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1.在数轴上，表示+2的点在原点的侧，距原点个单位长度；表示－7的点在原点的侧，距原点个单位长度。
答案
解：表示+2的点在原点的右 侧，距原点2个单位长度；表示－7的点在原点的左 侧，距原点7个单位长度。
解析
【分析】
解题时首先回忆数轴的基础规则：数轴以原点为分界点，规定原点右侧的数为正数，左侧的数为负数；数轴上某点到原点的距离等于该点对应数字的绝对值（即去掉正负号后的数值）。先判断给出数字的正负，确定其在原点的哪一侧，再计算数字的绝对值得到距离原点的单位长度即可。
【解析】
根据数轴的性质和绝对值的几何意义分析：
1. 数字+2是正数，因此表示+2的点在原点的右侧，+2的绝对值为2，所以该点距原点2个单位长度；
2. 数字-7是负数，因此表示-7的点在原点的左侧，-7的绝对值为7，所以该点距原点7个单位长度。
【答案】
右；2；左；7
【知识点】
数轴的概念；绝对值的几何意义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对数轴正负分布规则、点到原点距离定义的掌握，牢记相关基础定义就能快速准确作答，是巩固有理数基础认知的常规习题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆数轴的基础规则：数轴以原点为分界点，规定原点右侧的数为正数，左侧的数为负数；数轴上某点到原点的距离等于该点对应数字的绝对值（即去掉正负号后的数值）。先判断给出数字的正负，确定其在原点的哪一侧，再计算数字的绝对值得到距离原点的单位长度即可。
【解析】
根据数轴的性质和绝对值的几何意义分析：
1. 数字+2是正数，因此表示+2的点在原点的右侧，+2的绝对值为2，所以该点距原点2个单位长度；
2. 数字-7是负数，因此表示-7的点在原点的左侧，-7的绝对值为7，所以该点距原点7个单位长度。
【答案】
右；2；左；7
【知识点】
数轴的概念；绝对值的几何意义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对数轴正负分布规则、点到原点距离定义的掌握，牢记相关基础定义就能快速准确作答，是巩固有理数基础认知的常规习题。
【难度系数】
0.9
2. 下图中，表示数轴的是（填序号）。
（第2题）
（第2题）答案
①
解析
【分析】
要判断图形是否为数轴，需依据数轴的三要素逐一验证：数轴必须同时具备原点（标记0的点）、正方向（通常规定向右，用箭头标注）、统一的单位长度，三个条件缺一不可。我们逐个分析四个图形：
1. 分析①：存在原点0，正方向向右，-1到0、0到1的长度相等，单位长度统一，三要素全部满足；
2. 分析②：箭头向左，不符合数轴向右为正方向的规定，排除；
3. 分析③：-2到-1、-1到0的长度明显大于0到1、1到2的长度，单位长度不统一，排除；
4. 分析④：最左侧刻度到-1的长度和-1到0的长度不相等，单位长度不统一，排除。
综上只有①符合数轴的定义。
【解析】
根据数轴三要素（原点、向右的正方向、统一的单位长度）逐一判断：
图②正方向向左，不符合数轴要求，不是数轴；
图③不同区间单位长度不一致，不是数轴；
图④单位长度不统一，不是数轴；
图①同时满足数轴的三个要素，是数轴。
【答案】
①
【知识点】
数轴的三要素
【点评】
本题是数轴的基础判定题，解题核心是牢记数轴的三个必要构成要素，逐一核对即可快速得出结论，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.85
要判断图形是否为数轴，需依据数轴的三要素逐一验证：数轴必须同时具备原点（标记0的点）、正方向（通常规定向右，用箭头标注）、统一的单位长度，三个条件缺一不可。我们逐个分析四个图形：
1. 分析①：存在原点0，正方向向右，-1到0、0到1的长度相等，单位长度统一，三要素全部满足；
2. 分析②：箭头向左，不符合数轴向右为正方向的规定，排除；
3. 分析③：-2到-1、-1到0的长度明显大于0到1、1到2的长度，单位长度不统一，排除；
4. 分析④：最左侧刻度到-1的长度和-1到0的长度不相等，单位长度不统一，排除。
综上只有①符合数轴的定义。
【解析】
根据数轴三要素（原点、向右的正方向、统一的单位长度）逐一判断：
图②正方向向左，不符合数轴要求，不是数轴；
图③不同区间单位长度不一致，不是数轴；
图④单位长度不统一，不是数轴；
图①同时满足数轴的三个要素，是数轴。
【答案】
①
【知识点】
数轴的三要素
【点评】
本题是数轴的基础判定题，解题核心是牢记数轴的三个必要构成要素，逐一核对即可快速得出结论，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.85
3.已知数轴上有A,B两点,点A表示的数为-1。若AB=3,则点B表示的数为。
答案
解：
分两种情况讨论：
1. 当点B在点A的右侧时，点B表示的数为$-1+3=2$；
2. 当点B在点A的左侧时，点B表示的数为$-1-3=-4$。
综上，点B表示的数为$2$或$-4$。
分两种情况讨论：
1. 当点B在点A的右侧时，点B表示的数为$-1+3=2$；
2. 当点B在点A的左侧时，点B表示的数为$-1-3=-4$。
综上，点B表示的数为$2$或$-4$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确数轴上两点间距离的含义：AB=3表示点B到点A的距离是3个单位长度。数轴上的点可以位于已知点的左侧或右侧，因此需要分两种情况讨论计算，避免漏解。首先确定点A对应的数是-1，再分别计算点B在A左侧、右侧时对应的数值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点B在点A的右侧时，点B表示的数比点A大3，即$-1+3=2$；
2. 当点B在点A的左侧时，点B表示的数比点A小3，即$-1-3=-4$。
综上，点B表示的数为2或-4。
【答案】
2或-4
【知识点】
数轴的应用，两点间的距离，分类讨论
【点评】
本题的易错点是只考虑点B在点A单侧的情况，忽略数轴上点的位置存在两种可能性，解题时要注意全面思考，分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确数轴上两点间距离的含义：AB=3表示点B到点A的距离是3个单位长度。数轴上的点可以位于已知点的左侧或右侧，因此需要分两种情况讨论计算，避免漏解。首先确定点A对应的数是-1，再分别计算点B在A左侧、右侧时对应的数值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点B在点A的右侧时，点B表示的数比点A大3，即$-1+3=2$；
2. 当点B在点A的左侧时，点B表示的数比点A小3，即$-1-3=-4$。
综上，点B表示的数为2或-4。
【答案】
2或-4
【知识点】
数轴的应用，两点间的距离，分类讨论
【点评】
本题的易错点是只考虑点B在点A单侧的情况，忽略数轴上点的位置存在两种可能性，解题时要注意全面思考，分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4.某景区的部分景点和游览路线恰好都在一条直线上，一辆景区电瓶车接到任务从景区大门出发，向东走2 km到达A景点，继续向东走2.5 km到达B景点，然后又掉头向西走8.5 km到达C景点，最后回到景区大门。
(1)以景区大门为原点，向东为正方向，以1个单位长度表示1 km，建立如图所示的数轴，请在数轴上表示出上述三个景点的位置，并直接写出A，C两个景点间的距离。
(2)若该景区电瓶车充满一次电能行驶15 km，则该景区电瓶车能否在一开始充满电而途中不充电的情况下完成此次任务？
(1)以景区大门为原点，向东为正方向，以1个单位长度表示1 km，建立如图所示的数轴，请在数轴上表示出上述三个景点的位置，并直接写出A，C两个景点间的距离。
(2)若该景区电瓶车充满一次电能行驶15 km，则该景区电瓶车能否在一开始充满电而途中不充电的情况下完成此次任务？
答案
解：
(1) 在数轴上标注：点A对应数2，位于刻度2处；点B对应数4.5，位于刻度4和5之间、距离刻度4为0.5个单位处；点C对应数-4，位于刻度-4处。
A，C两个景点间的距离为6 km。
(2) 计算电瓶车行驶的总路程：
$|+2| + |+2.5| + |-8.5| + |-4| = 2 + 2.5 + 8.5 + 4 = 17\ (\mathrm{km})$
因为 $17 ＞ 15$，
所以该景区电瓶车不能在一开始充满电而途中不充电的情况下完成此次任务。
(1) 在数轴上标注：点A对应数2，位于刻度2处；点B对应数4.5，位于刻度4和5之间、距离刻度4为0.5个单位处；点C对应数-4，位于刻度-4处。
A，C两个景点间的距离为6 km。
(2) 计算电瓶车行驶的总路程：
$|+2| + |+2.5| + |-8.5| + |-4| = 2 + 2.5 + 8.5 + 4 = 17\ (\mathrm{km})$
因为 $17 ＞ 15$，
所以该景区电瓶车不能在一开始充满电而途中不充电的情况下完成此次任务。
解析
【分析】
(1) 首先明确题目规定：以景区大门为原点，向东为正方向，1个单位长度代表1km。计算各景点对应数轴上的数时，向东走的距离记为正数，向西走的距离记为负数：A点是从原点向东走2km，对应数为2；B点从A点继续向东走2.5km，对应数为2+2.5=4.5；C点从B点向西走8.5km，对应数为4.5-8.5=-4。求A、C两点距离时，用两点对应数的差的绝对值计算即可。
(2) 判断电瓶车能否完成任务，需要计算行驶的总路程，路程和方向无关，只需把每一段行驶的长度相加（即每段位移取绝对值求和），还要注意加上最后从C点返回景区大门的路程，最终将总路程和15km比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 数轴标注：点A对应数2，位于数轴刻度2处；点B对应数4.5，位于刻度4和5之间、距离刻度4为0.5个单位长度处；点C对应数-4，位于数轴刻度-4处。
A、C两个景点的距离：$\left|2-(-4)\right|=6(\mathrm{km})$
(2) 计算电瓶车行驶总路程：
从大门到A景点路程：$\left|+2\right|=2\mathrm{km}$
从A景点到B景点路程：$\left|+2.5\right|=2.5\mathrm{km}$
从B景点到C景点路程：$\left|-8.5\right|=8.5\mathrm{km}$
从C景点返回大门路程：$\left|-4\right|=4\mathrm{km}$
总路程：$2+2.5+8.5+4=17(\mathrm{km})$
因为$17＞15$，所以该电瓶车不能在一开始充满电、途中不充电的情况下完成此次任务。
【答案】
(1) 点A在刻度2处，点B在刻度4和5之间距刻度4 0.5个单位处，点C在刻度-4处；A、C两个景点间的距离为$\boldsymbol{6\ \mathrm{km}}$。
(2) 该景区电瓶车$\boldsymbol{不能}$在一开始充满电而途中不充电的情况下完成此次任务。
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数加减运算
【点评】
本题结合景区游览的实际场景考查有理数相关知识的应用，解题核心是明确正方向的实际含义，区分位移和路程的差异，属于基础应用题，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确题目规定：以景区大门为原点，向东为正方向，1个单位长度代表1km。计算各景点对应数轴上的数时，向东走的距离记为正数，向西走的距离记为负数：A点是从原点向东走2km，对应数为2；B点从A点继续向东走2.5km，对应数为2+2.5=4.5；C点从B点向西走8.5km，对应数为4.5-8.5=-4。求A、C两点距离时，用两点对应数的差的绝对值计算即可。
(2) 判断电瓶车能否完成任务，需要计算行驶的总路程，路程和方向无关，只需把每一段行驶的长度相加（即每段位移取绝对值求和），还要注意加上最后从C点返回景区大门的路程，最终将总路程和15km比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 数轴标注：点A对应数2，位于数轴刻度2处；点B对应数4.5，位于刻度4和5之间、距离刻度4为0.5个单位长度处；点C对应数-4，位于数轴刻度-4处。
A、C两个景点的距离：$\left|2-(-4)\right|=6(\mathrm{km})$
(2) 计算电瓶车行驶总路程：
从大门到A景点路程：$\left|+2\right|=2\mathrm{km}$
从A景点到B景点路程：$\left|+2.5\right|=2.5\mathrm{km}$
从B景点到C景点路程：$\left|-8.5\right|=8.5\mathrm{km}$
从C景点返回大门路程：$\left|-4\right|=4\mathrm{km}$
总路程：$2+2.5+8.5+4=17(\mathrm{km})$
因为$17＞15$，所以该电瓶车不能在一开始充满电、途中不充电的情况下完成此次任务。
【答案】
(1) 点A在刻度2处，点B在刻度4和5之间距刻度4 0.5个单位处，点C在刻度-4处；A、C两个景点间的距离为$\boldsymbol{6\ \mathrm{km}}$。
(2) 该景区电瓶车$\boldsymbol{不能}$在一开始充满电而途中不充电的情况下完成此次任务。
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数加减运算
【点评】
本题结合景区游览的实际场景考查有理数相关知识的应用，解题核心是明确正方向的实际含义，区分位移和路程的差异，属于基础应用题，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 数轴上有A,B两点,点A在点B左边,原点O是线段AB上的一点。已知AB=8,且OB=3OA,点A,B在数轴上对应的数分别是a,b,P为数轴上的一个动点,其对应的数为x。
(1)$a=$,$b=$,并在图示数轴上标出A,B两点。
(2)用含$x$的代数式分别表示线段$PA$,线段$PB$。
(3)若点$P$以每秒2个单位长度的速度从原点$O$向右运动,同时点$A$以每秒1个单位长度的速度向左运动,点$B$以每秒3个单位长度的速度向右运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$。请问在运动过程中,$3PB-PA$的值是否随着时间$t$的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求出其值。
(1)$a=$,$b=$,并在图示数轴上标出A,B两点。
(2)用含$x$的代数式分别表示线段$PA$,线段$PB$。
(3)若点$P$以每秒2个单位长度的速度从原点$O$向右运动,同时点$A$以每秒1个单位长度的速度向左运动,点$B$以每秒3个单位长度的速度向右运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$。请问在运动过程中,$3PB-PA$的值是否随着时间$t$的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求出其值。
答案
(1) $a=-2$，$b=6$；在数轴上-2的位置标注点A，6的位置标注点B即可。
(2) 解：点P对应的数为$x$，点A对应$-2$，点B对应$6$，根据数轴上两点间距离公式可得：
线段$PA=|x - (-2)|=|x+2|$，
线段$PB=|x - 6|$。
(3) 解：$3PB-PA$的值不会随着时间$t$的变化而改变，推导如下：
运动$t\ \mathrm{s}$后，点A对应的数为$-2 - t$，点B对应的数为$6 + 3t$，点P对应的数为$2t$。
则$PB=|(6+3t)-2t|=|t+6|$，由于$t≥0$，因此$PB=t+6$；
$PA=|2t - (-2 - t)|=|3t+2|$，由于$t≥0$，因此$PA=3t+2$。
代入计算：
$\begin{aligned}3PB-PA&=3(t+6)-(3t+2)\\&=3t+18-3t-2\\&=16\end{aligned}$
因此在运动过程中$3PB-PA$的值保持不变，值为16。
(2) 解：点P对应的数为$x$，点A对应$-2$，点B对应$6$，根据数轴上两点间距离公式可得：
线段$PA=|x - (-2)|=|x+2|$，
线段$PB=|x - 6|$。
(3) 解：$3PB-PA$的值不会随着时间$t$的变化而改变，推导如下：
运动$t\ \mathrm{s}$后，点A对应的数为$-2 - t$，点B对应的数为$6 + 3t$，点P对应的数为$2t$。
则$PB=|(6+3t)-2t|=|t+6|$，由于$t≥0$，因此$PB=t+6$；
$PA=|2t - (-2 - t)|=|3t+2|$，由于$t≥0$，因此$PA=3t+2$。
代入计算：
$\begin{aligned}3PB-PA&=3(t+6)-(3t+2)\\&=3t+18-3t-2\\&=16\end{aligned}$
因此在运动过程中$3PB-PA$的值保持不变，值为16。
解析
【分析】
(1) 已知点A在B左侧，原点在线段AB上，因此A对应的数a为负数，B对应的数b为正数，OA是A到原点的距离即$-a$，OB是B到原点的距离即$b$。结合$AB=OA+OB=8$、$OB=3OA$两个条件，先求出OA、OB的长度，即可得到a、b的值。
(2) 数轴上任意两点的距离等于两点对应数的差的绝对值，已知点P对应数为x，A、B的对应数已求出，直接套用距离公式即可写出PA、PB的表达式。
(3) 先根据各点的运动方向、速度，写出运动t秒后A、B、P三点对应的数，再结合距离公式表示出PA和PB，由于$t≥0$可直接去掉绝对值符号，代入$3PB-PA$化简，若化简结果不含t则值不随时间变化，反之则变化。
【解析】
(1) 由原点在线段AB上，点A在点B左侧，得$a＜0$，$b＞0$，$OA=-a$，$OB=b$。
根据题意列关系式：$\begin{cases}OA+OB=8\\OB=3OA\end{cases}$，将第二个式子代入第一个，得$OA+3OA=8$，解得$OA=2$，因此$OB=6$，即$a=-2$，$b=6$。标注方法：在数轴上-2的位置标注点A，6的位置标注点B即可。
(2) 已知点P对应的数为x，点A对应数为-2，点B对应数为6，根据数轴两点间距离公式可得：
$PA=|x - (-2)|=|x+2|$，$PB=|x - 6|$。
(3) $3PB-PA$的值不会随时间t的变化而改变，推导如下：
运动t秒后，点A向左运动，对应数为$-2 - t$；点B向右运动，对应数为$6 + 3t$；点P向右运动，对应数为$2t$。
由于$t≥0$，因此：
$PB=|(6+3t)-2t|=|t+6|=t+6$
$PA=|2t - (-2 - t)|=|3t+2|=3t+2$
代入$3PB-PA$计算：
$\begin{aligned}3PB-PA&=3(t+6)-(3t+2)\\&=3t+18-3t-2\\&=16\end{aligned}$
化简后结果不含t，因此$3PB-PA$的值不随时间变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{6}$，在数轴上-2位置标注A，6位置标注B；
(2) $PA=\boldsymbol{|x+2|}$，$PB=\boldsymbol{|x-6|}$；
(3) 不变，值为$\boldsymbol{16}$。
【知识点】
数轴的概念，数轴两点间距离，动点问题计算
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的数轴点坐标求解，到距离公式的应用，再到动态定值问题的分析，既考查了数轴相关的基础知识点，也锻炼了动态问题的分析能力和代数化简能力，解题时要注意运动后点的坐标表示和绝对值的正确化简。
【难度系数】
0.6
(1) 已知点A在B左侧，原点在线段AB上，因此A对应的数a为负数，B对应的数b为正数，OA是A到原点的距离即$-a$，OB是B到原点的距离即$b$。结合$AB=OA+OB=8$、$OB=3OA$两个条件，先求出OA、OB的长度，即可得到a、b的值。
(2) 数轴上任意两点的距离等于两点对应数的差的绝对值，已知点P对应数为x，A、B的对应数已求出，直接套用距离公式即可写出PA、PB的表达式。
(3) 先根据各点的运动方向、速度，写出运动t秒后A、B、P三点对应的数，再结合距离公式表示出PA和PB，由于$t≥0$可直接去掉绝对值符号，代入$3PB-PA$化简，若化简结果不含t则值不随时间变化，反之则变化。
【解析】
(1) 由原点在线段AB上，点A在点B左侧，得$a＜0$，$b＞0$，$OA=-a$，$OB=b$。
根据题意列关系式：$\begin{cases}OA+OB=8\\OB=3OA\end{cases}$，将第二个式子代入第一个，得$OA+3OA=8$，解得$OA=2$，因此$OB=6$，即$a=-2$，$b=6$。标注方法：在数轴上-2的位置标注点A，6的位置标注点B即可。
(2) 已知点P对应的数为x，点A对应数为-2，点B对应数为6，根据数轴两点间距离公式可得：
$PA=|x - (-2)|=|x+2|$，$PB=|x - 6|$。
(3) $3PB-PA$的值不会随时间t的变化而改变，推导如下：
运动t秒后，点A向左运动，对应数为$-2 - t$；点B向右运动，对应数为$6 + 3t$；点P向右运动，对应数为$2t$。
由于$t≥0$，因此：
$PB=|(6+3t)-2t|=|t+6|=t+6$
$PA=|2t - (-2 - t)|=|3t+2|=3t+2$
代入$3PB-PA$计算：
$\begin{aligned}3PB-PA&=3(t+6)-(3t+2)\\&=3t+18-3t-2\\&=16\end{aligned}$
化简后结果不含t，因此$3PB-PA$的值不随时间变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{6}$，在数轴上-2位置标注A，6位置标注B；
(2) $PA=\boldsymbol{|x+2|}$，$PB=\boldsymbol{|x-6|}$；
(3) 不变，值为$\boldsymbol{16}$。
【知识点】
数轴的概念，数轴两点间距离，动点问题计算
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的数轴点坐标求解，到距离公式的应用，再到动态定值问题的分析，既考查了数轴相关的基础知识点，也锻炼了动态问题的分析能力和代数化简能力，解题时要注意运动后点的坐标表示和绝对值的正确化简。
【难度系数】
0.6
