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9. (1)已知$\frac{a}{b}=3$，则$a=\_\_\_\_\_\_b$；
(2)若$\frac{a}{b}=3$，试求$\frac{2a^2 - 3b^2}{a^2 + b^2}$的值。
(2)若$\frac{a}{b}=3$，试求$\frac{2a^2 - 3b^2}{a^2 + b^2}$的值。
答案
$\boldsymbol{3}$。
(2) 由$\frac{a}{b}=3$可知$b≠0$，根据分式的基本性质，将待求分式的分子、分母同时除以$b^2$：
$\begin{aligned}\frac{2a^2 - 3b^2}{a^2 + b^2}&=\frac{2·\frac{a^2}{b^2} - \frac{3b^2}{b^2}}{\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{b^2}}\\&=\frac{2(\frac{a}{b})^2 - 3}{(\frac{a}{b})^2 + 1}\\&=\frac{2×3^2 - 3}{3^2 + 1}\\&=\frac{18 - 3}{9 + 1}\\&=\frac{15}{10}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
(2) 由$\frac{a}{b}=3$可知$b≠0$，根据分式的基本性质，将待求分式的分子、分母同时除以$b^2$：
$\begin{aligned}\frac{2a^2 - 3b^2}{a^2 + b^2}&=\frac{2·\frac{a^2}{b^2} - \frac{3b^2}{b^2}}{\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{b^2}}\\&=\frac{2(\frac{a}{b})^2 - 3}{(\frac{a}{b})^2 + 1}\\&=\frac{2×3^2 - 3}{3^2 + 1}\\&=\frac{18 - 3}{9 + 1}\\&=\frac{15}{10}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 第一小问根据等式的基本性质，已知$\frac{a}{b}=3$，等式两边同时乘不为0的$b$，即可直接得出$a$与$b$的数量关系；
(2) 第二小问已知$a$与$b$的比值，待求分式的分子、分母都是关于$a、b$的二次齐次式，首先由$\frac{a}{b}=3$可知$b≠0$，符合分式基本性质的使用条件，将待求分式的分子、分母同时除以$b^2$，即可把分式转化为只含$\frac{a}{b}$的式子，再整体代入$\frac{a}{b}=3$计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由$\frac{a}{b}=3$，等式两边同时乘$b$（$b≠0$），可得$a=3b$，故第一空填$3$。
(2) 由$\frac{a}{b}=3$可知$b≠0$，根据分式的基本性质，将待求分式的分子、分母同时除以$b^2$：
$\begin{aligned}\frac{2a^2 - 3b^2}{a^2 + b^2}&=\frac{2·\frac{a^2}{b^2} - \frac{3b^2}{b^2}}{\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{b^2}}\\&=\frac{2(\frac{a}{b})^2 - 3}{(\frac{a}{b})^2 + 1}\end{aligned}$
将$\frac{a}{b}=3$代入上式，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2×3^2 - 3}{3^2 + 1}\\&=\frac{18 - 3}{9 + 1}\\&=\frac{15}{10}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
比例的基本性质；分式的基本性质；分式化简求值
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是利用分式基本性质将齐次分式转化为含已知比值的形式，通过整体代入简化计算，避免了单独求解$a、b$的繁琐步骤，考查学生对分式基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小问根据等式的基本性质，已知$\frac{a}{b}=3$，等式两边同时乘不为0的$b$，即可直接得出$a$与$b$的数量关系；
(2) 第二小问已知$a$与$b$的比值，待求分式的分子、分母都是关于$a、b$的二次齐次式，首先由$\frac{a}{b}=3$可知$b≠0$，符合分式基本性质的使用条件，将待求分式的分子、分母同时除以$b^2$，即可把分式转化为只含$\frac{a}{b}$的式子，再整体代入$\frac{a}{b}=3$计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由$\frac{a}{b}=3$，等式两边同时乘$b$（$b≠0$），可得$a=3b$，故第一空填$3$。
(2) 由$\frac{a}{b}=3$可知$b≠0$，根据分式的基本性质，将待求分式的分子、分母同时除以$b^2$：
$\begin{aligned}\frac{2a^2 - 3b^2}{a^2 + b^2}&=\frac{2·\frac{a^2}{b^2} - \frac{3b^2}{b^2}}{\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{b^2}}\\&=\frac{2(\frac{a}{b})^2 - 3}{(\frac{a}{b})^2 + 1}\end{aligned}$
将$\frac{a}{b}=3$代入上式，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2×3^2 - 3}{3^2 + 1}\\&=\frac{18 - 3}{9 + 1}\\&=\frac{15}{10}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
比例的基本性质；分式的基本性质；分式化简求值
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是利用分式基本性质将齐次分式转化为含已知比值的形式，通过整体代入简化计算，避免了单独求解$a、b$的繁琐步骤，考查学生对分式基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
10.已知$x+2y-1=0$，求分式$\frac{2x+4y}{x^2+4xy+4y^2}$的值.
答案
解：
先对分式的分子、分母分别因式分解：
分子：$2x+4y=2(x+2y)$
分母：$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$
因此原式可化为：
$\frac{2(x+2y)}{(x+2y)^2}$
根据分式的基本性质，约去公因式$x+2y$，得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{x+2y}$
由已知条件$x+2y-1=0$，可得$x+2y=1$，
将$x+2y=1$代入$\frac{2}{x+2y}$，得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{1}=2$
先对分式的分子、分母分别因式分解：
分子：$2x+4y=2(x+2y)$
分母：$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$
因此原式可化为：
$\frac{2(x+2y)}{(x+2y)^2}$
根据分式的基本性质，约去公因式$x+2y$，得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{x+2y}$
由已知条件$x+2y-1=0$，可得$x+2y=1$，
将$x+2y=1$代入$\frac{2}{x+2y}$，得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{1}=2$
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先化简分式，再结合已知条件整体代入求值。首先观察分式的分子、分母结构：分子是一次二项式，可提取公因式变形；分母是二次三项式，符合完全平方公式的结构，可通过因式分解变形。其次对分解后的分式约分，将其化为最简形式。最后从已知等式中求出化简后代数式对应部分的值，整体代入即可算出结果，注意约分需保证公因式不为0，本题由已知条件可验证公因式不为0，可正常约分。
【解析】
先对分式的分子、分母分别因式分解：
分子：$2x+4y=2(x+2y)$
分母：$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$
因此原式可化为：
$\frac{2(x+2y)}{(x+2y)^2}$
根据分式的基本性质，约去公因式$x+2y$（由已知$x+2y=1≠0$，满足约分条件），得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{x+2y}$
由已知条件$x+2y-1=0$，可得$x+2y=1$，
将$x+2y=1$代入$\frac{2}{x+2y}$，得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{1}=2$
【答案】
2
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题关键是先将分式化简为最简形式，再用整体代入的思想计算，避免了复杂的代换运算，同时要注意约分的前提是公因式不为0，需结合已知条件验证公因式的取值，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是先化简分式，再结合已知条件整体代入求值。首先观察分式的分子、分母结构：分子是一次二项式，可提取公因式变形；分母是二次三项式，符合完全平方公式的结构，可通过因式分解变形。其次对分解后的分式约分，将其化为最简形式。最后从已知等式中求出化简后代数式对应部分的值，整体代入即可算出结果，注意约分需保证公因式不为0，本题由已知条件可验证公因式不为0，可正常约分。
【解析】
先对分式的分子、分母分别因式分解：
分子：$2x+4y=2(x+2y)$
分母：$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$
因此原式可化为：
$\frac{2(x+2y)}{(x+2y)^2}$
根据分式的基本性质，约去公因式$x+2y$（由已知$x+2y=1≠0$，满足约分条件），得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{x+2y}$
由已知条件$x+2y-1=0$，可得$x+2y=1$，
将$x+2y=1$代入$\frac{2}{x+2y}$，得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{1}=2$
【答案】
2
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题关键是先将分式化简为最简形式，再用整体代入的思想计算，避免了复杂的代换运算，同时要注意约分的前提是公因式不为0，需结合已知条件验证公因式的取值，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
