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1.(1)解方程$\frac{x-3}{4}=\frac{x}{2}$，去分母，方程两边应同乘以；
(2)把方程$\frac{x+1}{2}-x=2-\frac{x-1}{3}$去分母化为。
(2)把方程$\frac{x+1}{2}-x=2-\frac{x-1}{3}$去分母化为。
答案
解：
(1) 方程$\frac{x-3}{4}=\frac{x}{2}$的分母分别为4和2，它们的最小公倍数是4，因此去分母时方程两边应同乘以$\boldsymbol{4}$；
(2) 方程$\frac{x+1}{2}-x=2-\frac{x-1}{3}$的分母分别为2和3，它们的最小公倍数是6，将方程两边同时乘以6，去分母后化为$\boldsymbol{3(x+1)-6x=12-2(x-1)}$。
(1) 方程$\frac{x-3}{4}=\frac{x}{2}$的分母分别为4和2，它们的最小公倍数是4，因此去分母时方程两边应同乘以$\boldsymbol{4}$；
(2) 方程$\frac{x+1}{2}-x=2-\frac{x-1}{3}$的分母分别为2和3，它们的最小公倍数是6，将方程两边同时乘以6，去分母后化为$\boldsymbol{3(x+1)-6x=12-2(x-1)}$。
解析
【分析】
解决去分母类问题的核心是依据等式的性质，找到所有分母的最小公倍数，将方程两边同时乘以这个最小公倍数即可消去分母，注意每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项。第(1)问先找两个分母4和2的最小公倍数，即可确定要乘的数；第(2)问先找分母2和3的最小公倍数，再将方程每一项都乘以这个公倍数，化简后得到去分母后的式子。
【解析】
(1) 方程$\frac{x-3}{4}=\frac{x}{2}$的分母分别是4和2，二者的最小公倍数是4，因此去分母时方程两边应同乘以4；
(2) 方程$\frac{x+1}{2}-x=2-\frac{x-1}{3}$的分母分别是2和3，二者的最小公倍数是6，将方程两边同时乘以6：左边$\frac{x+1}{2}×6 - x×6 = 3(x+1)-6x$，右边$2×6 - \frac{x-1}{3}×6 = 12 - 2(x-1)$，因此去分母后化为$3(x+1)-6x=12-2(x-1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{3(x+1)-6x=12-2(x-1)}$
【知识点】
1. 解一元一次方程去分母
2. 等式的基本性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考察去分母的操作规范，解题时需先准确计算各分母的最小公倍数，同时要注意不能漏乘不含分母的项，熟练掌握该知识点是后续正确求解一元一次方程的基础。
【难度系数】
0.8
解决去分母类问题的核心是依据等式的性质，找到所有分母的最小公倍数，将方程两边同时乘以这个最小公倍数即可消去分母，注意每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项。第(1)问先找两个分母4和2的最小公倍数，即可确定要乘的数；第(2)问先找分母2和3的最小公倍数，再将方程每一项都乘以这个公倍数，化简后得到去分母后的式子。
【解析】
(1) 方程$\frac{x-3}{4}=\frac{x}{2}$的分母分别是4和2，二者的最小公倍数是4，因此去分母时方程两边应同乘以4；
(2) 方程$\frac{x+1}{2}-x=2-\frac{x-1}{3}$的分母分别是2和3，二者的最小公倍数是6，将方程两边同时乘以6：左边$\frac{x+1}{2}×6 - x×6 = 3(x+1)-6x$，右边$2×6 - \frac{x-1}{3}×6 = 12 - 2(x-1)$，因此去分母后化为$3(x+1)-6x=12-2(x-1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{3(x+1)-6x=12-2(x-1)}$
【知识点】
1. 解一元一次方程去分母
2. 等式的基本性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考察去分母的操作规范，解题时需先准确计算各分母的最小公倍数，同时要注意不能漏乘不含分母的项，熟练掌握该知识点是后续正确求解一元一次方程的基础。
【难度系数】
0.8
2.把方程$\frac{x}{2} - \frac{x-2}{6}=1$去分母后正确的是（）
A.$3x - x + 2 = 1$
B.$3x - x - 2 = 1$
C.$3x - x - 2 = 6$
D.$3x - x + 2 = 6$
A.$3x - x + 2 = 1$
B.$3x - x - 2 = 1$
C.$3x - x - 2 = 6$
D.$3x - x + 2 = 6$
答案
D
解析
【分析】
要解决方程去分母的问题，首先回忆去分母的依据是等式的性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。解题步骤如下：①先找到两个分母2和6的最小公倍数，是6；②等式两边的每一项都要乘6，注意不能漏乘不含分母的常数项1；③分子是多项式$x-2$，乘完后要带上括号，再按去括号法则去掉括号，最后对比选项得到结果。
【解析】
方程$\frac{x}{2} - \frac{x-2}{6}=1$的分母为2和6，最小公倍数是6，将方程两边同时乘以6：
左边第一项：$\frac{x}{2} × 6 = 3x$
左边第二项：$-\frac{x-2}{6} × 6 = -(x-2)$
右边常数项：$1 × 6 = 6$
此时方程变为：$3x - (x - 2) = 6$
去括号，括号前是负号，括号内各项要变号：$3x - x + 2 = 6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质、去分母法则、去括号法则
【点评】
本题考查解一元一次方程中去分母的操作，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是分子为多项式时去括号未注意符号变化，解题时要牢记每一项都乘最小公分母，去括号时提前给多项式分子加括号规避符号错误。
【难度系数】
0.7
要解决方程去分母的问题，首先回忆去分母的依据是等式的性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。解题步骤如下：①先找到两个分母2和6的最小公倍数，是6；②等式两边的每一项都要乘6，注意不能漏乘不含分母的常数项1；③分子是多项式$x-2$，乘完后要带上括号，再按去括号法则去掉括号，最后对比选项得到结果。
【解析】
方程$\frac{x}{2} - \frac{x-2}{6}=1$的分母为2和6，最小公倍数是6，将方程两边同时乘以6：
左边第一项：$\frac{x}{2} × 6 = 3x$
左边第二项：$-\frac{x-2}{6} × 6 = -(x-2)$
右边常数项：$1 × 6 = 6$
此时方程变为：$3x - (x - 2) = 6$
去括号，括号前是负号，括号内各项要变号：$3x - x + 2 = 6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质、去分母法则、去括号法则
【点评】
本题考查解一元一次方程中去分母的操作，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是分子为多项式时去括号未注意符号变化，解题时要牢记每一项都乘最小公分母，去括号时提前给多项式分子加括号规避符号错误。
【难度系数】
0.7
3. 由$\frac{x}{0.1}+\frac{x+1}{0.2}=1$得$10x+5x+5=1$的变化依据是（）
A.移项
B.去分母
C.分数的基本性质
D.都不对
A.移项
B.去分母
C.分数的基本性质
D.都不对
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确各选项对应变形的定义，再结合题干变形过程逐一判断：先回忆移项、去分母、分数基本性质的概念，首先排除明显不符的移项；再区分去分母和分数基本性质的核心区别：去分母是对等式左右两边所有项同时乘同一个数，会改变等式中非分数项的大小，而分数的基本性质仅作用于单个分数，仅调整该分数的分子分母，不改变分数本身的大小，也不会影响等式其他项。观察题干变形，等式右侧的1没有发生变化，因此不是去分母，是利用分数的基本性质将小数分母转化为整数，由此得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：移项是指将方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，题干中没有移动项的操作，因此A错误。
2. 选项B：去分母的依据是等式的性质2，需要等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，若本题用去分母变形，等式两边应同时乘0.2，得到$2x + x + 1 = 0.2$，和题干给出的$10x+5x+5=1$不符，因此B错误。
3. 选项C：分数的基本性质为：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。题干变形过程如下：
$\frac{x}{0.1}=\frac{x×10}{0.1×10}=10x$，
$\frac{x+1}{0.2}=\frac{(x+1)×5}{0.2×5}=5x+5$，
这两步都是对单个分数利用分数的基本性质将分母化为整数，等式右侧的1没有参与运算，符合分数的基本性质，因此C正确。
4. 选项D：因为C正确，所以D错误。
【答案】
C
【知识点】
分数的基本性质；一元一次方程变形；等式的性质
【点评】
本题易错点是混淆去分母和利用分数基本性质化小数分母为整数的操作，要注意去分母是对等式所有项同时乘公倍数，会改变非分数项的大小，而化小数分母为整数仅调整单个分数的分子分母，不影响其他项的大小。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确各选项对应变形的定义，再结合题干变形过程逐一判断：先回忆移项、去分母、分数基本性质的概念，首先排除明显不符的移项；再区分去分母和分数基本性质的核心区别：去分母是对等式左右两边所有项同时乘同一个数，会改变等式中非分数项的大小，而分数的基本性质仅作用于单个分数，仅调整该分数的分子分母，不改变分数本身的大小，也不会影响等式其他项。观察题干变形，等式右侧的1没有发生变化，因此不是去分母，是利用分数的基本性质将小数分母转化为整数，由此得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：移项是指将方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，题干中没有移动项的操作，因此A错误。
2. 选项B：去分母的依据是等式的性质2，需要等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，若本题用去分母变形，等式两边应同时乘0.2，得到$2x + x + 1 = 0.2$，和题干给出的$10x+5x+5=1$不符，因此B错误。
3. 选项C：分数的基本性质为：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。题干变形过程如下：
$\frac{x}{0.1}=\frac{x×10}{0.1×10}=10x$，
$\frac{x+1}{0.2}=\frac{(x+1)×5}{0.2×5}=5x+5$，
这两步都是对单个分数利用分数的基本性质将分母化为整数，等式右侧的1没有参与运算，符合分数的基本性质，因此C正确。
4. 选项D：因为C正确，所以D错误。
【答案】
C
【知识点】
分数的基本性质；一元一次方程变形；等式的性质
【点评】
本题易错点是混淆去分母和利用分数基本性质化小数分母为整数的操作，要注意去分母是对等式所有项同时乘公倍数，会改变非分数项的大小，而化小数分母为整数仅调整单个分数的分子分母，不影响其他项的大小。
【难度系数】
0.7
4.若代数式$4x - 5$与$\dfrac{2x - 1}{2}$的值相等，则$x$的值是（）
A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.2
A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.2
答案
B
解析
【分析】
本题要求x的值，首先根据“两个代数式的值相等”这一关键条件建立等量关系，列出一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解即可，解题时注意去分母不要漏乘不含分母的项，移项要记得变号。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$\displaystyle 4x - 5 = \frac{2x - 1}{2}$
去分母，方程两边同时乘以2，得：
$2(4x - 5) = 2x - 1$
去括号，得：
$8x - 10 = 2x - 1$
移项，得：
$8x - 2x = -1 + 10$
合并同类项，得：
$6x = 9$
系数化为1，得：
$\displaystyle x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用类题目，核心是抓住等量关系准确列方程，解题时要规范解方程的步骤，注意规避去分母漏乘常数项、移项不变号等常见错误。
【难度系数】
0.8
本题要求x的值，首先根据“两个代数式的值相等”这一关键条件建立等量关系，列出一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解即可，解题时注意去分母不要漏乘不含分母的项，移项要记得变号。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$\displaystyle 4x - 5 = \frac{2x - 1}{2}$
去分母，方程两边同时乘以2，得：
$2(4x - 5) = 2x - 1$
去括号，得：
$8x - 10 = 2x - 1$
移项，得：
$8x - 2x = -1 + 10$
合并同类项，得：
$6x = 9$
系数化为1，得：
$\displaystyle x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用类题目，核心是抓住等量关系准确列方程，解题时要规范解方程的步骤，注意规避去分母漏乘常数项、移项不变号等常见错误。
【难度系数】
0.8
5.书上有一道题：$\frac{11+x}{3}+1=□ -x$，$□$处在印刷时被油墨盖住了，查看后面的答案得知这个方程的解是$x=-2$，那么$□$处应该是（）
A.2
B.$-5$
C.$5$
D.$-2$
A.2
B.$-5$
C.$5$
D.$-2$
答案
A
解析
【分析】
已知方程的解是$x=-2$，根据一元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以把$x=-2$代入原方程，将被油墨盖住的$□$看作未知量，解关于这个未知量的一元一次方程，就能求出$□$代表的数。
【解析】
设$□$处的数为$a$，将$x=-2$代入原方程，可得：
$\frac{11+(-2)}{3} + 1 = a - (-2)$
先计算方程左边：$\frac{9}{3}+1=3+1=4$
方程右边化简为：$a + 2$
因此得到新方程：$4 = a + 2$
解得：$a = 4 - 2 = 2$
所以$□$处的数是2。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题考查根据方程的解求方程中的未知参数，解题关键是理解方程解的定义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
已知方程的解是$x=-2$，根据一元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以把$x=-2$代入原方程，将被油墨盖住的$□$看作未知量，解关于这个未知量的一元一次方程，就能求出$□$代表的数。
【解析】
设$□$处的数为$a$，将$x=-2$代入原方程，可得：
$\frac{11+(-2)}{3} + 1 = a - (-2)$
先计算方程左边：$\frac{9}{3}+1=3+1=4$
方程右边化简为：$a + 2$
因此得到新方程：$4 = a + 2$
解得：$a = 4 - 2 = 2$
所以$□$处的数是2。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题考查根据方程的解求方程中的未知参数，解题关键是理解方程解的定义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
6. 下列方程的解法中,错误的个数是()
①方程$2x - 1 = x + 1$移项,得$3x = 0$;
②方程$\frac{x - 1}{3} = 1$去分母,得$x - 1 = 3$;
③方程$1 - \frac{x - 2}{4} = \frac{x - 1}{2}$去分母,得$4 - x - 2 = 2(x - 1)$;
④方程$\frac{x - 1}{0.5} + \frac{2 - x}{0.2} = 1$去分母,得$2x - 2 + 10 - 5x = 1$.
A.1
B.2
C.3
D.4
①方程$2x - 1 = x + 1$移项,得$3x = 0$;
②方程$\frac{x - 1}{3} = 1$去分母,得$x - 1 = 3$;
③方程$1 - \frac{x - 2}{4} = \frac{x - 1}{2}$去分母,得$4 - x - 2 = 2(x - 1)$;
④方程$\frac{x - 1}{0.5} + \frac{2 - x}{0.2} = 1$去分母,得$2x - 2 + 10 - 5x = 1$.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
本题需要逐个判断4个一元一次方程的变形是否正确，核心是掌握移项、去分母的运算规则：移项要改变符号；去分母时等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，分子是多项式时要注意带括号，去括号时要正确处理符号，分母为小数时可利用分数的基本性质变形，逐一排查即可得到错误的个数。
【解析】
我们逐个分析每个解法的正误：
① 方程$2x - 1 = x + 1$移项，应将含x的项移到左边，常数项移到右边，得$2x - x = 1 + 1$，即$x=2$，题中移项未正确变号且运算错误，故①错误；
② 方程$\frac{x - 1}{3} = 1$去分母，等式两边同时乘3，得$x - 1 = 3$，变形正确，故②正确；
③ 方程$1 - \frac{x - 2}{4} = \frac{x - 1}{2}$去分母，等式两边同时乘4，每一项都要乘4，得$4 - (x - 2) = 2(x - 1)$，去括号后为$4 - x + 2 = 2(x - 1)$，题中去括号时未给括号内的$-2$变号，故③错误；
④ 方程$\frac{x - 1}{0.5} + \frac{2 - x}{0.2} = 1$，利用分数的基本性质，$\frac{x-1}{0.5}$分子分母同乘2得$2x-2$，$\frac{2-x}{0.2}$分子分母同乘5得$10-5x$，等式右边的1不变，变形后得$2x - 2 + 10 - 5x = 1$，故④正确。
综上，错误的是①和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次方程；移项法则；去分母法则
【点评】
本题重点考查解一元一次方程过程中的常见易错点，包括移项符号错误、去括号时符号处理错误、去分母漏乘项等，熟练掌握解方程的步骤和每一步的注意事项是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
本题需要逐个判断4个一元一次方程的变形是否正确，核心是掌握移项、去分母的运算规则：移项要改变符号；去分母时等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，分子是多项式时要注意带括号，去括号时要正确处理符号，分母为小数时可利用分数的基本性质变形，逐一排查即可得到错误的个数。
【解析】
我们逐个分析每个解法的正误：
① 方程$2x - 1 = x + 1$移项，应将含x的项移到左边，常数项移到右边，得$2x - x = 1 + 1$，即$x=2$，题中移项未正确变号且运算错误，故①错误；
② 方程$\frac{x - 1}{3} = 1$去分母，等式两边同时乘3，得$x - 1 = 3$，变形正确，故②正确；
③ 方程$1 - \frac{x - 2}{4} = \frac{x - 1}{2}$去分母，等式两边同时乘4，每一项都要乘4，得$4 - (x - 2) = 2(x - 1)$，去括号后为$4 - x + 2 = 2(x - 1)$，题中去括号时未给括号内的$-2$变号，故③错误；
④ 方程$\frac{x - 1}{0.5} + \frac{2 - x}{0.2} = 1$，利用分数的基本性质，$\frac{x-1}{0.5}$分子分母同乘2得$2x-2$，$\frac{2-x}{0.2}$分子分母同乘5得$10-5x$，等式右边的1不变，变形后得$2x - 2 + 10 - 5x = 1$，故④正确。
综上，错误的是①和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次方程；移项法则；去分母法则
【点评】
本题重点考查解一元一次方程过程中的常见易错点，包括移项符号错误、去括号时符号处理错误、去分母漏乘项等，熟练掌握解方程的步骤和每一步的注意事项是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
7.若$x=3$是方程$\frac{ax - b}{2}=2a-\frac{b - 2x}{3}$的解，用含$b$的代数式表示$a$，则$a$等于（）
A.$\frac{1}{7}b+\frac{12}{7}$
B.$-\frac{1}{3}b-4$
C.$-\frac{b}{9}-\frac{4}{3}$
D.$\frac{1}{7}b-\frac{2}{7}$
A.$\frac{1}{7}b+\frac{12}{7}$
B.$-\frac{1}{3}b-4$
C.$-\frac{b}{9}-\frac{4}{3}$
D.$\frac{1}{7}b-\frac{2}{7}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用方程解的定义：方程的解代入原方程可使等式成立，因此先把x=3代入原方程，得到只含有a和b的等式，再将a看作未知数、b看作常数，按照解一元一次方程的步骤化简，最终用含b的代数式表示出a即可。解题时要注意去分母不要漏乘不含分母的项，移项要变号，避免计算错误。
【解析】
∵$x=3$是方程$\frac{ax - b}{2}=2a-\frac{b - 2x}{3}$的解，
∴将$x=3$代入原方程，得：
$\frac{3a - b}{2}=2a-\frac{b - 6}{3}$
去分母，两边同时乘6，得：
$3(3a - b)=12a - 2(b - 6)$
去括号，得：
$9a - 3b=12a - 2b + 12$
移项，得：
$9a - 12a=3b - 2b + 12$
合并同类项，得：
$-3a=b + 12$
系数化为1，得：
$a=-\frac{1}{3}b - 4$
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题核心是方程解的应用，解题关键是准确代入x的值后规范解一元一次方程，易错点为去分母漏乘常数项、移项未变号，解题时需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用方程解的定义：方程的解代入原方程可使等式成立，因此先把x=3代入原方程，得到只含有a和b的等式，再将a看作未知数、b看作常数，按照解一元一次方程的步骤化简，最终用含b的代数式表示出a即可。解题时要注意去分母不要漏乘不含分母的项，移项要变号，避免计算错误。
【解析】
∵$x=3$是方程$\frac{ax - b}{2}=2a-\frac{b - 2x}{3}$的解，
∴将$x=3$代入原方程，得：
$\frac{3a - b}{2}=2a-\frac{b - 6}{3}$
去分母，两边同时乘6，得：
$3(3a - b)=12a - 2(b - 6)$
去括号，得：
$9a - 3b=12a - 2b + 12$
移项，得：
$9a - 12a=3b - 2b + 12$
合并同类项，得：
$-3a=b + 12$
系数化为1，得：
$a=-\frac{1}{3}b - 4$
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题核心是方程解的应用，解题关键是准确代入x的值后规范解一元一次方程，易错点为去分母漏乘常数项、移项未变号，解题时需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
