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8. 一般情况下，$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$不成立，但也有数可以使得它成立，例如：$m=n=0$. 我们称能使$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$成立的一对数$m,n$为“相伴数对”，记为$(m,n)$. 若$(x,3)$是“相伴数对”，则$x$的值为（）
A.1
B.$\frac{3}{5}$
C.$-\frac{4}{3}$
D.3
A.1
B.$\frac{3}{5}$
C.$-\frac{4}{3}$
D.3
答案
C
解析
【分析】
首先理解“相伴数对”的定义：能使等式$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$成立的数对$(m,n)$就是相伴数对。已知$(x,3)$是相伴数对，说明$m=x$、$n=3$时该等式成立，我们只需要把$m=x$、$n=3$代入等式，就能得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，即可求出$x$的值。
【解析】
因为$(x,3)$是“相伴数对”，所以将$m=x$，$n=3$代入等式$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$，可得：
$\frac{x}{2}+\frac{3}{3}=\frac{x+3}{2+3}$
化简得：$\frac{x}{2}+1=\frac{x+3}{5}$
去分母（两边同时乘10消去分母）：$5x + 10 = 2(x+3)$
去括号：$5x + 10 = 2x + 6$
移项：$5x - 2x = 6 - 10$
合并同类项：$3x = -4$
系数化为1：$x=-\frac{4}{3}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是准确理解新定义的规则，将陌生的新定义问题转化为已学的一元一次方程求解，重点考查对新定义的理解能力和一元一次方程的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
首先理解“相伴数对”的定义：能使等式$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$成立的数对$(m,n)$就是相伴数对。已知$(x,3)$是相伴数对，说明$m=x$、$n=3$时该等式成立，我们只需要把$m=x$、$n=3$代入等式，就能得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，即可求出$x$的值。
【解析】
因为$(x,3)$是“相伴数对”，所以将$m=x$，$n=3$代入等式$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$，可得：
$\frac{x}{2}+\frac{3}{3}=\frac{x+3}{2+3}$
化简得：$\frac{x}{2}+1=\frac{x+3}{5}$
去分母（两边同时乘10消去分母）：$5x + 10 = 2(x+3)$
去括号：$5x + 10 = 2x + 6$
移项：$5x - 2x = 6 - 10$
合并同类项：$3x = -4$
系数化为1：$x=-\frac{4}{3}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是准确理解新定义的规则，将陌生的新定义问题转化为已学的一元一次方程求解，重点考查对新定义的理解能力和一元一次方程的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
9.解下列方程：
(1)$\frac{1}{2}(x-1)=2-\frac{1}{5}(x+2)$；
(2)$\frac{x+4}{3}-\frac{x+1}{4}=2-\frac{5x-7}{12}$。
(1)$\frac{1}{2}(x-1)=2-\frac{1}{5}(x+2)$；
(2)$\frac{x+4}{3}-\frac{x+1}{4}=2-\frac{5x-7}{12}$。
答案
解：
(1) 去分母，得 $5(x-1)=20-2(x+2)$
去括号，得 $5x-5=20-2x-4$
移项，得 $5x+2x=20-4+5$
合并同类项，得 $7x=21$
系数化为1，得 $x=3$
(2) 去分母，得 $4(x+4)-3(x+1)=24-(5x-7)$
去括号，得 $4x+16-3x-3=24-5x+7$
移项，得 $4x-3x+5x=24+7-16+3$
合并同类项，得 $6x=18$
系数化为1，得 $x=3$
(1) 去分母，得 $5(x-1)=20-2(x+2)$
去括号，得 $5x-5=20-2x-4$
移项，得 $5x+2x=20-4+5$
合并同类项，得 $7x=21$
系数化为1，得 $x=3$
(2) 去分母，得 $4(x+4)-3(x+1)=24-(5x-7)$
去括号，得 $4x+16-3x-3=24-5x+7$
移项，得 $4x-3x+5x=24+7-16+3$
合并同类项，得 $6x=18$
系数化为1，得 $x=3$
解析
【分析】
这两道题都是含分母的一元一次方程，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：①去分母：找到方程中所有分母的最小公倍数，方程左右两边每一项都乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；②去括号：根据去括号法则计算，括号前是负号时，括号内每一项都要变号；③移项：把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，移项要变号；④合并同类项：将左右两边分别合并化简；⑤系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
【解析】
(1) 去分母，得 $5(x-1)=20-2(x+2)$
去括号，得 $5x-5=20-2x-4$
移项，得 $5x+2x=20-4+5$
合并同类项，得 $7x=21$
系数化为1，得 $x=3$
(2) 去分母，得 $4(x+4)-3(x+1)=24-(5x-7)$
去括号，得 $4x+16-3x-3=24-5x+7$
移项，得 $4x-3x+5x=24+7-16+3$
合并同类项，得 $6x=18$
系数化为1，得 $x=3$
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=3$
【知识点】
解一元一次方程、去括号法则、等式的性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础典型题，重点考察带分母一元一次方程的求解步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、去括号及移项时符号出错，熟练掌握解题步骤和运算规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
这两道题都是含分母的一元一次方程，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：①去分母：找到方程中所有分母的最小公倍数，方程左右两边每一项都乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；②去括号：根据去括号法则计算，括号前是负号时，括号内每一项都要变号；③移项：把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，移项要变号；④合并同类项：将左右两边分别合并化简；⑤系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
【解析】
(1) 去分母，得 $5(x-1)=20-2(x+2)$
去括号，得 $5x-5=20-2x-4$
移项，得 $5x+2x=20-4+5$
合并同类项，得 $7x=21$
系数化为1，得 $x=3$
(2) 去分母，得 $4(x+4)-3(x+1)=24-(5x-7)$
去括号，得 $4x+16-3x-3=24-5x+7$
移项，得 $4x-3x+5x=24+7-16+3$
合并同类项，得 $6x=18$
系数化为1，得 $x=3$
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=3$
【知识点】
解一元一次方程、去括号法则、等式的性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础典型题，重点考察带分母一元一次方程的求解步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、去括号及移项时符号出错，熟练掌握解题步骤和运算规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
10. 小明在解方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + m}{4} - 1$时，方程两边都乘各分母的最小公倍数去分母，结果漏乘了不含分母的项－1，得到方程的解是x＝3，请你帮助小明求出m的值和原方程正确的解。
答案
解：
由题意可知，小明去分母后得到的错误方程为：
$4(2x - 1) = 3(x + m) - 1$
将$x=3$代入该方程，得：
$4×(2×3 - 1) = 3×(3 + m) - 1$
$20 = 9 + 3m - 1$
$3m = 12$
解得$m=4$。
将$m=4$代入原方程，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 4}{4} - 1$
去分母，两边同乘12，得：
$4(2x - 1) = 3(x + 4) - 12$
去括号，得：
$8x - 4 = 3x + 12 - 12$
移项，得：
$8x - 3x = 4$
合并同类项，得：
$5x = 4$
系数化为1，得：
$x = \frac{4}{5}$
综上，$m$的值为$4$，原方程正确的解为$x=\frac{4}{5}$。
由题意可知，小明去分母后得到的错误方程为：
$4(2x - 1) = 3(x + m) - 1$
将$x=3$代入该方程，得：
$4×(2×3 - 1) = 3×(3 + m) - 1$
$20 = 9 + 3m - 1$
$3m = 12$
解得$m=4$。
将$m=4$代入原方程，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 4}{4} - 1$
去分母，两边同乘12，得：
$4(2x - 1) = 3(x + 4) - 12$
去括号，得：
$8x - 4 = 3x + 12 - 12$
移项，得：
$8x - 3x = 4$
合并同类项，得：
$5x = 4$
系数化为1，得：
$x = \frac{4}{5}$
综上，$m$的值为$4$，原方程正确的解为$x=\frac{4}{5}$。
解析
【分析】
解题分两个阶段进行：①求m的值：小明去分母时漏乘了不含分母的项-1，因此他得到的错误方程为$4(2x - 1) = 3(x + m) - 1$，已知x=3是这个错误方程的解，将x=3代入错误方程即可求出m的值；②求原方程的正确解：把求出的m代入原方程，严格按照解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
由题意可知，小明去分母后得到的错误方程为：
$4(2x - 1) = 3(x + m) - 1$
将$x=3$代入该方程，得：
$4×(2×3 - 1) = 3×(3 + m) - 1$
$20 = 9 + 3m - 1$
$3m = 12$
解得$m=4$。
将$m=4$代入原方程，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 4}{4} - 1$
去分母，两边同乘12，得：
$4(2x - 1) = 3(x + 4) - 12$
去括号，得：
$8x - 4 = 3x + 12 - 12$
移项，得：
$8x - 3x = 4$
合并同类项，得：
$5x = 4$
系数化为1，得：
$x = \frac{4}{5}$
【答案】
$m$的值为$4$，原方程正确的解为$x=\frac{4}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；去分母运算
【点评】
本题结合解方程的常见易错点设置情境，既考查了利用方程的解求参数的方法，也强化了去分母时需给方程所有项同乘最小公倍数的注意事项，是一元一次方程部分的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题分两个阶段进行：①求m的值：小明去分母时漏乘了不含分母的项-1，因此他得到的错误方程为$4(2x - 1) = 3(x + m) - 1$，已知x=3是这个错误方程的解，将x=3代入错误方程即可求出m的值；②求原方程的正确解：把求出的m代入原方程，严格按照解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
由题意可知，小明去分母后得到的错误方程为：
$4(2x - 1) = 3(x + m) - 1$
将$x=3$代入该方程，得：
$4×(2×3 - 1) = 3×(3 + m) - 1$
$20 = 9 + 3m - 1$
$3m = 12$
解得$m=4$。
将$m=4$代入原方程，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 4}{4} - 1$
去分母，两边同乘12，得：
$4(2x - 1) = 3(x + 4) - 12$
去括号，得：
$8x - 4 = 3x + 12 - 12$
移项，得：
$8x - 3x = 4$
合并同类项，得：
$5x = 4$
系数化为1，得：
$x = \frac{4}{5}$
【答案】
$m$的值为$4$，原方程正确的解为$x=\frac{4}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；去分母运算
【点评】
本题结合解方程的常见易错点设置情境，既考查了利用方程的解求参数的方法，也强化了去分母时需给方程所有项同乘最小公倍数的注意事项，是一元一次方程部分的典型题型。
【难度系数】
0.7
11.父亲去世后，四个儿子按下述方式分了他的财产:老大拿了财产的一半少 3000 元;老二拿了财产的$\frac{1}{3}$少 1000 元;老三恰好拿了财产的$\frac{1}{4}$;老四拿了财产的$\frac{1}{5}$加上 600 元.问:全部财产有多少?四个儿子各分了多少?
答案
解：设全部财产有$x$元。
根据题意列方程，得
$(\frac{1}{2}x - 3000) + (\frac{1}{3}x - 1000) + \frac{1}{4}x + (\frac{1}{5}x + 600) = x$
去分母（方程两边同乘60），得
$30x - 180000 + 20x - 60000 + 15x + 12x + 36000 = 60x$
合并同类项，得
$77x - 204000 = 60x$
移项，得
$77x - 60x = 204000$
合并同类项，得
$17x = 204000$
系数化为1，得
$x = 12000$
老大分得财产：$\frac{1}{2} × 12000 - 3000 = 3000$（元）
老二分得财产：$\frac{1}{3} × 12000 - 1000 = 3000$（元）
老三分得财产：$\frac{1}{4} × 12000 = 3000$（元）
老四分得财产：$\frac{1}{5} × 12000 + 600 = 3000$（元）
答：全部财产有12000元，四个儿子各分得3000元。
根据题意列方程，得
$(\frac{1}{2}x - 3000) + (\frac{1}{3}x - 1000) + \frac{1}{4}x + (\frac{1}{5}x + 600) = x$
去分母（方程两边同乘60），得
$30x - 180000 + 20x - 60000 + 15x + 12x + 36000 = 60x$
合并同类项，得
$77x - 204000 = 60x$
移项，得
$77x - 60x = 204000$
合并同类项，得
$17x = 204000$
系数化为1，得
$x = 12000$
老大分得财产：$\frac{1}{2} × 12000 - 3000 = 3000$（元）
老二分得财产：$\frac{1}{3} × 12000 - 1000 = 3000$（元）
老三分得财产：$\frac{1}{4} × 12000 = 3000$（元）
老四分得财产：$\frac{1}{5} × 12000 + 600 = 3000$（元）
答：全部财产有12000元，四个儿子各分得3000元。
解析
【分析】
这是一道利用一元一次方程解决的实际分配问题，解题核心是找准等量关系：四个儿子分得的财产总和等于全部总财产。我们可以先设全部财产为x元，分别用含x的式子表示出四个儿子各自分得的财产，再根据上述等量关系列出一元一次方程，求解得到总财产x的值后，再代入各表达式计算四个儿子各自分得的钱数即可。
【解析】
解：设全部财产有$x$元。
根据四人分得财产之和等于总财产，列方程得：
$(\frac{1}{2}x - 3000) + (\frac{1}{3}x - 1000) + \frac{1}{4}x + (\frac{1}{5}x + 600) = x$
去分母（方程两边同时乘分母的最小公倍数60），得：
$30x - 180000 + 20x - 60000 + 15x + 12x + 36000 = 60x$
合并同类项，得：
$77x - 204000 = 60x$
移项，得：
$77x - 60x = 204000$
合并同类项，得：
$17x = 204000$
系数化为1，得：
$x = 12000$
分别计算四人分得的财产：
老大：$\frac{1}{2} × 12000 - 3000 = 3000$（元）
老二：$\frac{1}{3} × 12000 - 1000 = 3000$（元）
老三：$\frac{1}{4} × 12000 = 3000$（元）
老四：$\frac{1}{5} × 12000 + 600 = 3000$（元）
答：全部财产有12000元，四个儿子各分得3000元。
【答案】
全部财产有12000元，老大、老二、老三、老四均分得3000元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 解一元一次方程 3. 和差倍分问题
【点评】
本题属于典型的分配类一元一次方程应用题，解题的关键是找准“各部分量之和等于总量”的等量关系，计算去分母步骤时注意不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元一次方程解决的实际分配问题，解题核心是找准等量关系：四个儿子分得的财产总和等于全部总财产。我们可以先设全部财产为x元，分别用含x的式子表示出四个儿子各自分得的财产，再根据上述等量关系列出一元一次方程，求解得到总财产x的值后，再代入各表达式计算四个儿子各自分得的钱数即可。
【解析】
解：设全部财产有$x$元。
根据四人分得财产之和等于总财产，列方程得：
$(\frac{1}{2}x - 3000) + (\frac{1}{3}x - 1000) + \frac{1}{4}x + (\frac{1}{5}x + 600) = x$
去分母（方程两边同时乘分母的最小公倍数60），得：
$30x - 180000 + 20x - 60000 + 15x + 12x + 36000 = 60x$
合并同类项，得：
$77x - 204000 = 60x$
移项，得：
$77x - 60x = 204000$
合并同类项，得：
$17x = 204000$
系数化为1，得：
$x = 12000$
分别计算四人分得的财产：
老大：$\frac{1}{2} × 12000 - 3000 = 3000$（元）
老二：$\frac{1}{3} × 12000 - 1000 = 3000$（元）
老三：$\frac{1}{4} × 12000 = 3000$（元）
老四：$\frac{1}{5} × 12000 + 600 = 3000$（元）
答：全部财产有12000元，四个儿子各分得3000元。
【答案】
全部财产有12000元，老大、老二、老三、老四均分得3000元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 解一元一次方程 3. 和差倍分问题
【点评】
本题属于典型的分配类一元一次方程应用题，解题的关键是找准“各部分量之和等于总量”的等量关系，计算去分母步骤时注意不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
12.对联是中华传统文化的瑰宝，装裱对联时四周都要留空，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为$3:2$，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$.若某副对联装裱前长为100 cm，宽为26 cm，装裱后整幅作品的周长与装裱前的周长比为$3:2$，求天头长.
答案
解：设天头长为$3x\ \mathrm{cm}$，则地头长为$2x\ \mathrm{cm}$。
左、右边的宽均为$\frac{1}{10}(3x+2x)=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
装裱前对联的周长为$2×(100+26)=252\ \mathrm{cm}$。
装裱后整幅作品的长为$(100+3x+2x)=(100+5x)\ \mathrm{cm}$，
装裱后整幅作品的宽为$(26 + 2×\frac{1}{2}x)=(26+x)\ \mathrm{cm}$，
装裱后整幅作品的周长为$2×[(100+5x)+(26+x)]=(252+12x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$252+12x = 252×\frac{3}{2}$
化简得：
$252+12x=378$
移项、合并同类项得：
$12x=126$
系数化为1得：
$x=10.5$
则$3x=3×10.5=31.5$。
答：天头长为$31.5\ \mathrm{cm}$。
左、右边的宽均为$\frac{1}{10}(3x+2x)=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
装裱前对联的周长为$2×(100+26)=252\ \mathrm{cm}$。
装裱后整幅作品的长为$(100+3x+2x)=(100+5x)\ \mathrm{cm}$，
装裱后整幅作品的宽为$(26 + 2×\frac{1}{2}x)=(26+x)\ \mathrm{cm}$，
装裱后整幅作品的周长为$2×[(100+5x)+(26+x)]=(252+12x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$252+12x = 252×\frac{3}{2}$
化简得：
$252+12x=378$
移项、合并同类项得：
$12x=126$
系数化为1得：
$x=10.5$
则$3x=3×10.5=31.5$。
答：天头长为$31.5\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
首先根据天头长与地头长的比例关系设未知数，简化计算：已知天头长:地头长=3:2，所以设天头长为3x cm，地头长为2x cm，再根据边宽和天头、地头长和的关系表示出边宽。接着先计算装裱前对联的周长，再分别表示出装裱后作品的长和宽，得到装裱后的周长。最后根据“装裱后周长与装裱前周长比为3:2”的等量关系列方程，解方程求出x的值，即可得到天头长。
【解析】
解：设天头长为$3x\ \mathrm{cm}$，则地头长为$2x\ \mathrm{cm}$。
左、右边的宽均为$\frac{1}{10}(3x+2x)=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
装裱前对联的周长为：$2×(100+26)=252\ \mathrm{cm}$。
装裱后整幅作品的长为：$100+3x+2x=(100+5x)\ \mathrm{cm}$，
装裱后整幅作品的宽为：$26 + 2×\frac{1}{2}x=(26+x)\ \mathrm{cm}$，
装裱后整幅作品的周长为：$2×[(100+5x)+(26+x)]=(252+12x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，装裱后周长是装裱前周长的$\frac{3}{2}$，列方程得：
$252+12x = 252×\frac{3}{2}$
化简得：
$252+12x=378$
移项、合并同类项得：
$12x=126$
系数化为1得：
$x=10.5$
则天头长为$3x=3×10.5=31.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
天头长为$\boxed{31.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元一次方程应用，长方形周长计算，比例的应用
【点评】
本题以传统对联装裱为生活情境，考查一元一次方程的实际应用，解题核心是理清各数量间的关系，结合比例设未知数简化计算，再根据周长的比例关系建立方程求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
首先根据天头长与地头长的比例关系设未知数，简化计算：已知天头长:地头长=3:2，所以设天头长为3x cm，地头长为2x cm，再根据边宽和天头、地头长和的关系表示出边宽。接着先计算装裱前对联的周长，再分别表示出装裱后作品的长和宽，得到装裱后的周长。最后根据“装裱后周长与装裱前周长比为3:2”的等量关系列方程，解方程求出x的值，即可得到天头长。
【解析】
解：设天头长为$3x\ \mathrm{cm}$，则地头长为$2x\ \mathrm{cm}$。
左、右边的宽均为$\frac{1}{10}(3x+2x)=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
装裱前对联的周长为：$2×(100+26)=252\ \mathrm{cm}$。
装裱后整幅作品的长为：$100+3x+2x=(100+5x)\ \mathrm{cm}$，
装裱后整幅作品的宽为：$26 + 2×\frac{1}{2}x=(26+x)\ \mathrm{cm}$，
装裱后整幅作品的周长为：$2×[(100+5x)+(26+x)]=(252+12x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，装裱后周长是装裱前周长的$\frac{3}{2}$，列方程得：
$252+12x = 252×\frac{3}{2}$
化简得：
$252+12x=378$
移项、合并同类项得：
$12x=126$
系数化为1得：
$x=10.5$
则天头长为$3x=3×10.5=31.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
天头长为$\boxed{31.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元一次方程应用，长方形周长计算，比例的应用
【点评】
本题以传统对联装裱为生活情境，考查一元一次方程的实际应用，解题核心是理清各数量间的关系，结合比例设未知数简化计算，再根据周长的比例关系建立方程求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
