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例1 填空：
(1)$\frac{a+b}{ab}=\frac{(\quad)}{a^2b}$，$\frac{2a-b}{a^2}=\frac{(\quad)}{a^2b}$；
(2)$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{x+y}{(\quad)}$，$\frac{x}{x^2-2x}=\frac{(\quad)}{x-2}$。
【思路导析】看变化后的分子(或分母)与变化前的分子(或分母)有何变化规律，然后利用分式的基本性质作答。
【请你解答】(1)，；
(2)，。
(1)$\frac{a+b}{ab}=\frac{(\quad)}{a^2b}$，$\frac{2a-b}{a^2}=\frac{(\quad)}{a^2b}$；
(2)$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{x+y}{(\quad)}$，$\frac{x}{x^2-2x}=\frac{(\quad)}{x-2}$。
【思路导析】看变化后的分子(或分母)与变化前的分子(或分母)有何变化规律，然后利用分式的基本性质作答。
【请你解答】(1)，；
(2)，。
答案
(1) $\boldsymbol{a^2+ab}$，$\boldsymbol{2ab-b^2}$；(2) $\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
解题需运用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察已知的分子或分母的变化规律：若分母乘（或除以）某个不为0的整式，分子也要对应乘（或除以）同一个整式；若分子乘（或除以）某个不为0的整式，分母也要对应乘（或除以）同一个整式，最终求出未知部分。
【解析】
(1) 第一个分式：原分母为$ab$，变化后分母为$a^2b$，是给原分母乘$a$（$a≠0$），根据分式基本性质，分子也要乘$a$，即$(a+b)· a = a^2+ab$；
第二个分式：原分母为$a^2$，变化后分母为$a^2b$，是给原分母乘$b$（$b≠0$），根据分式基本性质，分子也要乘$b$，即$(2a-b)· b = 2ab - b^2$；
(2) 第一个分式：原分子为$x^2+xy=x(x+y)$，变化后分子为$x+y$，是给原分子除以$x$（$x≠0$），根据分式基本性质，分母也要除以$x$，即$x^2÷ x = x$；
第二个分式：原分母为$x^2-2x=x(x-2)$，变化后分母为$x-2$，是给原分母除以$x$（$x≠0$），根据分式基本性质，分子也要除以$x$，即$x÷ x = 1$。
【答案】
(1) $a^2+ab$，$2ab-b^2$；(2) $x$，$1$
【知识点】
1. 分式的基本性质 2. 分式的通分 3. 分式的约分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是准确找到分子或分母的变化规律，变形过程中要注意乘除的整式不能为0，熟练掌握分式基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题需运用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察已知的分子或分母的变化规律：若分母乘（或除以）某个不为0的整式，分子也要对应乘（或除以）同一个整式；若分子乘（或除以）某个不为0的整式，分母也要对应乘（或除以）同一个整式，最终求出未知部分。
【解析】
(1) 第一个分式：原分母为$ab$，变化后分母为$a^2b$，是给原分母乘$a$（$a≠0$），根据分式基本性质，分子也要乘$a$，即$(a+b)· a = a^2+ab$；
第二个分式：原分母为$a^2$，变化后分母为$a^2b$，是给原分母乘$b$（$b≠0$），根据分式基本性质，分子也要乘$b$，即$(2a-b)· b = 2ab - b^2$；
(2) 第一个分式：原分子为$x^2+xy=x(x+y)$，变化后分子为$x+y$，是给原分子除以$x$（$x≠0$），根据分式基本性质，分母也要除以$x$，即$x^2÷ x = x$；
第二个分式：原分母为$x^2-2x=x(x-2)$，变化后分母为$x-2$，是给原分母除以$x$（$x≠0$），根据分式基本性质，分子也要除以$x$，即$x÷ x = 1$。
【答案】
(1) $a^2+ab$，$2ab-b^2$；(2) $x$，$1$
【知识点】
1. 分式的基本性质 2. 分式的通分 3. 分式的约分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是准确找到分子或分母的变化规律，变形过程中要注意乘除的整式不能为0，熟练掌握分式基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
例2 在一次数学活动课上，数学老师在黑板上贴了A,B,C,D,E五张卡片，每张卡片写有一个分式，再随机给8名同学各发一张纸条，每张纸条上也写有一个分式，如图所示。
卡片
A. $\frac{1}{ab}$
B. $\frac{a+1}{b}$
C. $\frac{1}{b-a}$
D. $\frac{6a+4b}{4a-3b}$
E. $\frac{1-a}{1+a}$
纸条
1. $\frac{3a+3b}{4a-3b}$
2. $\frac{c}{ab}$
3. $\frac{a^2+a}{ab}$
4. $\frac{1}{a-b}$
5. $\frac{\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b}{\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b}$
6. $\frac{a-b}{2ab-a^2-b^2}$
7. $\frac{c}{abc}$
8. $\frac{(a-1)^2}{1-a^2}$
老师要求这8名同学分别将自己手中的分式进行变形，再在黑板上找到与自己纸条上的分式相等的卡片。请你帮忙找一找，并用直线把它们连接起来。
【思路导析】利用分式的基本性质化简纸条上的分式，再与卡片上的分式对照并连线。
【请你解答】(在题目中连线)
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
卡片
A. $\frac{1}{ab}$
B. $\frac{a+1}{b}$
C. $\frac{1}{b-a}$
D. $\frac{6a+4b}{4a-3b}$
E. $\frac{1-a}{1+a}$
纸条
1. $\frac{3a+3b}{4a-3b}$
2. $\frac{c}{ab}$
3. $\frac{a^2+a}{ab}$
4. $\frac{1}{a-b}$
5. $\frac{\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b}{\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b}$
6. $\frac{a-b}{2ab-a^2-b^2}$
7. $\frac{c}{abc}$
8. $\frac{(a-1)^2}{1-a^2}$
老师要求这8名同学分别将自己手中的分式进行变形，再在黑板上找到与自己纸条上的分式相等的卡片。请你帮忙找一找，并用直线把它们连接起来。
【思路导析】利用分式的基本性质化简纸条上的分式，再与卡片上的分式对照并连线。
【请你解答】(在题目中连线)
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
根据分式的基本性质，逐个化简纸条上的分式：
3. $\frac{a^2+a}{ab}=\frac{a(a+1)}{ab}=\frac{a+1}{b}$，对应卡片B；
5. $\frac{\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b}{\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b}=\frac{(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b)×12}{(\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b)×12}=\frac{6a+4b}{4a-3b}$，对应卡片D；
6. $\frac{a-b}{2ab-a^2-b^2}=\frac{a-b}{-(a-b)^2}=\frac{1}{b-a}$，对应卡片C；
7. $\frac{c}{abc}=\frac{1}{ab}$，对应卡片A；
8. $\frac{(a-1)^2}{1-a^2}=\frac{(1-a)^2}{(1+a)(1-a)}=\frac{1-a}{1+a}$，对应卡片E；
纸条1、2、4化简后与所有卡片分式均不相等，无对应卡片。
连线结果：A连7，B连3，C连6，D连5，E连8。
根据分式的基本性质，逐个化简纸条上的分式：
3. $\frac{a^2+a}{ab}=\frac{a(a+1)}{ab}=\frac{a+1}{b}$，对应卡片B；
5. $\frac{\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b}{\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b}=\frac{(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b)×12}{(\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b)×12}=\frac{6a+4b}{4a-3b}$，对应卡片D；
6. $\frac{a-b}{2ab-a^2-b^2}=\frac{a-b}{-(a-b)^2}=\frac{1}{b-a}$，对应卡片C；
7. $\frac{c}{abc}=\frac{1}{ab}$，对应卡片A；
8. $\frac{(a-1)^2}{1-a^2}=\frac{(1-a)^2}{(1+a)(1-a)}=\frac{1-a}{1+a}$，对应卡片E；
纸条1、2、4化简后与所有卡片分式均不相等，无对应卡片。
连线结果：A连7，B连3，C连6，D连5，E连8。
解析
【分析】
解题时需先运用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，对每张纸条上的分式进行约分或化简，再将化简后的结果和卡片上的分式逐一比对，相等的即为对应关系，化简后无匹配的则没有对应卡片。
【解析】
我们逐个化简纸条上的分式：
1. $\frac{3a+3b}{4a-3b}=\frac{3(a+b)}{4a-3b}$，无对应卡片；
2. $\frac{c}{ab}$，分子分母没有公因式可约，无对应卡片；
3. $\frac{a^2+a}{ab}=\frac{a(a+1)}{ab}$，分子分母同除以不为0的$a$，得$\frac{a+1}{b}$，对应卡片B；
4. $\frac{1}{a-b}=-\frac{1}{b-a}$，无对应卡片；
5. $\frac{\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b}{\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b}$，分子分母同乘12消去分数，得$\frac{(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b)×12}{(\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b)×12}=\frac{6a+4b}{4a-3b}$，对应卡片D；
6. $\frac{a-b}{2ab-a^2-b^2}=\frac{a-b}{-(a^2-2ab+b^2)}=\frac{a-b}{-(a-b)^2}$，分子分母同除以不为0的$a-b$，得$\frac{1}{-(a-b)}=\frac{1}{b-a}$，对应卡片C；
7. $\frac{c}{abc}$，分子分母同除以不为0的$c$，得$\frac{1}{ab}$，对应卡片A；
8. $\frac{(a-1)^2}{1-a^2}=\frac{(1-a)^2}{(1+a)(1-a)}$，分子分母同除以不为0的$1-a$，得$\frac{1-a}{1+a}$，对应卡片E。
【答案】
A连7，B连3，C连6，D连5，E连8，纸条1、2、4没有对应卡片。
【知识点】
分式的基本性质，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，解题关键是正确对分式的分子、分母因式分解，准确提取公因式进行约分，约分过程要注意所约去的公因式不能为0，保证变形前后分式有意义。
【难度系数】
0.7
解题时需先运用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，对每张纸条上的分式进行约分或化简，再将化简后的结果和卡片上的分式逐一比对，相等的即为对应关系，化简后无匹配的则没有对应卡片。
【解析】
我们逐个化简纸条上的分式：
1. $\frac{3a+3b}{4a-3b}=\frac{3(a+b)}{4a-3b}$，无对应卡片；
2. $\frac{c}{ab}$，分子分母没有公因式可约，无对应卡片；
3. $\frac{a^2+a}{ab}=\frac{a(a+1)}{ab}$，分子分母同除以不为0的$a$，得$\frac{a+1}{b}$，对应卡片B；
4. $\frac{1}{a-b}=-\frac{1}{b-a}$，无对应卡片；
5. $\frac{\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b}{\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b}$，分子分母同乘12消去分数，得$\frac{(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b)×12}{(\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b)×12}=\frac{6a+4b}{4a-3b}$，对应卡片D；
6. $\frac{a-b}{2ab-a^2-b^2}=\frac{a-b}{-(a^2-2ab+b^2)}=\frac{a-b}{-(a-b)^2}$，分子分母同除以不为0的$a-b$，得$\frac{1}{-(a-b)}=\frac{1}{b-a}$，对应卡片C；
7. $\frac{c}{abc}$，分子分母同除以不为0的$c$，得$\frac{1}{ab}$，对应卡片A；
8. $\frac{(a-1)^2}{1-a^2}=\frac{(1-a)^2}{(1+a)(1-a)}$，分子分母同除以不为0的$1-a$，得$\frac{1-a}{1+a}$，对应卡片E。
【答案】
A连7，B连3，C连6，D连5，E连8，纸条1、2、4没有对应卡片。
【知识点】
分式的基本性质，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，解题关键是正确对分式的分子、分母因式分解，准确提取公因式进行约分，约分过程要注意所约去的公因式不能为0，保证变形前后分式有意义。
【难度系数】
0.7
例3 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中都不含有“－”号.
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$.
【思路导析】分子的符号、分母的符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变.
【示范解答】
(1)$\frac{-2a}{b}=-\frac{2a}{b}$.
（分子、分式本身的符号改变）
(2)$\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$.
（分子、分母的符号改变）
(3)$\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$.
（分母、分式本身的符号改变）
(4)$-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$.
（分母、分式本身的符号改变）
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$.
【思路导析】分子的符号、分母的符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变.
【示范解答】
(1)$\frac{-2a}{b}=-\frac{2a}{b}$.
（分子、分式本身的符号改变）
(2)$\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$.
（分子、分母的符号改变）
(3)$\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$.
（分母、分式本身的符号改变）
(4)$-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$.
（分母、分式本身的符号改变）
答案
解：
根据分式的符号性质：分子的符号、分母的符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。
(1) $\frac{-2a}{b}=-\frac{2a}{b}$；
(2) $\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$；
(3) $\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$；
(4) $-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$。
根据分式的符号性质：分子的符号、分母的符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。
(1) $\frac{-2a}{b}=-\frac{2a}{b}$；
(2) $\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$；
(3) $\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$；
(4) $-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$。
解析
【分析】
解题核心依据是分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。解题时先逐个分析每个分式中负号的位置，通过调整其中两个符号，使最终分子、分母都不含负号即可，若调整后剩余1个负号，将负号放在分式整体的前面即可。
【解析】
解：根据分式的符号性质：分子的符号、分母的符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。
(1) $\frac{-2a}{b}=-\frac{2a}{b}$；
(2) $\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$；
(3) $\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$；
(4) $-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$。
【答案】
(1) $-\frac{2a}{b}$；(2) $\frac{4x}{5y}$；(3) $-\frac{3m}{n}$；(4) $\frac{2b}{3c}$
【知识点】
分式的符号法则、分式的基本性质
【点评】
本题是分式符号变形的基础题型，解题关键是熟练掌握分式的符号变化规律，做题时需数清楚负号的总个数，避免因符号判断错误失分，掌握该规律也能为后续分式的化简运算打好基础。
【难度系数】
0.85
解题核心依据是分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。解题时先逐个分析每个分式中负号的位置，通过调整其中两个符号，使最终分子、分母都不含负号即可，若调整后剩余1个负号，将负号放在分式整体的前面即可。
【解析】
解：根据分式的符号性质：分子的符号、分母的符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。
(1) $\frac{-2a}{b}=-\frac{2a}{b}$；
(2) $\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$；
(3) $\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$；
(4) $-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$。
【答案】
(1) $-\frac{2a}{b}$；(2) $\frac{4x}{5y}$；(3) $-\frac{3m}{n}$；(4) $\frac{2b}{3c}$
【知识点】
分式的符号法则、分式的基本性质
【点评】
本题是分式符号变形的基础题型，解题关键是熟练掌握分式的符号变化规律，做题时需数清楚负号的总个数，避免因符号判断错误失分，掌握该规律也能为后续分式的化简运算打好基础。
【难度系数】
0.85
