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例 解方程：
(1)$\frac{1}{2}[x-\frac{1}{2}(x-1)]=\frac{2}{3}(x-1)$；
(2)$278(x-3)-463(6-2x)-888(7x-21)=0$；
【解析】合理去括号可以使解方程的过程简化.
解:(1)原方程可化为：
$\frac{1}{2}[(x-1)+1-\frac{1}{2}(x-1)]=\frac{2}{3}(x-1)$.
去中括号，得
$\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)=\frac{2}{3}(x-1)$.
移项、合并同类项，得
$-\frac{5}{12}(x-1)=-\frac{1}{2}$.
解得$x=\frac{11}{5}$.
(2)原方程可化为
$278(x-3)+463×2(x-3)-888×7(x-3)=0$.
逆用分配律，得
$(278+463×2-888×7)(x-3)=0$.
解得$x=3$.
(1)$\frac{1}{2}[x-\frac{1}{2}(x-1)]=\frac{2}{3}(x-1)$；
(2)$278(x-3)-463(6-2x)-888(7x-21)=0$；
【解析】合理去括号可以使解方程的过程简化.
解:(1)原方程可化为：
$\frac{1}{2}[(x-1)+1-\frac{1}{2}(x-1)]=\frac{2}{3}(x-1)$.
去中括号，得
$\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)=\frac{2}{3}(x-1)$.
移项、合并同类项，得
$-\frac{5}{12}(x-1)=-\frac{1}{2}$.
解得$x=\frac{11}{5}$.
(2)原方程可化为
$278(x-3)+463×2(x-3)-888×7(x-3)=0$.
逆用分配律，得
$(278+463×2-888×7)(x-3)=0$.
解得$x=3$.
答案
解：(1) 原方程可化为：
$\frac{1}{2}[(x-1)+1-\frac{1}{2}(x-1)]=\frac{2}{3}(x-1)$
去中括号，得
$\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)=\frac{2}{3}(x-1)$
移项、合并同类项，得
$-\frac{5}{12}(x-1)=-\frac{1}{2}$
系数化为1，得
$x-1=\frac{6}{5}$
$x=\frac{11}{5}$
(2) 原方程可化为：
$278(x-3)+463×2(x-3)-888×7(x-3)=0$
逆用分配律，得
$(278+463×2-888×7)(x-3)=0$
由于括号内的系数不为0，因此
$x-3=0$
解得
$x=3$
$\frac{1}{2}[(x-1)+1-\frac{1}{2}(x-1)]=\frac{2}{3}(x-1)$
去中括号，得
$\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)=\frac{2}{3}(x-1)$
移项、合并同类项，得
$-\frac{5}{12}(x-1)=-\frac{1}{2}$
系数化为1，得
$x-1=\frac{6}{5}$
$x=\frac{11}{5}$
(2) 原方程可化为：
$278(x-3)+463×2(x-3)-888×7(x-3)=0$
逆用分配律，得
$(278+463×2-888×7)(x-3)=0$
由于括号内的系数不为0，因此
$x-3=0$
解得
$x=3$
解析
【分析】
这两道题都是一元一次方程求解，若直接逐层去括号计算会比较繁琐，可通过观察方程结构特征，运用整体思想简化运算：(1)题左右两边都含有和$(x-1)$相关的项，可将$x$变形为$(x-1)+1$，把$(x-1)$看作整体合并同类项，减少计算量；(2)题中各项都可以转化为含$(x-3)$的因式，逆用乘法分配律提取公因式$(x-3)$，无需计算复杂的大数乘法即可快速求解。
【解析】
(1) 原方程可化为：
$\frac{1}{2}[(x-1)+1-\frac{1}{2}(x-1)]=\frac{2}{3}(x-1)$
去中括号，得
$\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)=\frac{2}{3}(x-1)$
移项、合并同类项，得
$-\frac{5}{12}(x-1)=-\frac{1}{2}$
系数化为1，得
$x-1=\frac{6}{5}$
$x=\frac{11}{5}$
(2) 原方程可化为：
$278(x-3)+463×2(x-3)-888×7(x-3)=0$
逆用分配律，得
$(278+463×2-888×7)(x-3)=0$
由于括号内的系数不为0，因此
$x-3=0$
解得
$x=3$
【答案】
(1)$x=\frac{11}{5}$；(2)$x=3$
【知识点】
一元一次方程的解法、整体思想、乘法分配律逆用
【点评】
这两道题属于一元一次方程的巧算类题型，解题核心是通过观察方程结构，运用整体思想简化运算流程，避免了繁琐的多层去括号和大数计算，能有效提升解题效率和正确率，平时解方程时要养成先观察方程特征再选择解法的习惯。
【难度系数】
0.6
这两道题都是一元一次方程求解，若直接逐层去括号计算会比较繁琐，可通过观察方程结构特征，运用整体思想简化运算：(1)题左右两边都含有和$(x-1)$相关的项，可将$x$变形为$(x-1)+1$，把$(x-1)$看作整体合并同类项，减少计算量；(2)题中各项都可以转化为含$(x-3)$的因式，逆用乘法分配律提取公因式$(x-3)$，无需计算复杂的大数乘法即可快速求解。
【解析】
(1) 原方程可化为：
$\frac{1}{2}[(x-1)+1-\frac{1}{2}(x-1)]=\frac{2}{3}(x-1)$
去中括号，得
$\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)=\frac{2}{3}(x-1)$
移项、合并同类项，得
$-\frac{5}{12}(x-1)=-\frac{1}{2}$
系数化为1，得
$x-1=\frac{6}{5}$
$x=\frac{11}{5}$
(2) 原方程可化为：
$278(x-3)+463×2(x-3)-888×7(x-3)=0$
逆用分配律，得
$(278+463×2-888×7)(x-3)=0$
由于括号内的系数不为0，因此
$x-3=0$
解得
$x=3$
【答案】
(1)$x=\frac{11}{5}$；(2)$x=3$
【知识点】
一元一次方程的解法、整体思想、乘法分配律逆用
【点评】
这两道题属于一元一次方程的巧算类题型，解题核心是通过观察方程结构，运用整体思想简化运算流程，避免了繁琐的多层去括号和大数计算，能有效提升解题效率和正确率，平时解方程时要养成先观察方程特征再选择解法的习惯。
【难度系数】
0.6
1.已知关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x + 3 = 2x + b$的解为$x=-3$，那么关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y+1)+3=2(y+1)+b$的解为（）
A.$y=1$
B.$y=-1$
C.$y=-3$
D.$y=-4$
A.$y=1$
B.$y=-1$
C.$y=-3$
D.$y=-4$
答案
D
解析
【分析】
我们观察到两个一元一次方程的结构完全相同，第一个方程中未知数是x，第二个方程中把(y+1)看作整体的话，它的位置和第一个方程里x的位置完全一致。解题时优先用整体代换的思路：因为两个方程结构相同，且参数b相同，所以第二个方程里(y+1)的值就等于第一个方程的解x=-3，接下来只需要解y+1=-3就能得到y的值。如果想不到整体代换，也可以先把x=-3代入第一个方程求出b的值，再把b代入第二个方程解y，两种方法都可得到结果，整体代换更简便。
【解析】
方法一（整体代换法）：
观察两个方程的结构，可将第二个方程中的$y+1$看作一个整体，对比第一个方程$\frac{1}{2024}x + 3 = 2x + b$和第二个方程$\frac{1}{2024}(y+1)+3=2(y+1)+b$，可知$y+1$等价于第一个方程中的$x$。
已知第一个方程的解为$x=-3$，因此可得：
$y+1=-3$
移项解得：$y=-3-1=-4$
方法二（参数代入法）：
先把$x=-3$代入第一个方程求$b$：
$\frac{1}{2024}×(-3) + 3 = 2×(-3) + b$
计算得：$b = 9-\frac{3}{2024}$
把$b=9-\frac{3}{2024}$代入第二个方程：
$\frac{1}{2024}(y+1)+3=2(y+1)+9-\frac{3}{2024}$
移项合并同类项后两边同乘2024消去分母，最终也可解得$y=-4$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解，整体代入法，解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程的求解，通过观察两个方程的结构特征使用整体代换思想可以大幅简化计算，避免求解复杂的参数值，是解决此类同结构方程问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
我们观察到两个一元一次方程的结构完全相同，第一个方程中未知数是x，第二个方程中把(y+1)看作整体的话，它的位置和第一个方程里x的位置完全一致。解题时优先用整体代换的思路：因为两个方程结构相同，且参数b相同，所以第二个方程里(y+1)的值就等于第一个方程的解x=-3，接下来只需要解y+1=-3就能得到y的值。如果想不到整体代换，也可以先把x=-3代入第一个方程求出b的值，再把b代入第二个方程解y，两种方法都可得到结果，整体代换更简便。
【解析】
方法一（整体代换法）：
观察两个方程的结构，可将第二个方程中的$y+1$看作一个整体，对比第一个方程$\frac{1}{2024}x + 3 = 2x + b$和第二个方程$\frac{1}{2024}(y+1)+3=2(y+1)+b$，可知$y+1$等价于第一个方程中的$x$。
已知第一个方程的解为$x=-3$，因此可得：
$y+1=-3$
移项解得：$y=-3-1=-4$
方法二（参数代入法）：
先把$x=-3$代入第一个方程求$b$：
$\frac{1}{2024}×(-3) + 3 = 2×(-3) + b$
计算得：$b = 9-\frac{3}{2024}$
把$b=9-\frac{3}{2024}$代入第二个方程：
$\frac{1}{2024}(y+1)+3=2(y+1)+9-\frac{3}{2024}$
移项合并同类项后两边同乘2024消去分母，最终也可解得$y=-4$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解，整体代入法，解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程的求解，通过观察两个方程的结构特征使用整体代换思想可以大幅简化计算，避免求解复杂的参数值，是解决此类同结构方程问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
2. 在解方程 $3(x+2)-\frac{1}{3}(x-2)=2(x-2)-\frac{1}{2}(x+2)$时,可将$x+2,x-2$都看成整体进行移项、合并同类项,得$\frac{7}{2}(x+2)=\frac{7}{3}(x-2)$,再继续求解,这种方法叫整体求解法.请用这种方法解方程:
$5(4x+6)-\frac{3}{4}(x-1)=2(x-1)-\frac{1}{4}(4x+6).$
$5(4x+6)-\frac{3}{4}(x-1)=2(x-1)-\frac{1}{4}(4x+6).$
答案
解：
移项，得
$5(4x+6)+\frac{1}{4}(4x+6)=2(x-1)+\frac{3}{4}(x-1)$
合并同类项，得
$\frac{21}{4}(4x+6)=\frac{11}{4}(x-1)$
两边同时乘4，去分母，得
$21(4x+6)=11(x-1)$
去括号，得
$84x+126=11x-11$
移项，得
$84x-11x=-11-126$
合并同类项，得
$73x=-137$
系数化为1，得
$x=-\frac{137}{73}$
移项，得
$5(4x+6)+\frac{1}{4}(4x+6)=2(x-1)+\frac{3}{4}(x-1)$
合并同类项，得
$\frac{21}{4}(4x+6)=\frac{11}{4}(x-1)$
两边同时乘4，去分母，得
$21(4x+6)=11(x-1)$
去括号，得
$84x+126=11x-11$
移项，得
$84x-11x=-11-126$
合并同类项，得
$73x=-137$
系数化为1，得
$x=-\frac{137}{73}$
解析
【分析】
观察待解方程可发现，整式$4x+6$和$x-1$在方程中重复出现，符合整体求解法的使用条件。解题时先把$4x+6$、$x-1$分别看作整体，将含$4x+6$的项全部移到等号左侧，含$x-1$的项全部移到等号右侧，移项注意变号；接着合并同类项得到两个整体的倍数关系，再依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可，用整体法可避免一开始展开括号带来的复杂计算，降低出错率。
【解析】
移项，得
$5(4x+6)+\frac{1}{4}(4x+6)=2(x-1)+\frac{3}{4}(x-1)$
合并同类项，得
$\frac{21}{4}(4x+6)=\frac{11}{4}(x-1)$
两边同时乘4，去分母，得
$21(4x+6)=11(x-1)$
去括号，得
$84x+126=11x-11$
移项，得
$84x-11x=-11-126$
合并同类项，得
$73x=-137$
系数化为1，得
$x=-\frac{137}{73}$
【答案】
$x=-\dfrac{137}{73}$
【知识点】
解一元一次方程，整体思想，合并同类项
【点评】
本题利用整体求解法简化了解一元一次方程的计算步骤，解题关键是先识别出方程中重复出现的整式作为整体，再按照解一元一次方程的常规步骤逐步计算即可，能有效减少运算量，降低计算错误概率。
【难度系数】
0.7
观察待解方程可发现，整式$4x+6$和$x-1$在方程中重复出现，符合整体求解法的使用条件。解题时先把$4x+6$、$x-1$分别看作整体，将含$4x+6$的项全部移到等号左侧，含$x-1$的项全部移到等号右侧，移项注意变号；接着合并同类项得到两个整体的倍数关系，再依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可，用整体法可避免一开始展开括号带来的复杂计算，降低出错率。
【解析】
移项，得
$5(4x+6)+\frac{1}{4}(4x+6)=2(x-1)+\frac{3}{4}(x-1)$
合并同类项，得
$\frac{21}{4}(4x+6)=\frac{11}{4}(x-1)$
两边同时乘4，去分母，得
$21(4x+6)=11(x-1)$
去括号，得
$84x+126=11x-11$
移项，得
$84x-11x=-11-126$
合并同类项，得
$73x=-137$
系数化为1，得
$x=-\frac{137}{73}$
【答案】
$x=-\dfrac{137}{73}$
【知识点】
解一元一次方程，整体思想，合并同类项
【点评】
本题利用整体求解法简化了解一元一次方程的计算步骤，解题关键是先识别出方程中重复出现的整式作为整体，再按照解一元一次方程的常规步骤逐步计算即可，能有效减少运算量，降低计算错误概率。
【难度系数】
0.7
