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例1 判断下列各式是不是单项式，说明理由.
$10x$，$-3ab$，$-\dfrac{1}{2}x^2$，$m+1$，$8$，$a$.
【思路导析】由单项式的定义“数或字母的积”判断解答，单独一个数或一个字母也是单项式.
【请你解答】
$10x$，$-3ab$，$-\dfrac{1}{2}x^2$，$m+1$，$8$，$a$.
【思路导析】由单项式的定义“数或字母的积”判断解答，单独一个数或一个字母也是单项式.
【请你解答】
答案
解：
$10x$是单项式，理由：它是数10与字母$x$的积，符合单项式的定义。
$-3ab$是单项式，理由：它是数$-3$与字母$a$、$b$的积，符合单项式的定义。
$-\dfrac{1}{2}x^2$是单项式，理由：它是数$-\dfrac{1}{2}$与字母$x^2$的积，符合单项式的定义。
$m+1$不是单项式，理由：它是字母$m$与数1的和，不是数或字母的积的形式，不符合单项式的定义。
$8$是单项式，理由：单独的一个数是单项式。
$a$是单项式，理由：单独的一个字母是单项式。
$10x$是单项式，理由：它是数10与字母$x$的积，符合单项式的定义。
$-3ab$是单项式，理由：它是数$-3$与字母$a$、$b$的积，符合单项式的定义。
$-\dfrac{1}{2}x^2$是单项式，理由：它是数$-\dfrac{1}{2}$与字母$x^2$的积，符合单项式的定义。
$m+1$不是单项式，理由：它是字母$m$与数1的和，不是数或字母的积的形式，不符合单项式的定义。
$8$是单项式，理由：单独的一个数是单项式。
$a$是单项式，理由：单独的一个字母是单项式。
解析
【分析】
解决本题首先要牢记单项式的判定标准：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或者一个字母也属于单项式，且单项式中不含加减运算。解题时只需将每个给出的式子与上述判定规则逐一对照，即可判断是否为单项式并说明对应理由。
【解析】
$10x$是单项式，理由：它是数10与字母$x$的积，符合单项式的定义。
$-3ab$是单项式，理由：它是数$-3$与字母$a$、$b$的积，符合单项式的定义。
$-\dfrac{1}{2}x^2$是单项式，理由：它是数$-\dfrac{1}{2}$与字母$x^2$的积，符合单项式的定义。
$m+1$不是单项式，理由：它是字母$m$与数1的和，不是数或字母的积的形式，不符合单项式的定义。
$8$是单项式，理由：单独的一个数是单项式。
$a$是单项式，理由：单独的一个字母是单项式。
【答案】
$10x$、$-3ab$、$-\dfrac{1}{2}x^2$、$8$、$a$是单项式，$m+1$不是单项式，理由见解析。
【知识点】
单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确掌握单项式的定义，特别注意单独的数或字母也属于单项式，含加减运算的代数式一定不是单项式，避免概念混淆即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要牢记单项式的判定标准：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或者一个字母也属于单项式，且单项式中不含加减运算。解题时只需将每个给出的式子与上述判定规则逐一对照，即可判断是否为单项式并说明对应理由。
【解析】
$10x$是单项式，理由：它是数10与字母$x$的积，符合单项式的定义。
$-3ab$是单项式，理由：它是数$-3$与字母$a$、$b$的积，符合单项式的定义。
$-\dfrac{1}{2}x^2$是单项式，理由：它是数$-\dfrac{1}{2}$与字母$x^2$的积，符合单项式的定义。
$m+1$不是单项式，理由：它是字母$m$与数1的和，不是数或字母的积的形式，不符合单项式的定义。
$8$是单项式，理由：单独的一个数是单项式。
$a$是单项式，理由：单独的一个字母是单项式。
【答案】
$10x$、$-3ab$、$-\dfrac{1}{2}x^2$、$8$、$a$是单项式，$m+1$不是单项式，理由见解析。
【知识点】
单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确掌握单项式的定义，特别注意单独的数或字母也属于单项式，含加减运算的代数式一定不是单项式，避免概念混淆即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
例2 写出单项式$12a^2b, -x, -\frac{4}{3}m$的系数。
【思路导析】单项式中的数字因数就是单项式的系数。
【请你解答】
【思路导析】单项式中的数字因数就是单项式的系数。
【请你解答】
答案
解：
单项式$12a^2b$的数字因数是12，因此它的系数是12；
单项式$-x$的数字因数是$-1$，因此它的系数是$-1$；
单项式$-\frac{4}{3}m$的数字因数是$-\frac{4}{3}$，因此它的系数是$-\frac{4}{3}$。
单项式$12a^2b$的数字因数是12，因此它的系数是12；
单项式$-x$的数字因数是$-1$，因此它的系数是$-1$；
单项式$-\frac{4}{3}m$的数字因数是$-\frac{4}{3}$，因此它的系数是$-\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
要确定单项式的系数，首先需明确单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。解题时分别提取每个单项式中只含数字的部分即可，注意要保留数字的符号：一是对于明确带有数字前缀的单项式，直接提取数字部分，不要包含字母；二是对于仅含字母的单项式，要注意省略的数字1或-1，需还原后再确定系数。
【解析】
根据单项式系数的定义逐个判断：
单项式$12a^2b$的数字因数是12，因此它的系数是12；
单项式$-x$可以看作$-1· x$，数字因数是$-1$，因此它的系数是$-1$；
单项式$-\frac{4}{3}m$的数字因数是$-\frac{4}{3}$，因此它的系数是$-\frac{4}{3}$。
【答案】
$12a^2b$的系数是12；$-x$的系数是$-1$；$-\frac{4}{3}m$的系数是$-\frac{4}{3}$
【知识点】
单项式的系数
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是准确理解单项式系数的定义，尤其要注意单项式前的负号属于系数的一部分，仅含字母的单项式中省略的±1不要遗漏。
【难度系数】
0.85
要确定单项式的系数，首先需明确单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。解题时分别提取每个单项式中只含数字的部分即可，注意要保留数字的符号：一是对于明确带有数字前缀的单项式，直接提取数字部分，不要包含字母；二是对于仅含字母的单项式，要注意省略的数字1或-1，需还原后再确定系数。
【解析】
根据单项式系数的定义逐个判断：
单项式$12a^2b$的数字因数是12，因此它的系数是12；
单项式$-x$可以看作$-1· x$，数字因数是$-1$，因此它的系数是$-1$；
单项式$-\frac{4}{3}m$的数字因数是$-\frac{4}{3}$，因此它的系数是$-\frac{4}{3}$。
【答案】
$12a^2b$的系数是12；$-x$的系数是$-1$；$-\frac{4}{3}m$的系数是$-\frac{4}{3}$
【知识点】
单项式的系数
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是准确理解单项式系数的定义，尤其要注意单项式前的负号属于系数的一部分，仅含字母的单项式中省略的±1不要遗漏。
【难度系数】
0.85
例3 单项式$2π ab^2$的次数是()
A.5
B.4
C.3
D.2
【思路导析】π是数字不是字母。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A.5
B.4
C.3
D.2
【思路导析】π是数字不是字母。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的计算规则：一个单项式的次数是它所含所有字母的指数的和。其次要注意特殊常数π的属性，π是圆周率，属于固定数值，不是字母，计算次数时不需要将其计入。接下来只需要找出$2π ab^2$中的所有字母，分别统计它们的指数后求和即可得到结果。
【解析】
解：根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数的和为单项式的次数。
在单项式$2π ab^2$中，$π$是常数，不属于字母，所含字母为$a$和$b$：
$a$的指数是1，$b$的指数是2，
因此该单项式的次数为$1+2=3$。
【答案】
C
【知识点】
1.单项式的次数定义
2.常数与字母的区分
【点评】
本题属于基础概念题，核心易错点是容易误将π当作字母参与次数计算，掌握单项式次数的计算规则、明确π是常数即可正确解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的计算规则：一个单项式的次数是它所含所有字母的指数的和。其次要注意特殊常数π的属性，π是圆周率，属于固定数值，不是字母，计算次数时不需要将其计入。接下来只需要找出$2π ab^2$中的所有字母，分别统计它们的指数后求和即可得到结果。
【解析】
解：根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数的和为单项式的次数。
在单项式$2π ab^2$中，$π$是常数，不属于字母，所含字母为$a$和$b$：
$a$的指数是1，$b$的指数是2，
因此该单项式的次数为$1+2=3$。
【答案】
C
【知识点】
1.单项式的次数定义
2.常数与字母的区分
【点评】
本题属于基础概念题，核心易错点是容易误将π当作字母参与次数计算，掌握单项式次数的计算规则、明确π是常数即可正确解答。
【难度系数】
0.7
例4 列出单项式，并指出它们的系数和次数。
(1)某班的总人数为$m$人，女生人数是男生人数的$\frac{3}{5}$，那么该班的男生人数为多少？
(2)长方形的长为$x$，宽为$y$，则长方形的面积为多少？
(3)一台彩电的原价为$a$元，现按原价的九折出售，那么这台彩电现在的售价为多少？
【思路导析】由题意列出式子时，关键是弄清题意，了解其中的数量关系。然后利用单项式的有关概念，指出其系数和次数。
【规范解答】(1)男生人数为$\frac{5}{8}m$，系数是$\frac{5}{8}$，次数是1。
(2)长方形面积为$xy$，系数是1，次数是2。
(3)这台彩电现在的售价为$0.9a$，系数是0.9，次数是1。
(1)某班的总人数为$m$人，女生人数是男生人数的$\frac{3}{5}$，那么该班的男生人数为多少？
(2)长方形的长为$x$，宽为$y$，则长方形的面积为多少？
(3)一台彩电的原价为$a$元，现按原价的九折出售，那么这台彩电现在的售价为多少？
【思路导析】由题意列出式子时，关键是弄清题意，了解其中的数量关系。然后利用单项式的有关概念，指出其系数和次数。
【规范解答】(1)男生人数为$\frac{5}{8}m$，系数是$\frac{5}{8}$，次数是1。
(2)长方形面积为$xy$，系数是1，次数是2。
(3)这台彩电现在的售价为$0.9a$，系数是0.9，次数是1。
答案
解：
(1) 把男生人数看作单位1，则总人数是男生人数的$1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$，可得男生人数为$\frac{5}{8}m$。
该单项式的系数是$\frac{5}{8}$，次数是1。
(2) 根据长方形面积公式，可得长方形的面积为$xy$。
该单项式的系数是1，次数是2。
(3) 按原价九折出售，可得这台彩电现在的售价为$0.9a$。
该单项式的系数是0.9，次数是1。
(1) 把男生人数看作单位1，则总人数是男生人数的$1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$，可得男生人数为$\frac{5}{8}m$。
该单项式的系数是$\frac{5}{8}$，次数是1。
(2) 根据长方形面积公式，可得长方形的面积为$xy$。
该单项式的系数是1，次数是2。
(3) 按原价九折出售，可得这台彩电现在的售价为$0.9a$。
该单项式的系数是0.9，次数是1。
解析
【分析】
解题分两步完成：首先结合每道小题的实际数量关系列出对应的代数式：(1)先明确总人数与男生人数的占比关系，推导男生人数的表达式；(2)直接套用长方形面积公式列式；(3)结合打折的含义列出售价表达式。再根据单项式的相关概念，按照“单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和”的规则，分别确定每个单项式的系数和次数即可。
【解析】
(1) 把男生人数看作单位“1”，则总人数是男生人数的$1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$，因此男生人数为$m÷\frac{8}{5}=\frac{5}{8}m$。该单项式的数字因数是$\frac{5}{8}$，即系数为$\frac{5}{8}$；仅含字母$m$，指数为1，即次数为1。
(2) 根据长方形面积=长×宽，可得长方形的面积为$x× y=xy$。该单项式的数字因数是1（省略不写），即系数为1；含字母$x$和$y$，指数均为1，总次数为$1+1=2$。
(3) 按原价的九折出售即售价为原价的0.9倍，因此这台彩电现在的售价为$0.9× a=0.9a$。该单项式的数字因数是0.9，即系数为0.9；仅含字母$a$，指数为1，即次数为1。
【答案】
(1) 单项式为$\frac{5}{8}m$，系数是$\frac{5}{8}$，次数是1；
(2) 单项式为$xy$，系数是1，次数是2；
(3) 单项式为$0.9a$，系数是0.9，次数是1。
【知识点】
列代数式，单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题结合生活实际场景考查列式能力和单项式相关基础概念，核心是理清数量关系，准确把握单项式系数和次数的定义，注意不要忽略系数为1的隐藏情况，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
解题分两步完成：首先结合每道小题的实际数量关系列出对应的代数式：(1)先明确总人数与男生人数的占比关系，推导男生人数的表达式；(2)直接套用长方形面积公式列式；(3)结合打折的含义列出售价表达式。再根据单项式的相关概念，按照“单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和”的规则，分别确定每个单项式的系数和次数即可。
【解析】
(1) 把男生人数看作单位“1”，则总人数是男生人数的$1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$，因此男生人数为$m÷\frac{8}{5}=\frac{5}{8}m$。该单项式的数字因数是$\frac{5}{8}$，即系数为$\frac{5}{8}$；仅含字母$m$，指数为1，即次数为1。
(2) 根据长方形面积=长×宽，可得长方形的面积为$x× y=xy$。该单项式的数字因数是1（省略不写），即系数为1；含字母$x$和$y$，指数均为1，总次数为$1+1=2$。
(3) 按原价的九折出售即售价为原价的0.9倍，因此这台彩电现在的售价为$0.9× a=0.9a$。该单项式的数字因数是0.9，即系数为0.9；仅含字母$a$，指数为1，即次数为1。
【答案】
(1) 单项式为$\frac{5}{8}m$，系数是$\frac{5}{8}$，次数是1；
(2) 单项式为$xy$，系数是1，次数是2；
(3) 单项式为$0.9a$，系数是0.9，次数是1。
【知识点】
列代数式，单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题结合生活实际场景考查列式能力和单项式相关基础概念，核心是理清数量关系，准确把握单项式系数和次数的定义，注意不要忽略系数为1的隐藏情况，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
