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8. 当 $ x $ 为何值时，下列各分式的值为零？
(1) $\dfrac{2x + 3}{x}$；
(2) $\dfrac{|x| - 1}{x^2 - x}$。
(1) $\dfrac{2x + 3}{x}$；
(2) $\dfrac{|x| - 1}{x^2 - x}$。
答案
解：
(1) 令分子$2x+3=0$，
解得 $x=-\dfrac{3}{2}$。
当 $x=-\dfrac{3}{2}$ 时，分母 $x=-\dfrac{3}{2} ≠ 0$，
所以当 $x=-\dfrac{3}{2}$ 时，分式 $\dfrac{2x+3}{x}$ 的值为零。
(2) 令分子$|x|-1=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-1$。
令分母 $x^2 - x ≠ 0$，即 $x(x-1)≠0$，
解得 $x≠0$ 且 $x≠1$。
舍去$x=1$，得$x=-1$，
所以当$x=-1$时，分式$\dfrac{|x|-1}{x^2 - x}$的值为零。
(1) 令分子$2x+3=0$，
解得 $x=-\dfrac{3}{2}$。
当 $x=-\dfrac{3}{2}$ 时，分母 $x=-\dfrac{3}{2} ≠ 0$，
所以当 $x=-\dfrac{3}{2}$ 时，分式 $\dfrac{2x+3}{x}$ 的值为零。
(2) 令分子$|x|-1=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-1$。
令分母 $x^2 - x ≠ 0$，即 $x(x-1)≠0$，
解得 $x≠0$ 且 $x≠1$。
舍去$x=1$，得$x=-1$，
所以当$x=-1$时，分式$\dfrac{|x|-1}{x^2 - x}$的值为零。
解析
【分析】
分式的值为0需要同时满足两个核心条件：①分子的取值为0；②分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再将每个可能值代入分母检验，排除使分母为0的x值，剩余的就是符合要求的结果。
【解析】
(1) 对于分式$\dfrac{2x + 3}{x}$：
令分子$2x+3=0$，解得 $x=-\dfrac{3}{2}$。
检验分母：当 $x=-\dfrac{3}{2}$ 时，分母 $x=-\dfrac{3}{2} ≠ 0$，满足分式有意义的要求。
(2) 对于分式$\dfrac{|x| - 1}{x^2 - x}$：
令分子$|x|-1=0$，解得 $x=1$ 或 $x=-1$。
再求分母不为0的条件：$x^2 - x ≠ 0$，因式分解得$x(x-1)≠0$，解得 $x≠0$ 且 $x≠1$。
舍去不符合条件的$x=1$，仅剩$x=-1$满足所有要求。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{3}{2}$；(2) $x=-1$
【知识点】
1. 分式值为零的条件 2. 绝对值方程求解 3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查分式值为0的判定规则，易错点是解题时容易忽略分母不为0的前提，直接取分子为0的解，尤其当解出多个x的可能值时，一定要逐一检验分母，避免出现分式无意义的错误。
【难度系数】
0.7
分式的值为0需要同时满足两个核心条件：①分子的取值为0；②分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再将每个可能值代入分母检验，排除使分母为0的x值，剩余的就是符合要求的结果。
【解析】
(1) 对于分式$\dfrac{2x + 3}{x}$：
令分子$2x+3=0$，解得 $x=-\dfrac{3}{2}$。
检验分母：当 $x=-\dfrac{3}{2}$ 时，分母 $x=-\dfrac{3}{2} ≠ 0$，满足分式有意义的要求。
(2) 对于分式$\dfrac{|x| - 1}{x^2 - x}$：
令分子$|x|-1=0$，解得 $x=1$ 或 $x=-1$。
再求分母不为0的条件：$x^2 - x ≠ 0$，因式分解得$x(x-1)≠0$，解得 $x≠0$ 且 $x≠1$。
舍去不符合条件的$x=1$，仅剩$x=-1$满足所有要求。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{3}{2}$；(2) $x=-1$
【知识点】
1. 分式值为零的条件 2. 绝对值方程求解 3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查分式值为0的判定规则，易错点是解题时容易忽略分母不为0的前提，直接取分子为0的解，尤其当解出多个x的可能值时，一定要逐一检验分母，避免出现分式无意义的错误。
【难度系数】
0.7
9.对于分式$\frac{x+a+b}{a-2b+3x}$，当$x=1$时，分式的值为零；当$x=-2$时，分式无意义.求$a,b$的值.
答案
解：
∵ 当$x=1$时，分式的值为零，
∴ 分子满足$1+a+b=0$，即$a + b = -1$ ①，
且此时分母$a-2b+3×1 ≠ 0$。
∵ 当$x=-2$时，分式无意义，
∴ 分母满足$a-2b + 3×(-2) = 0$，即$a - 2b = 6$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases}a + b = -1 \\a - 2b = 6\end{cases}$
由①得$a = -1 - b$，将其代入②：
$-1 - b - 2b = 6$
$-3b = 7$
解得$b = -\frac{7}{3}$
把$b=-\frac{7}{3}$代入$a=-1 - b$，得$a = -1 - (-\frac{7}{3}) = \frac{4}{3}$
检验：当$a=\frac{4}{3},b=-\frac{7}{3}$时，$a-2b+3=9≠0$，符合条件。
$\therefore a=\frac{4}{3},b=-\frac{7}{3}$。
∵ 当$x=1$时，分式的值为零，
∴ 分子满足$1+a+b=0$，即$a + b = -1$ ①，
且此时分母$a-2b+3×1 ≠ 0$。
∵ 当$x=-2$时，分式无意义，
∴ 分母满足$a-2b + 3×(-2) = 0$，即$a - 2b = 6$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases}a + b = -1 \\a - 2b = 6\end{cases}$
由①得$a = -1 - b$，将其代入②：
$-1 - b - 2b = 6$
$-3b = 7$
解得$b = -\frac{7}{3}$
把$b=-\frac{7}{3}$代入$a=-1 - b$，得$a = -1 - (-\frac{7}{3}) = \frac{4}{3}$
检验：当$a=\frac{4}{3},b=-\frac{7}{3}$时，$a-2b+3=9≠0$，符合条件。
$\therefore a=\frac{4}{3},b=-\frac{7}{3}$。
解析
【分析】
解题时先回忆分式的相关性质：分式值为0需满足分子为0且分母不为0；分式无意义需满足分母为0。第一步，将x=1代入分式，根据值为0的条件得到分子等于0的方程，同时记下此时分母不为0的限制条件；第二步，将x=-2代入分式，根据无意义的条件得到分母等于0的第二个方程；第三步，联立两个方程组成二元一次方程组，求解得到a、b的值，最后代入之前的分母不为0的条件验证结果是否符合要求即可。
【解析】
解：
∵ 当$x=1$时，分式的值为零，
∴ 分子代入$x=1$得：$1+a+b=0$，即$a + b = -1$ ①，
且此时分母不为0：$a-2b+3×1 ≠ 0$。
∵ 当$x=-2$时，分式无意义，
∴ 分母代入$x=-2$得：$a-2b + 3×(-2) = 0$，即$a - 2b = 6$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases}a + b = -1 \\a - 2b = 6\end{cases}$
由①得$a = -1 - b$，将其代入②：
$-1 - b - 2b = 6$
$-3b = 7$
解得$b = -\frac{7}{3}$
把$b=-\frac{7}{3}$代入$a=-1 - b$，得$a = -1 - (-\frac{7}{3}) = \frac{4}{3}$
检验：当$a=\frac{4}{3},b=-\frac{7}{3}$时，$a-2b+3=\frac{4}{3}-2×(-\frac{7}{3})+3=9≠0$，符合条件。
$\therefore a=\frac{4}{3},b=-\frac{7}{3}$
【答案】
$a=\frac{4}{3}$，$b=-\frac{7}{3}$
【知识点】
1.分式值为0的条件
2.分式无意义的条件
3.解二元一次方程组
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，核心是准确掌握分式值为0、无意义的成立条件，列出对应方程求解即可，注意求解后要验证分式值为0时分母不为0的限制条件，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆分式的相关性质：分式值为0需满足分子为0且分母不为0；分式无意义需满足分母为0。第一步，将x=1代入分式，根据值为0的条件得到分子等于0的方程，同时记下此时分母不为0的限制条件；第二步，将x=-2代入分式，根据无意义的条件得到分母等于0的第二个方程；第三步，联立两个方程组成二元一次方程组，求解得到a、b的值，最后代入之前的分母不为0的条件验证结果是否符合要求即可。
【解析】
解：
∵ 当$x=1$时，分式的值为零，
∴ 分子代入$x=1$得：$1+a+b=0$，即$a + b = -1$ ①，
且此时分母不为0：$a-2b+3×1 ≠ 0$。
∵ 当$x=-2$时，分式无意义，
∴ 分母代入$x=-2$得：$a-2b + 3×(-2) = 0$，即$a - 2b = 6$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases}a + b = -1 \\a - 2b = 6\end{cases}$
由①得$a = -1 - b$，将其代入②：
$-1 - b - 2b = 6$
$-3b = 7$
解得$b = -\frac{7}{3}$
把$b=-\frac{7}{3}$代入$a=-1 - b$，得$a = -1 - (-\frac{7}{3}) = \frac{4}{3}$
检验：当$a=\frac{4}{3},b=-\frac{7}{3}$时，$a-2b+3=\frac{4}{3}-2×(-\frac{7}{3})+3=9≠0$，符合条件。
$\therefore a=\frac{4}{3},b=-\frac{7}{3}$
【答案】
$a=\frac{4}{3}$，$b=-\frac{7}{3}$
【知识点】
1.分式值为0的条件
2.分式无意义的条件
3.解二元一次方程组
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，核心是准确掌握分式值为0、无意义的成立条件，列出对应方程求解即可，注意求解后要验证分式值为0时分母不为0的限制条件，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
