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11.如图,当时钟显示9:30时,此刻时钟表盘面上时针与分针的夹角是。
答案
$\boldsymbol{105}$
解析
【分析】
要计算9:30时钟表时针与分针的夹角，首先明确钟面的基本规律：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是$360°÷12=30°$。解题时先确定两个指针的位置：9:30时分针指向6，时针因走过30分钟，不会停在9的位置，而是处于9和10的正中间。接下来先计算6到9之间的角度，再加上时针偏离9的角度，两者相加就是所求夹角。
【解析】
解：首先计算钟面上1个大格对应的角度：
$360° ÷ 12 = 30°$
9:30时，分针指向6，时针在9和10的中间：
1. 数字6到数字9之间共有3个大格，对应角度为：
$3 × 30° = 90°$
2. 时针1小时走1个大格（30°），30分钟即0.5小时，时针走过的角度为：
$30° × 0.5 = 15°$
3. 时针与分针的夹角为两部分角度之和：
$90° + 15° = 105°$
【答案】
$\boldsymbol{105}$
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟面角的常规计算题，易错点是忽略时针会随分钟移动，误认为9:30时时针仍指向9，导致算成90°。掌握钟面大格对应的角度、时针的转动规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算9:30时钟表时针与分针的夹角，首先明确钟面的基本规律：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是$360°÷12=30°$。解题时先确定两个指针的位置：9:30时分针指向6，时针因走过30分钟，不会停在9的位置，而是处于9和10的正中间。接下来先计算6到9之间的角度，再加上时针偏离9的角度，两者相加就是所求夹角。
【解析】
解：首先计算钟面上1个大格对应的角度：
$360° ÷ 12 = 30°$
9:30时，分针指向6，时针在9和10的中间：
1. 数字6到数字9之间共有3个大格，对应角度为：
$3 × 30° = 90°$
2. 时针1小时走1个大格（30°），30分钟即0.5小时，时针走过的角度为：
$30° × 0.5 = 15°$
3. 时针与分针的夹角为两部分角度之和：
$90° + 15° = 105°$
【答案】
$\boldsymbol{105}$
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟面角的常规计算题，易错点是忽略时针会随分钟移动，误认为9:30时时针仍指向9，导致算成90°。掌握钟面大格对应的角度、时针的转动规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC=30°，∠BOE=90°，OF平分∠AOD。射线OE以每秒10°的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF也以每秒4°的速度绕点O顺时针转动。当射线OE转动一周时，射线OE，OF停止转动。在射线OE转动一周的过程中，当OE⊥OF时，射线OE转动的时间为s。
答案
$\boldsymbol{\frac{75}{14}或\frac{255}{14}或\frac{435}{14}}$
解析
【分析】
首先先计算初始状态下射线OE与OF的夹角，再根据两条射线的转动方向和速度得到相对转动速度，分情况讨论OE⊥OF时的角度关系，列方程求解后验证时间是否在OE转动一周的有效范围内即可。
【解析】
1. 计算初始角度：
已知∠AOC=30°，直线AB为平角，因此∠AOD=180°-∠AOC=150°；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=75°；
∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°；
因此初始状态下∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°+75°=165°。
2. 设射线OE转动时间为$t$秒：
OE逆时针转动速度为10°/s，OF顺时针转动速度为4°/s，两者相对速度为$10°+4°=14°/\mathrm{s}$；
OE转动一周总时长为$360°÷10°/\mathrm{s}=36\mathrm{s}$，因此$t≤36$。
3. 分情况讨论OE⊥OF（夹角为90°）的情况：
情况1：两射线未相遇，夹角减小到90°：
此时两者共转过角度$165°-90°=75°$，列方程：$14t=75$，解得$t=\frac{75}{14}$，符合$t≤36$。
情况2：两射线相遇后，夹角增大到90°：
此时两者共转过角度$165°+90°=255°$，列方程：$14t=255$，解得$t=\frac{255}{14}$，符合$t≤36$。
情况3：两射线继续转动，再次形成90°夹角：
此时两者共转过角度$255°+180°=435°$，列方程：$14t=435$，解得$t=\frac{435}{14}$，符合$t≤36$。
下一次垂直时总转过角度为$435°+180°=615°$，对应$t=\frac{615}{14}\approx43.9＞36$，超出运动范围，舍去。
【答案】
$\frac{75}{14}$或$\frac{255}{14}$或$\frac{435}{14}$
【知识点】
角的运算，角平分线定义，垂直的性质
【点评】
本题属于角度动态问题，解题关键是先确定初始夹角和相对运动速度，需要分情况讨论垂直的所有可能，注意不要漏解，最后要验证解是否符合运动的时间限制。
【难度系数】
0.3
首先先计算初始状态下射线OE与OF的夹角，再根据两条射线的转动方向和速度得到相对转动速度，分情况讨论OE⊥OF时的角度关系，列方程求解后验证时间是否在OE转动一周的有效范围内即可。
【解析】
1. 计算初始角度：
已知∠AOC=30°，直线AB为平角，因此∠AOD=180°-∠AOC=150°；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=75°；
∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°；
因此初始状态下∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°+75°=165°。
2. 设射线OE转动时间为$t$秒：
OE逆时针转动速度为10°/s，OF顺时针转动速度为4°/s，两者相对速度为$10°+4°=14°/\mathrm{s}$；
OE转动一周总时长为$360°÷10°/\mathrm{s}=36\mathrm{s}$，因此$t≤36$。
3. 分情况讨论OE⊥OF（夹角为90°）的情况：
情况1：两射线未相遇，夹角减小到90°：
此时两者共转过角度$165°-90°=75°$，列方程：$14t=75$，解得$t=\frac{75}{14}$，符合$t≤36$。
情况2：两射线相遇后，夹角增大到90°：
此时两者共转过角度$165°+90°=255°$，列方程：$14t=255$，解得$t=\frac{255}{14}$，符合$t≤36$。
情况3：两射线继续转动，再次形成90°夹角：
此时两者共转过角度$255°+180°=435°$，列方程：$14t=435$，解得$t=\frac{435}{14}$，符合$t≤36$。
下一次垂直时总转过角度为$435°+180°=615°$，对应$t=\frac{615}{14}\approx43.9＞36$，超出运动范围，舍去。
【答案】
$\frac{75}{14}$或$\frac{255}{14}$或$\frac{435}{14}$
【知识点】
角的运算，角平分线定义，垂直的性质
【点评】
本题属于角度动态问题，解题关键是先确定初始夹角和相对运动速度，需要分情况讨论垂直的所有可能，注意不要漏解，最后要验证解是否符合运动的时间限制。
【难度系数】
0.3
三、解答题
13.（1）计算：$-3^4 ÷ \dfrac{9}{4} × \left| -\dfrac{4}{9} \right| + (-1)^{2026}$；
（2）解方程：$\dfrac{2x+1}{3} + \dfrac{3x-1}{5} = \dfrac{7x-4}{15} - 2$。
13.（1）计算：$-3^4 ÷ \dfrac{9}{4} × \left| -\dfrac{4}{9} \right| + (-1)^{2026}$；
（2）解方程：$\dfrac{2x+1}{3} + \dfrac{3x-1}{5} = \dfrac{7x-4}{15} - 2$。
答案
解：
（1）计算：
原式$=-81 ÷ \dfrac{9}{4} × \dfrac{4}{9} + 1$
$=-81 × \dfrac{4}{9} × \dfrac{4}{9} + 1$
$=-16 + 1$
$=-15$
（2）解方程：
去分母，两边同乘15，得
$5(2x+1) + 3(3x-1) = 7x - 4 - 30$
去括号，得
$10x + 5 + 9x - 3 = 7x - 4 - 30$
移项，得
$10x + 9x - 7x = -4 - 30 - 5 + 3$
合并同类项，得
$12x = -36$
系数化为1，得
$x = -3$
（1）计算：
原式$=-81 ÷ \dfrac{9}{4} × \dfrac{4}{9} + 1$
$=-81 × \dfrac{4}{9} × \dfrac{4}{9} + 1$
$=-16 + 1$
$=-15$
（2）解方程：
去分母，两边同乘15，得
$5(2x+1) + 3(3x-1) = 7x - 4 - 30$
去括号，得
$10x + 5 + 9x - 3 = 7x - 4 - 30$
移项，得
$10x + 9x - 7x = -4 - 30 - 5 + 3$
合并同类项，得
$12x = -36$
系数化为1，得
$x = -3$
解析
【分析】
（1）本题为有理数混合运算，解题遵循运算优先级：先计算乘方与绝对值，再按照从左到右的顺序计算乘除，最后计算加法。需注意$-3^4$表示$3^4$的相反数，结果为负；负数的绝对值为正数，$(-1)$的偶次幂等于1。
（2）本题为解含分母的一元一次方程，解题步骤为：先找到所有分母的最小公倍数15，方程每一项同时乘15去掉分母，再去掉括号，将含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧（移项要变号），合并同类项后将未知数的系数化为1即可得到解，注意去分母时常数项也要乘最小公倍数，避免漏乘出错。
【解析】
（1）计算：
原式$=-81 ÷ \dfrac{9}{4} × \dfrac{4}{9} + 1$
$=-81 × \dfrac{4}{9} × \dfrac{4}{9} + 1$
$=-16 + 1$
$=-15$
（2）解方程：
去分母，两边同乘15，得
$5(2x+1) + 3(3x-1) = 7x - 4 - 30$
去括号，得
$10x + 5 + 9x - 3 = 7x - 4 - 30$
移项，得
$10x + 9x - 7x = -4 - 30 - 5 + 3$
合并同类项，得
$12x = -36$
系数化为1，得
$x = -3$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-15}$；（2）$\boldsymbol{x=-3}$
【知识点】
有理数混合运算；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考察运算的规范性和准确率。有理数运算部分要注意符号判断、运算顺序的遵循；解方程部分要警惕去分母时漏乘常数项、移项不变号等常见易错点，熟练掌握基础运算规则是正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）本题为有理数混合运算，解题遵循运算优先级：先计算乘方与绝对值，再按照从左到右的顺序计算乘除，最后计算加法。需注意$-3^4$表示$3^4$的相反数，结果为负；负数的绝对值为正数，$(-1)$的偶次幂等于1。
（2）本题为解含分母的一元一次方程，解题步骤为：先找到所有分母的最小公倍数15，方程每一项同时乘15去掉分母，再去掉括号，将含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧（移项要变号），合并同类项后将未知数的系数化为1即可得到解，注意去分母时常数项也要乘最小公倍数，避免漏乘出错。
【解析】
（1）计算：
原式$=-81 ÷ \dfrac{9}{4} × \dfrac{4}{9} + 1$
$=-81 × \dfrac{4}{9} × \dfrac{4}{9} + 1$
$=-16 + 1$
$=-15$
（2）解方程：
去分母，两边同乘15，得
$5(2x+1) + 3(3x-1) = 7x - 4 - 30$
去括号，得
$10x + 5 + 9x - 3 = 7x - 4 - 30$
移项，得
$10x + 9x - 7x = -4 - 30 - 5 + 3$
合并同类项，得
$12x = -36$
系数化为1，得
$x = -3$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-15}$；（2）$\boldsymbol{x=-3}$
【知识点】
有理数混合运算；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考察运算的规范性和准确率。有理数运算部分要注意符号判断、运算顺序的遵循；解方程部分要警惕去分母时漏乘常数项、移项不变号等常见易错点，熟练掌握基础运算规则是正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
14.定义一种新运算“⊕”：$a\oplus b=2a-ab$。
例如：$1\oplus (-3)=2×1-1×(-3)=5$。
(1)求$(-2)\oplus3$的值。
(2)若$(-3)\oplus x=9$，求$x$的值。
(3)若$x\oplus1=(x+1)\oplus5$，求$x$的值。
例如：$1\oplus (-3)=2×1-1×(-3)=5$。
(1)求$(-2)\oplus3$的值。
(2)若$(-3)\oplus x=9$，求$x$的值。
(3)若$x\oplus1=(x+1)\oplus5$，求$x$的值。
答案
解：
(1) 根据新运算定义：
$(-2)\oplus 3 = 2×(-2) - (-2)×3$
$= -4 + 6$
$= 2$
(2) 根据新运算定义将$(-3)\oplus x=9$展开：
$2×(-3) - (-3)x = 9$
整理得：$-6 + 3x = 9$
移项得：$3x = 9 + 6$
合并同类项得：$3x = 15$
系数化为1得：$x = 5$
(3) 根据新运算定义分别展开等式两边：
左边：$x\oplus1 = 2x - x×1 = x$
右边：$(x+1)\oplus5 = 2(x+1) - 5(x+1) = 2x+2-5x-5 = -3x-3$
可得方程：$x = -3x -3$
移项得：$x + 3x = -3$
合并同类项得：$4x = -3$
系数化为1得：$x = -\frac{3}{4}$
(1) 根据新运算定义：
$(-2)\oplus 3 = 2×(-2) - (-2)×3$
$= -4 + 6$
$= 2$
(2) 根据新运算定义将$(-3)\oplus x=9$展开：
$2×(-3) - (-3)x = 9$
整理得：$-6 + 3x = 9$
移项得：$3x = 9 + 6$
合并同类项得：$3x = 15$
系数化为1得：$x = 5$
(3) 根据新运算定义分别展开等式两边：
左边：$x\oplus1 = 2x - x×1 = x$
右边：$(x+1)\oplus5 = 2(x+1) - 5(x+1) = 2x+2-5x-5 = -3x-3$
可得方程：$x = -3x -3$
移项得：$x + 3x = -3$
合并同类项得：$4x = -3$
系数化为1得：$x = -\frac{3}{4}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是严格按照给定的运算规则$a\oplus b=2a-ab$，将带新符号的运算转化为熟悉的四则运算再求解。(1)问为直接代入求值类问题，只需确定对应$a$、$b$的值代入公式计算即可；(2)(3)问需先将新运算等式转化为一元一次方程，再按解一元一次方程的常规步骤求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算定义：
$(-2)\oplus 3 = 2×(-2) - (-2)×3$
$= -4 + 6$
$= 2$
(2) 根据新运算定义将$(-3)\oplus x=9$展开：
$2×(-3) - (-3)x = 9$
整理得：$-6 + 3x = 9$
移项得：$3x = 9 + 6$
合并同类项得：$3x = 15$
系数化为1得：$x = 5$
(3) 根据新运算定义分别展开等式两边：
左边：$x\oplus1 = 2x - x×1 = x$
右边：$(x+1)\oplus5 = 2(x+1) - 5(x+1) = 2x+2-5x-5 = -3x-3$
可得方程：$x = -3x -3$
移项得：$x + 3x = -3$
合并同类项得：$4x = -3$
系数化为1得：$x = -\frac{3}{4}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{2}$；(2)$\boldsymbol{x=5}$；(3)$\boldsymbol{x=-\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题的关键是准确把新运算转化为常规的四则运算，再结合相关运算规则或方程解法求解，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题核心是严格按照给定的运算规则$a\oplus b=2a-ab$，将带新符号的运算转化为熟悉的四则运算再求解。(1)问为直接代入求值类问题，只需确定对应$a$、$b$的值代入公式计算即可；(2)(3)问需先将新运算等式转化为一元一次方程，再按解一元一次方程的常规步骤求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算定义：
$(-2)\oplus 3 = 2×(-2) - (-2)×3$
$= -4 + 6$
$= 2$
(2) 根据新运算定义将$(-3)\oplus x=9$展开：
$2×(-3) - (-3)x = 9$
整理得：$-6 + 3x = 9$
移项得：$3x = 9 + 6$
合并同类项得：$3x = 15$
系数化为1得：$x = 5$
(3) 根据新运算定义分别展开等式两边：
左边：$x\oplus1 = 2x - x×1 = x$
右边：$(x+1)\oplus5 = 2(x+1) - 5(x+1) = 2x+2-5x-5 = -3x-3$
可得方程：$x = -3x -3$
移项得：$x + 3x = -3$
合并同类项得：$4x = -3$
系数化为1得：$x = -\frac{3}{4}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{2}$；(2)$\boldsymbol{x=5}$；(3)$\boldsymbol{x=-\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题的关键是准确把新运算转化为常规的四则运算，再结合相关运算规则或方程解法求解，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
15.已知$a,b,c,d$都是非零有理数，且$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，数轴上表示$m$的点与表示$-3$的点相距2个单位长度，求$(a+b)^{2026} - 3cd + (\frac{a}{b})^{2025} + 2m$的值。
答案
解：
因为a，b互为相反数，且a，b都是非零有理数，
所以$a+b=0$，$a=-b$，即$\frac{a}{b}=-1$。
因为c，d互为倒数，
所以$cd=1$。
由数轴上表示m的点与表示$-3$的点相距2个单位长度，得：
$|m - (-3)|=2$，即$m+3=2$或$m+3=-2$，
解得$m=-1$或$m=-5$。
当$m=-1$时：
$\begin{aligned}原式&=0^{2026} - 3×1 + (-1)^{2025} + 2×(-1)\\&=0 - 3 -1 -2\\&=-6\end{aligned}$
当$m=-5$时：
$\begin{aligned}原式&=0^{2026} - 3×1 + (-1)^{2025} + 2×(-5)\\&=0 - 3 -1 -10\\&=-14\end{aligned}$
综上，所求式子的值为$-6$或$-14$。
因为a，b互为相反数，且a，b都是非零有理数，
所以$a+b=0$，$a=-b$，即$\frac{a}{b}=-1$。
因为c，d互为倒数，
所以$cd=1$。
由数轴上表示m的点与表示$-3$的点相距2个单位长度，得：
$|m - (-3)|=2$，即$m+3=2$或$m+3=-2$，
解得$m=-1$或$m=-5$。
当$m=-1$时：
$\begin{aligned}原式&=0^{2026} - 3×1 + (-1)^{2025} + 2×(-1)\\&=0 - 3 -1 -2\\&=-6\end{aligned}$
当$m=-5$时：
$\begin{aligned}原式&=0^{2026} - 3×1 + (-1)^{2025} + 2×(-5)\\&=0 - 3 -1 -10\\&=-14\end{aligned}$
综上，所求式子的值为$-6$或$-14$。
解析
【分析】
解题时首先根据相反数的性质求出$a+b$、$\frac{a}{b}$的值，再根据倒数的性质求出$cd$的值，然后利用数轴上两点间的距离关系求出$m$的所有可能取值，最后分两种情况将对应值代入原式计算即可，注意不要漏算$m$的另一个取值。
【解析】
因为$a$，$b$互为相反数，且$a$，$b$都是非零有理数，
所以$a+b=0$，$a=-b$，即$\frac{a}{b}=-1$。
因为$c$，$d$互为倒数，
所以$cd=1$。
由数轴上表示$m$的点与表示$-3$的点相距2个单位长度，得：
$|m - (-3)|=2$，即$m+3=2$或$m+3=-2$，
解得$m=-1$或$m=-5$。
当$m=-1$时：
$\begin{aligned}原式&=0^{2026} - 3×1 + (-1)^{2025} + 2×(-1)\\&=0 - 3 -1 -2\\&=-6\end{aligned}$
当$m=-5$时：
$\begin{aligned}原式&=0^{2026} - 3×1 + (-1)^{2025} + 2×(-5)\\&=0 - 3 -1 -10\\&=-14\end{aligned}$
综上，所求式子的值为$-6$或$-14$。
【答案】
$-6$或$-14$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，数轴上两点的距离
【点评】
本题是有理数相关概念的综合应用题，解题的核心是熟练掌握相反数、倒数的定义以及数轴上两点距离的计算方法，解题时要注意$m$存在两个取值，避免漏解导致结果不完整，是有理数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据相反数的性质求出$a+b$、$\frac{a}{b}$的值，再根据倒数的性质求出$cd$的值，然后利用数轴上两点间的距离关系求出$m$的所有可能取值，最后分两种情况将对应值代入原式计算即可，注意不要漏算$m$的另一个取值。
【解析】
因为$a$，$b$互为相反数，且$a$，$b$都是非零有理数，
所以$a+b=0$，$a=-b$，即$\frac{a}{b}=-1$。
因为$c$，$d$互为倒数，
所以$cd=1$。
由数轴上表示$m$的点与表示$-3$的点相距2个单位长度，得：
$|m - (-3)|=2$，即$m+3=2$或$m+3=-2$，
解得$m=-1$或$m=-5$。
当$m=-1$时：
$\begin{aligned}原式&=0^{2026} - 3×1 + (-1)^{2025} + 2×(-1)\\&=0 - 3 -1 -2\\&=-6\end{aligned}$
当$m=-5$时：
$\begin{aligned}原式&=0^{2026} - 3×1 + (-1)^{2025} + 2×(-5)\\&=0 - 3 -1 -10\\&=-14\end{aligned}$
综上，所求式子的值为$-6$或$-14$。
【答案】
$-6$或$-14$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，数轴上两点的距离
【点评】
本题是有理数相关概念的综合应用题，解题的核心是熟练掌握相反数、倒数的定义以及数轴上两点距离的计算方法，解题时要注意$m$存在两个取值，避免漏解导致结果不完整，是有理数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
