1.若$a+b=1$,则代数式$2b-(3-2a)$的值为。

$\boldsymbol{-1}$

解：
先化简代数式：
$2b-(3-2a)=2b-3+2a$
$=2a+2b-3$
$=2(a+b)-3$
将$a+b=1$代入化简后的式子：
原式$=2×1 -3=-1$

2.如图,将两个正方形并排摆放在一起,则图中阴影部分的面积可以表示为。

$\boldsymbol{\frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab}$

解：阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白直角三角形的面积。
两个正方形的面积和为：$a^2 + b^2$
空白直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$a+b$，面积为：$\frac{1}{2}a(a+b)$
因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a(a+b)&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab\end{aligned}$
最终

3.小莉在做一道多项式的加减运算题时，不小心将墨汁弄到了题目上：
$(-x^2 + 3xy - \frac{1}{2}y^2) - (-\frac{1}{2}x^2 + 4xy - \frac{3}{2}y^2) = -\frac{1}{2}x^2 $$ + y^2$。被墨汁(阴影部分)遮住的一项应是___________。

$\boldsymbol{-xy}$

解：对等式左侧的多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(-x^2 + 3xy - \frac{1}{2}y^2) - (-\frac{1}{2}x^2 + 4xy - \frac{3}{2}y^2)\\=&-x^2 + 3xy - \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}x^2 - 4xy + \frac{3}{2}y^2\\=&(-x^2 + \frac{1}{2}x^2) + (3xy - 4xy) + (-\frac{1}{2}y^2 + \frac{3}{2}y^2)\\=&-\frac{1}{2}x^2 - xy + y^2\end{aligned}$
将化简结果和等式右侧$-\frac{1}{2}x^2\ \boldsymbol{■}\ + y^2$对比，可得被墨汁遮住的一项是$\boldsymbol{-xy}$。

4.有理数$a$,$-b$在数轴上的位置如图所示,化简:$|1-3b|-2|2+b|+|2-3a|=$。

$\boldsymbol{3a + b -7}$

解：由数轴可得：$-3 ＜ -b ＜ -2$，$1 ＜ a ＜ 2$，
对$-3 ＜ -b ＜ -2$两边同乘$-1$，得$2 ＜ b ＜ 3$。
由此判断各绝对值内式子的符号：
$1-3b ＜ 0$，$2+b ＞ 0$，$2-3a ＜ 0$。
去绝对值化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3b-1)-2(2+b)+(3a-2)\\&=3b-1-4-2b+3a-2\\&=3a+b-7\end{aligned}$

5.(1)已知$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$x$的绝对值是2，求$x^2 - (a+b+cd)x + (a+b)^{2026} + (-cd)^{2025}$的值。
(2)先化简，再求值：$3(4xy^2 - x^2y) - 4(-x^2y + 3xy^2)$，其中$x=2,y=-1$。

解：
(1) 由已知条件可得：
$a+b=0$，$cd=1$，$|x|=2$，即$x=2$或$x=-2$，$x^2=4$。
当$x=2$时：
$\begin{aligned}原式&=4 - (0+1)×2 + 0^{2026} + (-1)^{2025}\\&=4 - 2 + 0 -1\\&=1\end{aligned}$
当$x=-2$时：
$\begin{aligned}原式&=4 - (0+1)×(-2) + 0^{2026} + (-1)^{2025}\\&=4 + 2 + 0 -1\\&=5\end{aligned}$
所以该式的值为1或5。
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}3(4xy^2 - x^2y) - 4(-x^2y + 3xy^2)&=12xy^2 - 3x^2y + 4x^2y - 12xy^2\\&=x^2y\end{aligned}$
将$x=2$，$y=-1$代入化简后的式子：
$原式=2^2×(-1)=-4$

6. 提升题【问题呈现】
(1)已知代数式 $ mx - y - 3x + 4y - 1 $ 的值与 $ x $ 的取值无关，求 $ m $ 的值。
【类比应用】
(2)将7张如图①所示的小长方形纸片(长为$ a $，宽为$ b $)，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形$ ABCD $内，未被覆盖的两部分(图中阴影部分)的面积分别记为$ S_1 $，$ S_2 $。当$ AB $的长变化时，$ S_1 - S_2 $的值始终保持不变，求$ a $与$ b $的等量关系。

解：
(1) 对代数式合并同类项：
$mx - y - 3x + 4y - 1 = (m - 3)x + 3y - 1$
因为代数式的值与$x$的取值无关，所以含$x$的项的系数为0，
即 $m - 3 = 0$，
解得 $m = 3$。
(2) 设$AB$的长度为$x$，根据图形可得：
$S_1 = a(x - 3b)$，$S_2 = 2b(x - a)$
则：
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(x - 3b) - 2b(x - a)\\&= ax - 3ab - 2bx + 2ab\\&= (a - 2b)x - ab\end{aligned}$
因为当$AB$的长$x$变化时，$S_1 - S_2$的值始终保持不变，说明$S_1 - S_2$的值与$x$的取值无关，因此含$x$的项的系数为0，
即 $a - 2b = 0$，
所以$a$与$b$的等量关系为 $\boldsymbol{a = 2b}$。