是12，将分子、分母同时乘以12：
原式$=\dfrac{(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{4}{3}b)× 12}{(\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}b)× 12}=\dfrac{6a + 16b}{4a - 3b}$
(2) 观察分式中各小数系数，要将所有系数化为整数，可将分子、分母同时乘以20：
原式$=\dfrac{(0.3x + 0.2y)× 20}{(0.05x - y)× 20}=\dfrac{6x + 4y}{x - 20y}$
【答案】
(1) $\dfrac{6a + 16b}{4a - 3b}$；(2) $\dfrac{6x + 4y}{x - 20y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质 2. 最小公倍数应用
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题时需注意：分子分母必须同时乘同一个不为0的数，且要乘到分子、分母的每一项，避免漏乘无分母的项，选择最小公倍数作为乘数可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
1. 使得等式$\frac{4}{7}=\frac{4 · m}{7 · m}$成立的$m$的取值范围为
答案
解：根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘同一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使等式$\frac{4}{7}=\frac{4 · m}{7 · m}$成立，则分母$7m ≠ 0$，
解得$m ≠ 0$。
故$m$的取值范围为$m ≠ 0$。
要使等式$\frac{4}{7}=\frac{4 · m}{7 · m}$成立，则分母$7m ≠ 0$，
解得$m ≠ 0$。
故$m$的取值范围为$m ≠ 0$。
解析
【分析】
这道题考查分式基本性质的应用，解题时首先回忆分式基本性质的限制要求：分式的分子和分母同时乘同一个整式时，这个整式不能为0，否则分母会变为0，分式没有意义。因此我们只需要保证等式右边的分母不为0，列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘同一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使等式$\frac{4}{7}=\frac{4 · m}{7 · m}$成立，则分母$7m ≠ 0$，
解得$m ≠ 0$。
【答案】
$m ≠ 0$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查分式基本性质的适用前提，很多学生容易忽略“所乘的整式不能为0”这一限制条件，做题时要牢记分式的分母永远不能为0。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式基本性质的应用，解题时首先回忆分式基本性质的限制要求：分式的分子和分母同时乘同一个整式时，这个整式不能为0，否则分母会变为0，分式没有意义。因此我们只需要保证等式右边的分母不为0，列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘同一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使等式$\frac{4}{7}=\frac{4 · m}{7 · m}$成立，则分母$7m ≠ 0$，
解得$m ≠ 0$。
【答案】
$m ≠ 0$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查分式基本性质的适用前提，很多学生容易忽略“所乘的整式不能为0”这一限制条件，做题时要牢记分式的分母永远不能为0。
【难度系数】
0.8
2. 在括号内填入适当的整式,使等式成立.
(1)$\frac{3a}{5xy}=\frac{(\quad)}{10axy}$;
(2)$\frac{6a^3b^2}{8b^3}=\frac{3a^3}{(\quad)}$;
(3)$\frac{m+n}{mn}=\frac{(\quad)}{m^2n}$;
(4)$\frac{a^2+ab}{a^2}=\frac{a+b}{(\quad)}$.
(1)$\frac{3a}{5xy}=\frac{(\quad)}{10axy}$;
(2)$\frac{6a^3b^2}{8b^3}=\frac{3a^3}{(\quad)}$;
(3)$\frac{m+n}{mn}=\frac{(\quad)}{m^2n}$;
(4)$\frac{a^2+ab}{a^2}=\frac{a+b}{(\quad)}$.
答案
(1)$\boldsymbol{6a^2}$；(2)$\boldsymbol{4b}$；(3)$\boldsymbol{m^2+mn}$；(4)$\boldsymbol{a}$。
解析
【分析】
本题所有小题均需利用分式的基本性质求解：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时，先对比等式两边已知的分母或分子，判断出已知项是乘（或除以）了哪个不为0的整式，再将对应的分子或分母做相同的运算，即可得到括号内的整式。
【解析】
(1) 观察分母：右侧分母$10axy = 5xy · 2a$，即分母乘了$2a$（题目隐含$a≠0$），根据分式基本性质，分子也需乘$2a$，则$3a × 2a = 6a^2$，括号内填$6a^2$；
(2) 观察分子：右侧分子$3a^3 = 6a^3b^2 ÷ 2b^2$，即分子除以了$2b^2$（题目隐含$b≠0$），根据分式基本性质，分母也需除以$2b^2$，则$8b^3 ÷ 2b^2 = 4b$，括号内填$4b$；
(3) 观察分母：右侧分母$m^2n = mn · m$，即分母乘了$m$（题目隐含$m≠0$），根据分式基本性质，分子也需乘$m$，则$(m+n) × m = m^2 + mn$，括号内填$m^2+mn$；
(4) 先对左侧分子因式分解：$a^2+ab = a(a+b)$，观察分子：右侧分子$a+b = a(a+b) ÷ a$，即分子除以了$a$（题目隐含$a≠0$），根据分式基本性质，分母也需除以$a$，则$a^2 ÷ a = a$，括号内填$a$。
【答案】
(1)$6a^2$；(2)$4b$；(3)$m^2+mn$；(4)$a$
【知识点】
分式的基本性质，整式乘除，因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的常规基础题，核心是找准分子或分母的变化规律，运算时注意不要漏乘分子的每一项，熟练掌握这类题型是后续学习分式约分、通分的重要前提。
【难度系数】
0.8
本题所有小题均需利用分式的基本性质求解：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时，先对比等式两边已知的分母或分子，判断出已知项是乘（或除以）了哪个不为0的整式，再将对应的分子或分母做相同的运算，即可得到括号内的整式。
【解析】
(1) 观察分母：右侧分母$10axy = 5xy · 2a$，即分母乘了$2a$（题目隐含$a≠0$），根据分式基本性质，分子也需乘$2a$，则$3a × 2a = 6a^2$，括号内填$6a^2$；
(2) 观察分子：右侧分子$3a^3 = 6a^3b^2 ÷ 2b^2$，即分子除以了$2b^2$（题目隐含$b≠0$），根据分式基本性质，分母也需除以$2b^2$，则$8b^3 ÷ 2b^2 = 4b$，括号内填$4b$；
(3) 观察分母：右侧分母$m^2n = mn · m$，即分母乘了$m$（题目隐含$m≠0$），根据分式基本性质，分子也需乘$m$，则$(m+n) × m = m^2 + mn$，括号内填$m^2+mn$；
(4) 先对左侧分子因式分解：$a^2+ab = a(a+b)$，观察分子：右侧分子$a+b = a(a+b) ÷ a$，即分子除以了$a$（题目隐含$a≠0$），根据分式基本性质，分母也需除以$a$，则$a^2 ÷ a = a$，括号内填$a$。
【答案】
(1)$6a^2$；(2)$4b$；(3)$m^2+mn$；(4)$a$
【知识点】
分式的基本性质，整式乘除，因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的常规基础题，核心是找准分子或分母的变化规律，运算时注意不要漏乘分子的每一项，熟练掌握这类题型是后续学习分式约分、通分的重要前提。
【难度系数】
0.8
3.若$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，则$x$的取值范围为。
答案
解：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使等式$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，需保证所乘的整式不为0，即：
$x+1≠0$
解得$x≠-1$
故$x$的取值范围为$x≠-1$。
要使等式$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，需保证所乘的整式不为0，即：
$x+1≠0$
解得$x≠-1$
故$x$的取值范围为$x≠-1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆分式基本性质的适用前提：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值才保持不变。观察等式两边的分式，右侧分式是左侧分式的分子、分母同时乘整式$(x+1)$得到的，因此要保证等式成立，只需保证所乘的整式$(x+1)$不为0即可，左侧分母$2a$隐含$a≠0$，和$x$的取值无关，无需额外考虑。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使等式$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，需保证分子分母同乘的整式不为0，同时分母有意义，即：
$x+1≠0$
解得$x≠-1$
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，重点考查对分式基本性质的理解，解题的关键是牢记分式变形时，乘除的整式不能为0，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆分式基本性质的适用前提：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值才保持不变。观察等式两边的分式，右侧分式是左侧分式的分子、分母同时乘整式$(x+1)$得到的，因此要保证等式成立，只需保证所乘的整式$(x+1)$不为0即可，左侧分母$2a$隐含$a≠0$，和$x$的取值无关，无需额外考虑。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使等式$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，需保证分子分母同乘的整式不为0，同时分母有意义，即：
$x+1≠0$
解得$x≠-1$
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，重点考查对分式基本性质的理解，解题的关键是牢记分式变形时，乘除的整式不能为0，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
4. 有下列各式：① $\frac{-a - b}{c - d} = -\frac{a + b}{-c + d}$；② $\frac{-a - b}{c + d} = \frac{a + b}{c + d}$；③ $\frac{-a - b}{c - d} = \frac{a + b}{d - c}$；④ $\frac{-a - b}{c - d} = \frac{-a - b}{c + d}$。其中，错误的等式为（填序号）。
答案
解：根据分式的符号法则逐一验证：
① 左边$\frac{-a-b}{c-d}=\frac{-(a+b)}{c-d}$，右边$-\frac{a+b}{-c+d}=-\frac{a+b}{d-c}=\frac{a+b}{c-d}$，左右两边不相等，①错误；
② 左边$\frac{-a-b}{c+d}=\frac{-(a+b)}{c+d}$，右边为$\frac{a+b}{c+d}$，左右两边不相等，②错误；
③ 左边$\frac{-a-b}{c-d}=\frac{-(a+b)}{c-d}=\frac{a+b}{-(c-d)}=\frac{a+b}{d-c}$，左右两边相等，③正确；
④ 等式左右两边分子相同，分母分别为$c-d$和$c+d$，不相等，分式值不相等，④错误。
错误的等式为$\boldsymbol{①②④}$。
① 左边$\frac{-a-b}{c-d}=\frac{-(a+b)}{c-d}$，右边$-\frac{a+b}{-c+d}=-\frac{a+b}{d-c}=\frac{a+b}{c-d}$，左右两边不相等，①错误；
② 左边$\frac{-a-b}{c+d}=\frac{-(a+b)}{c+d}$，右边为$\frac{a+b}{c+d}$，左右两边不相等，②错误；
③ 左边$\frac{-a-b}{c-d}=\frac{-(a+b)}{c-d}=\frac{a+b}{-(c-d)}=\frac{a+b}{d-c}$，左右两边相等，③正确；
④ 等式左右两边分子相同，分母分别为$c-d$和$c+d$，不相等，分式值不相等，④错误。
错误的等式为$\boldsymbol{①②④}$。
解析
【分析】
这道题考查分式符号法则的应用，解题时可依据“分式的分子、分母、分式本身三者的符号，改变其中任意两个，分式的值不变”的规律，对四个式子的左右两边分别化简变形，再逐一对比两边是否相等，即可判断等式正误。
【解析】
根据分式的符号法则逐一验证：
① 左边$\frac{-a-b}{c-d}=\frac{-(a+b)}{c-d}$，右边$-\frac{a+b}{-c+d}=-\frac{a+b}{d-c}=\frac{a+b}{c-d}$，左右两边不相等，故①错误；
② 左边$\frac{-a-b}{c+d}=\frac{-(a+b)}{c+d}$，右边为$\frac{a+b}{c+d}$，左右两边不相等，故②错误；
③ 左边$\frac{-a-b}{c-d}=\frac{-(a+b)}{c-d}=\frac{a+b}{-(c-d)}=\frac{a+b}{d-c}$，与右边相等，故③正确；
④ 等式左右两边分子相同，分母分别为$c-d$和$c+d$，一般情况下分母不相等，因此分式值不相等，故④错误。
综上可得出错误的等式序号。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
分式的符号法则；分式恒等变形
【点评】
本题重点考查分式符号变化规律的应用，解题时要注意对分子或分母整体提取负号，明确只有同时改变分子、分母、分式本身三个位置中任意两个的符号，分式的值才保持不变，逐个验证时要细心避免符号处理错误。
【难度系数】
0.6
这道题考查分式符号法则的应用，解题时可依据“分式的分子、分母、分式本身三者的符号，改变其中任意两个，分式的值不变”的规律，对四个式子的左右两边分别化简变形，再逐一对比两边是否相等，即可判断等式正误。
【解析】
根据分式的符号法则逐一验证：
① 左边$\frac{-a-b}{c-d}=\frac{-(a+b)}{c-d}$，右边$-\frac{a+b}{-c+d}=-\frac{a+b}{d-c}=\frac{a+b}{c-d}$，左右两边不相等，故①错误；
② 左边$\frac{-a-b}{c+d}=\frac{-(a+b)}{c+d}$，右边为$\frac{a+b}{c+d}$，左右两边不相等，故②错误；
③ 左边$\frac{-a-b}{c-d}=\frac{-(a+b)}{c-d}=\frac{a+b}{-(c-d)}=\frac{a+b}{d-c}$，与右边相等，故③正确；
④ 等式左右两边分子相同，分母分别为$c-d$和$c+d$，一般情况下分母不相等，因此分式值不相等，故④错误。
综上可得出错误的等式序号。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
分式的符号法则；分式恒等变形
【点评】
本题重点考查分式符号变化规律的应用，解题时要注意对分子或分母整体提取负号，明确只有同时改变分子、分母、分式本身三个位置中任意两个的符号，分式的值才保持不变，逐个验证时要细心避免符号处理错误。
【难度系数】
0.6
5. 分式$-\dfrac{1}{1-x}$可变形为()
A.$-\dfrac{1}{x-1}$
B.$\dfrac{1}{1+x}$
C.$-\dfrac{1}{1+x}$
D.$\dfrac{1}{x-1}$
A.$-\dfrac{1}{x-1}$
B.$\dfrac{1}{1+x}$
C.$-\dfrac{1}{1+x}$
D.$\dfrac{1}{x-1}$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查分式的符号变形规律，解题思路如下：首先回忆分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。我们先对原式的分母进行变形，将1-x转化为含x-1的形式，再结合符号法则化简，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据分式的符号法则，我们先对分母变形：
$1-x=-(x-1)$，将其代入原式可得：
$-\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{-(x-1)}$
分式的分母和分式本身各有一个负号，两个负号相互抵消，因此化简得：
$-\dfrac{1}{-(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
所以正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心考查对分式符号变化规律的理解与运用，易错点是仅改变分母的符号而忽略分式本身的符号，容易误选A选项，解题时要牢记：分子、分母、分式本身三处符号，任意改变两处，分式的值不变。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式的符号变形规律，解题思路如下：首先回忆分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。我们先对原式的分母进行变形，将1-x转化为含x-1的形式，再结合符号法则化简，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据分式的符号法则，我们先对分母变形：
$1-x=-(x-1)$，将其代入原式可得：
$-\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{-(x-1)}$
分式的分母和分式本身各有一个负号，两个负号相互抵消，因此化简得：
$-\dfrac{1}{-(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
所以正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心考查对分式符号变化规律的理解与运用，易错点是仅改变分母的符号而忽略分式本身的符号，容易误选A选项，解题时要牢记：分子、分母、分式本身三处符号，任意改变两处，分式的值不变。
【难度系数】
0.8
6. 下列各式从左到右的变形正确的是()
A.$\frac{x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + y} = \frac{2x - y}{x + 2y}$
B.$\frac{0.2a + b}{a + 0.2b} = \frac{2a + b}{a + 2b}$
C.$-\frac{x + 1}{x - y} = \frac{x - 1}{x - y}$
D.$\frac{a + b}{a - b} = \frac{a - b}{a + b}$
A.$\frac{x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + y} = \frac{2x - y}{x + 2y}$
B.$\frac{0.2a + b}{a + 0.2b} = \frac{2a + b}{a + 2b}$
C.$-\frac{x + 1}{x - y} = \frac{x - 1}{x - y}$
D.$\frac{a + b}{a - b} = \frac{a - b}{a + b}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：先回忆分式的基本性质——分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，同时结合分式符号变化规律（分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变），逐一验证每个选项的变形是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：将$\frac{x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + y}$的分子、分母同时乘不为0的常数2，分子变为$2(x-\frac{1}{2}y)=2x-y$，分母变为$2(\frac{1}{2}x+y)=x+2y$，符合分式基本性质，变形正确。
B选项：若将$\frac{0.2a + b}{a + 0.2b}$的分子分母同时乘10，正确结果应为$\frac{2a+10b}{10a+2b}$，选项仅对部分项乘10，不符合分式基本性质，变形错误。
C选项：将$-\frac{x + 1}{x - y}$的负号移到分子中，应为$\frac{-(x+1)}{x-y}=\frac{-x-1}{x-y}$，选项未对分子所有项变号，变形错误。
D选项：$\frac{a + b}{a - b}$直接交换分子分母的变形没有依据，不符合分式基本性质，变形错误。
综上只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式符号法则
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，易错点为变形时仅对分子或分母的部分项做乘除操作，或符号变化时漏变分子的项，解题时需注意对分子、分母整体做相同的合规变形。
【难度系数】
0.8
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：先回忆分式的基本性质——分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，同时结合分式符号变化规律（分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变），逐一验证每个选项的变形是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：将$\frac{x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + y}$的分子、分母同时乘不为0的常数2，分子变为$2(x-\frac{1}{2}y)=2x-y$，分母变为$2(\frac{1}{2}x+y)=x+2y$，符合分式基本性质，变形正确。
B选项：若将$\frac{0.2a + b}{a + 0.2b}$的分子分母同时乘10，正确结果应为$\frac{2a+10b}{10a+2b}$，选项仅对部分项乘10，不符合分式基本性质，变形错误。
C选项：将$-\frac{x + 1}{x - y}$的负号移到分子中，应为$\frac{-(x+1)}{x-y}=\frac{-x-1}{x-y}$，选项未对分子所有项变号，变形错误。
D选项：$\frac{a + b}{a - b}$直接交换分子分母的变形没有依据，不符合分式基本性质，变形错误。
综上只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式符号法则
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，易错点为变形时仅对分子或分母的部分项做乘除操作，或符号变化时漏变分子的项，解题时需注意对分子、分母整体做相同的合规变形。
【难度系数】
0.8
7.当$x=-2$时，分式$\frac{3x^2 -27}{9+6x +x^2}$的值是（）
A.$-15$
B.$-3$
C.$3$
D.$15$
A.$-15$
B.$-3$
C.$3$
D.$15$
答案
A
解析
【分析】
解决这道分式求值题可遵循“先化简，再求值”的思路，能减少计算量、降低出错概率。首先对分子、分母分别做因式分解，再利用分式的基本性质约去公因式得到最简分式，最后代入x=-2计算即可，注意约分时要先确认分母不为0，保证分式有意义。
【解析】
解：先对分式进行化简：
1. 分解分子：$3x^2 -27 = 3(x^2 -9) = 3(x+3)(x-3)$（先提取公因式3，再用平方差公式分解）
2. 分解分母：$x^2 +6x +9 = (x+3)^2$（用完全平方公式分解）
3. 验证分式有意义：当$x=-2$时，$x+3=-2+3=1≠0$，可正常约分
约分后得最简分式：$\frac{3x^2 -27}{9+6x +x^2} = \frac{3(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} = \frac{3(x-3)}{x+3}$
将$x=-2$代入最简分式计算：
原式$=\frac{3×(-2 -3)}{-2 +3} = \frac{3×(-5)}{1} = -15$
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式求值的基础题型，核心考察“先化简后代入”的运算思路，通过因式分解简化分式能有效避免直接代入大数计算的错误，同时要牢记约分的前提是分式分母不为0。
【难度系数】
0.8
解决这道分式求值题可遵循“先化简，再求值”的思路，能减少计算量、降低出错概率。首先对分子、分母分别做因式分解，再利用分式的基本性质约去公因式得到最简分式，最后代入x=-2计算即可，注意约分时要先确认分母不为0，保证分式有意义。
【解析】
解：先对分式进行化简：
1. 分解分子：$3x^2 -27 = 3(x^2 -9) = 3(x+3)(x-3)$（先提取公因式3，再用平方差公式分解）
2. 分解分母：$x^2 +6x +9 = (x+3)^2$（用完全平方公式分解）
3. 验证分式有意义：当$x=-2$时，$x+3=-2+3=1≠0$，可正常约分
约分后得最简分式：$\frac{3x^2 -27}{9+6x +x^2} = \frac{3(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} = \frac{3(x-3)}{x+3}$
将$x=-2$代入最简分式计算：
原式$=\frac{3×(-2 -3)}{-2 +3} = \frac{3×(-5)}{1} = -15$
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式求值的基础题型，核心考察“先化简后代入”的运算思路，通过因式分解简化分式能有效避免直接代入大数计算的错误，同时要牢记约分的前提是分式分母不为0。
【难度系数】
0.8
8.(1)若将分式$\frac{3ab}{5a+3b}$中$a$,$b$的值都变为原来的3倍,则分式的值如何变化?若将$a$,$b$的值都变为原来的$\frac{1}{3}$,则分式的值又如何变化?
(2)若将分式$\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$中$a$,$b$的值都变为原来的2倍,则分式的值如何变化?若将$a$,$b$的值都变为原来的$\frac{1}{2}$,则分式的值又如何变化?
(2)若将分式$\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$中$a$,$b$的值都变为原来的2倍,则分式的值如何变化?若将$a$,$b$的值都变为原来的$\frac{1}{2}$,则分式的值又如何变化?
答案
解：
(1) 当$a$，$b$的值都变为原来的3倍时：
新分式为 $\frac{3·(3a)·(3b)}{5·(3a)+3·(3b)}=\frac{27ab}{15a+9b}=\frac{9·3ab}{3·(5a+3b)}=3·\frac{3ab}{5a+3b}$
因此分式的值变为原来的3倍。
当$a$，$b$的值都变为原来的$\frac{1}{3}$时：
新分式为 $\frac{3·(\frac{1}{3}a)·(\frac{1}{3}b)}{5·(\frac{1}{3}a)+3·(\frac{1}{3}b)}=\frac{\frac{1}{3}ab}{\frac{1}{3}(5a+3b)}=\frac{1}{3}·\frac{3ab}{5a+3b}$
因此分式的值变为原来的$\frac{1}{3}$。
(2) 当$a$，$b$的值都变为原来的2倍时：
新分式为 $\frac{(2a)^2+(2b)^2}{2·(2a)+3·(2b)}=\frac{4a^2+4b^2}{4a+6b}=\frac{4(a^2+b^2)}{2(2a+3b)}=2·\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$
因此分式的值变为原来的2倍。
当$a$，$b$的值都变为原来的$\frac{1}{2}$时：
新分式为 $\frac{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}{2·(\frac{1}{2}a)+3·(\frac{1}{2}b)}=\frac{\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2}{a+\frac{3}{2}b}=\frac{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}{\frac{1}{2}(2a+3b)}=\frac{1}{2}·\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$
因此分式的值变为原来的$\frac{1}{2}$。
(1) 当$a$，$b$的值都变为原来的3倍时：
新分式为 $\frac{3·(3a)·(3b)}{5·(3a)+3·(3b)}=\frac{27ab}{15a+9b}=\frac{9·3ab}{3·(5a+3b)}=3·\frac{3ab}{5a+3b}$
因此分式的值变为原来的3倍。
当$a$，$b$的值都变为原来的$\frac{1}{3}$时：
新分式为 $\frac{3·(\frac{1}{3}a)·(\frac{1}{3}b)}{5·(\frac{1}{3}a)+3·(\frac{1}{3}b)}=\frac{\frac{1}{3}ab}{\frac{1}{3}(5a+3b)}=\frac{1}{3}·\frac{3ab}{5a+3b}$
因此分式的值变为原来的$\frac{1}{3}$。
(2) 当$a$，$b$的值都变为原来的2倍时：
新分式为 $\frac{(2a)^2+(2b)^2}{2·(2a)+3·(2b)}=\frac{4a^2+4b^2}{4a+6b}=\frac{4(a^2+b^2)}{2(2a+3b)}=2·\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$
因此分式的值变为原来的2倍。
当$a$，$b$的值都变为原来的$\frac{1}{2}$时：
新分式为 $\frac{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}{2·(\frac{1}{2}a)+3·(\frac{1}{2}b)}=\frac{\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2}{a+\frac{3}{2}b}=\frac{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}{\frac{1}{2}(2a+3b)}=\frac{1}{2}·\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$
因此分式的值变为原来的$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解决这类分式值随字母缩放变化的问题，遵循“代换-化简-对比”的思路即可：首先按照题目要求，把变化后的a、b替换原分式中的对应字母；再分别对新分式的分子、分母整理变形，提取公因式后利用分式的基本性质约分；最后将约分后的结果和原分式比较，就能得到分式值的变化倍数。注意不要仅凭直觉判断，必须代入计算，避免因分子分母次数不同导致判断错误。
【解析】
(1) 当$a$，$b$的值都变为原来的3倍时：
新分式为 $\frac{3·(3a)·(3b)}{5·(3a)+3·(3b)}=\frac{27ab}{15a+9b}=\frac{9·3ab}{3·(5a+3b)}=3·\frac{3ab}{5a+3b}$
因此分式的值变为原来的3倍。
当$a$，$b$的值都变为原来的$\frac{1}{3}$时：
新分式为 $\frac{3·(\frac{1}{3}a)·(\frac{1}{3}b)}{5·(\frac{1}{3}a)+3·(\frac{1}{3}b)}=\frac{\frac{1}{3}ab}{\frac{1}{3}(5a+3b)}=\frac{1}{3}·\frac{3ab}{5a+3b}$
因此分式的值变为原来的$\frac{1}{3}$。
(2) 当$a$，$b$的值都变为原来的2倍时：
新分式为 $\frac{(2a)^2+(2b)^2}{2·(2a)+3·(2b)}=\frac{4a^2+4b^2}{4a+6b}=\frac{4(a^2+b^2)}{2(2a+3b)}=2·\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$
因此分式的值变为原来的2倍。
当$a$，$b$的值都变为原来的$\frac{1}{2}$时：
新分式为 $\frac{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}{2·(\frac{1}{2}a)+3·(\frac{1}{2}b)}=\frac{\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2}{a+\frac{3}{2}b}=\frac{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}{\frac{1}{2}(2a+3b)}=\frac{1}{2}·\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$
因此分式的值变为原来的$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)a、b都变为原来的3倍时，分式的值变为原来的3倍；a、b都变为原来的$\frac{1}{3}$时，分式的值变为原来的$\frac{1}{3}$。
(2)a、b都变为原来的2倍时，分式的值变为原来的2倍；a、b都变为原来的$\frac{1}{2}$时，分式的值变为原来的$\frac{1}{2}$。
【知识点】
分式的基本性质，代数式代换化简
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用题型，解题的核心是规范代入变化后的字母并正确化简，通过本题可以强化对分式约分规则的掌握，同时要注意分子、分母中字母的次数差异会直接影响最终的缩放倍数，避免仅凭经验判断出错。
【难度系数】
0.8
解决这类分式值随字母缩放变化的问题，遵循“代换-化简-对比”的思路即可：首先按照题目要求，把变化后的a、b替换原分式中的对应字母；再分别对新分式的分子、分母整理变形，提取公因式后利用分式的基本性质约分；最后将约分后的结果和原分式比较，就能得到分式值的变化倍数。注意不要仅凭直觉判断，必须代入计算，避免因分子分母次数不同导致判断错误。
【解析】
(1) 当$a$，$b$的值都变为原来的3倍时：
新分式为 $\frac{3·(3a)·(3b)}{5·(3a)+3·(3b)}=\frac{27ab}{15a+9b}=\frac{9·3ab}{3·(5a+3b)}=3·\frac{3ab}{5a+3b}$
因此分式的值变为原来的3倍。
当$a$，$b$的值都变为原来的$\frac{1}{3}$时：
新分式为 $\frac{3·(\frac{1}{3}a)·(\frac{1}{3}b)}{5·(\frac{1}{3}a)+3·(\frac{1}{3}b)}=\frac{\frac{1}{3}ab}{\frac{1}{3}(5a+3b)}=\frac{1}{3}·\frac{3ab}{5a+3b}$
因此分式的值变为原来的$\frac{1}{3}$。
(2) 当$a$，$b$的值都变为原来的2倍时：
新分式为 $\frac{(2a)^2+(2b)^2}{2·(2a)+3·(2b)}=\frac{4a^2+4b^2}{4a+6b}=\frac{4(a^2+b^2)}{2(2a+3b)}=2·\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$
因此分式的值变为原来的2倍。
当$a$，$b$的值都变为原来的$\frac{1}{2}$时：
新分式为 $\frac{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}{2·(\frac{1}{2}a)+3·(\frac{1}{2}b)}=\frac{\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2}{a+\frac{3}{2}b}=\frac{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}{\frac{1}{2}(2a+3b)}=\frac{1}{2}·\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$
因此分式的值变为原来的$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)a、b都变为原来的3倍时，分式的值变为原来的3倍；a、b都变为原来的$\frac{1}{3}$时，分式的值变为原来的$\frac{1}{3}$。
(2)a、b都变为原来的2倍时，分式的值变为原来的2倍；a、b都变为原来的$\frac{1}{2}$时，分式的值变为原来的$\frac{1}{2}$。
【知识点】
分式的基本性质，代数式代换化简
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用题型，解题的核心是规范代入变化后的字母并正确化简，通过本题可以强化对分式约分规则的掌握，同时要注意分子、分母中字母的次数差异会直接影响最终的缩放倍数，避免仅凭经验判断出错。
【难度系数】
0.8
