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10.张华家自建楼房,设计的窗户形状如图所示,其上部是一个半圆形,下部的两扇门是大小一样的两个小长方形,且每扇门的长为x(m),宽为y(m),窗框和门框都是铝合金材料(图中实线部分),窗户全部装玻璃(图中空白部分,本题中π取3).
(1)用含x,y的式子表示:制作这扇窗户总共需要铝合金材料的长$L=$m,这扇窗户的采光面积$S=$m²(窗框和门框忽略不计);
(2)为了使窗户看起来比较美观,窗户的总宽度与总高度的比值设计成0.6.若窗户的总宽度为1.2 m,求$L$和$S$的值.
(1)用含x,y的式子表示:制作这扇窗户总共需要铝合金材料的长$L=$m,这扇窗户的采光面积$S=$m²(窗框和门框忽略不计);
(2)为了使窗户看起来比较美观,窗户的总宽度与总高度的比值设计成0.6.若窗户的总宽度为1.2 m,求$L$和$S$的值.
答案
解：
(1) 上部半圆弧长为$\frac{1}{2} × 3 × 2y = 3y$，下部竖边总长度为$3x$，下部横边总长度为$2y + 2y = 4y$，因此$L=3x+7y$；
两个小长方形面积和为$2xy$，上部半圆面积为$\frac{1}{2} × 3 × y^2 = \frac{3}{2}y^2$，因此$S=2xy+\frac{3}{2}y^2$。
(2) 由题意得窗户总宽度$2y=1.2$，解得$y=0.6$。
因为总宽度与总高度的比值为0.6，所以总高度为$1.2 ÷ 0.6 = 2(\mathrm{m})$。
又窗户总高度为$x+y$，因此$x + y = 2$，代入$y=0.6$得$x=1.4$。
将$x=1.4$，$y=0.6$代入$L=3x+7y$：
$L=3×1.4 + 7×0.6 = 8.4(\mathrm{m})$
将$x=1.4$，$y=0.6$代入$S=2xy+\frac{3}{2}y^2$：
$S=2×1.4×0.6 + \frac{3}{2}×0.6^2 = 2.22(\mathrm{m}^2)$
答：$L$的值为$8.4\ \mathrm{m}$，$S$的值为$2.22\ \mathrm{m}^2$。
(1) 上部半圆弧长为$\frac{1}{2} × 3 × 2y = 3y$，下部竖边总长度为$3x$，下部横边总长度为$2y + 2y = 4y$，因此$L=3x+7y$；
两个小长方形面积和为$2xy$，上部半圆面积为$\frac{1}{2} × 3 × y^2 = \frac{3}{2}y^2$，因此$S=2xy+\frac{3}{2}y^2$。
(2) 由题意得窗户总宽度$2y=1.2$，解得$y=0.6$。
因为总宽度与总高度的比值为0.6，所以总高度为$1.2 ÷ 0.6 = 2(\mathrm{m})$。
又窗户总高度为$x+y$，因此$x + y = 2$，代入$y=0.6$得$x=1.4$。
将$x=1.4$，$y=0.6$代入$L=3x+7y$：
$L=3×1.4 + 7×0.6 = 8.4(\mathrm{m})$
将$x=1.4$，$y=0.6$代入$S=2xy+\frac{3}{2}y^2$：
$S=2×1.4×0.6 + \frac{3}{2}×0.6^2 = 2.22(\mathrm{m}^2)$
答：$L$的值为$8.4\ \mathrm{m}$，$S$的值为$2.22\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 求铝合金总长L，需计算图中所有实线的长度和：先算上部半圆弧的长度，半圆直径为2y，半径为y，半圆弧长为πy（π取3）；再统计下半部分的边：竖边共3条，每条长x，横边共2条，每条长2y，将所有长度相加即可得到L的表达式。求采光面积S，需分别计算下部两个小长方形的总面积和上部半圆的面积，再求和即可。
(2) 先根据总宽度2y=1.2m求出y的值；再由总宽度与总高度的比值为0.6求出总高度，结合总高度等于x+y的关系求出x的值；最后将x、y代入(1)中得到的L和S的表达式计算即可。
【解析】
(1) 上部半圆弧长：$\frac{1}{2} × 3 × 2y = 3y$
下半部分竖边总长度：$3x$
下半部分横边总长度：$2y + 2y = 4y$
因此铝合金总长$L=3y + 3x + 4y = 3x+7y$
下部两个小长方形面积和：$2 × x × y = 2xy$
上部半圆面积：$\frac{1}{2} × 3 × y^2 = \frac{3}{2}y^2$
因此采光面积$S=2xy+\frac{3}{2}y^2$
(2) 由题意得窗户总宽度$2y=1.2$，解得$y=0.6$
因为总宽度与总高度的比值为0.6，所以总高度为$1.2 ÷ 0.6 = 2(\mathrm{m})$
又窗户总高度为$x+y$，因此$x + 0.6 = 2$，解得$x=1.4$
将$x=1.4$，$y=0.6$代入$L=3x+7y$：
$L=3×1.4 + 7×0.6 = 4.2 + 4.2 = 8.4(\mathrm{m})$
将$x=1.4$，$y=0.6$代入$S=2xy+\frac{3}{2}y^2$：
$S=2×1.4×0.6 + \frac{3}{2}×0.6^2 = 1.68 + 0.54 = 2.22(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $3x+7y$；$2xy+\frac{3}{2}y^2$
(2) $L$的值为$8.4\ \mathrm{m}$，$S$的值为$2.22\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；图形周长面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了对平面图形周长、面积计算公式的掌握，也考查了列代数式和代入求值的能力，解题时需注意仔细数清窗框的边数，理清各数量之间的对应关系，避免漏算。
【难度系数】
0.7
(1) 求铝合金总长L，需计算图中所有实线的长度和：先算上部半圆弧的长度，半圆直径为2y，半径为y，半圆弧长为πy（π取3）；再统计下半部分的边：竖边共3条，每条长x，横边共2条，每条长2y，将所有长度相加即可得到L的表达式。求采光面积S，需分别计算下部两个小长方形的总面积和上部半圆的面积，再求和即可。
(2) 先根据总宽度2y=1.2m求出y的值；再由总宽度与总高度的比值为0.6求出总高度，结合总高度等于x+y的关系求出x的值；最后将x、y代入(1)中得到的L和S的表达式计算即可。
【解析】
(1) 上部半圆弧长：$\frac{1}{2} × 3 × 2y = 3y$
下半部分竖边总长度：$3x$
下半部分横边总长度：$2y + 2y = 4y$
因此铝合金总长$L=3y + 3x + 4y = 3x+7y$
下部两个小长方形面积和：$2 × x × y = 2xy$
上部半圆面积：$\frac{1}{2} × 3 × y^2 = \frac{3}{2}y^2$
因此采光面积$S=2xy+\frac{3}{2}y^2$
(2) 由题意得窗户总宽度$2y=1.2$，解得$y=0.6$
因为总宽度与总高度的比值为0.6，所以总高度为$1.2 ÷ 0.6 = 2(\mathrm{m})$
又窗户总高度为$x+y$，因此$x + 0.6 = 2$，解得$x=1.4$
将$x=1.4$，$y=0.6$代入$L=3x+7y$：
$L=3×1.4 + 7×0.6 = 4.2 + 4.2 = 8.4(\mathrm{m})$
将$x=1.4$，$y=0.6$代入$S=2xy+\frac{3}{2}y^2$：
$S=2×1.4×0.6 + \frac{3}{2}×0.6^2 = 1.68 + 0.54 = 2.22(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $3x+7y$；$2xy+\frac{3}{2}y^2$
(2) $L$的值为$8.4\ \mathrm{m}$，$S$的值为$2.22\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；图形周长面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了对平面图形周长、面积计算公式的掌握，也考查了列代数式和代入求值的能力，解题时需注意仔细数清窗框的边数，理清各数量之间的对应关系，避免漏算。
【难度系数】
0.7
11.如图是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形(单位:m).
(1)用式子表示图中阴影部分的面积；
(2)当$x=4,y=6,r=1$时,求阴影部分的面积;($π$取3)
(3)按照如图所示的尺寸设计出一个新的图形,使其面积等于$(x^2 + \frac{1}{2}xy - \frac{1}{4}π x^2)\mathrm{m}^2$.
(1)用式子表示图中阴影部分的面积；
(2)当$x=4,y=6,r=1$时,求阴影部分的面积;($π$取3)
(3)按照如图所示的尺寸设计出一个新的图形,使其面积等于$(x^2 + \frac{1}{2}xy - \frac{1}{4}π x^2)\mathrm{m}^2$.
答案
解：
(1) 阴影部分的面积为上方长方形、下方正方形、直角三角形的面积之和减去空白圆的面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = 2x + x^2 + \frac{1}{2}xy - π r^2$
即阴影部分的面积为$(x^2 + \frac{1}{2}xy + 2x - π r^2)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 当$x=4,y=6,r=1$，$π$取3时，代入得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&= 4^2 + \frac{1}{2}×4×6 + 2×4 - 3×1^2 \\&= 16 + 12 + 8 - 3 \\&= 33\end{aligned}$
此时阴影部分的面积为$33\ \mathrm{m}^2$。
(3) 设计方案（答案不唯一）：
绘制一个边长为$x\ \mathrm{m}$的正方形，将直角边长分别为$x\ \mathrm{m}$、$y\ \mathrm{m}$的直角三角形的长度为$x\ \mathrm{m}$的直角边与正方形的一条边完全重合拼接，再在正方形内部挖去一个半径为$x\ \mathrm{m}$的四分之一圆作为空白部分，剩余阴影部分的面积即为要求的面积。
(1) 阴影部分的面积为上方长方形、下方正方形、直角三角形的面积之和减去空白圆的面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = 2x + x^2 + \frac{1}{2}xy - π r^2$
即阴影部分的面积为$(x^2 + \frac{1}{2}xy + 2x - π r^2)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 当$x=4,y=6,r=1$，$π$取3时，代入得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&= 4^2 + \frac{1}{2}×4×6 + 2×4 - 3×1^2 \\&= 16 + 12 + 8 - 3 \\&= 33\end{aligned}$
此时阴影部分的面积为$33\ \mathrm{m}^2$。
(3) 设计方案（答案不唯一）：
绘制一个边长为$x\ \mathrm{m}$的正方形，将直角边长分别为$x\ \mathrm{m}$、$y\ \mathrm{m}$的直角三角形的长度为$x\ \mathrm{m}$的直角边与正方形的一条边完全重合拼接，再在正方形内部挖去一个半径为$x\ \mathrm{m}$的四分之一圆作为空白部分，剩余阴影部分的面积即为要求的面积。
解析
【分析】
(1) 求阴影部分面积可采用割补法：观察图形，阴影部分可拆分为上方长方形、下方左侧正方形、下方右侧直角三角形三个规则图形，再减去其中空白的圆形面积即可，分别写出各规则图形的面积公式再合并即可得到阴影面积的代数式。
(2) 求代数式的值只需将$x=4$、$y=6$、$r=1$、$π=3$代入第一问得到的代数式，按照先乘方、再乘除、后加减的顺序计算即可。
(3) 先拆分给出的面积代数式：$x^2$对应边长为$x$的正方形面积，$\frac{1}{2}xy$对应直角边为$x$和$y$的直角三角形面积，$\frac{1}{4}πx^2$对应半径为$x$的四分之一圆的面积，将这几个图形按照面积和差的关系拼接、挖去空白部分即可设计出符合要求的图形。
【解析】
(1) 分别计算各规则图形的面积：
上方长方形面积：$S_1 = 2 × x = 2x$
下方左侧正方形面积：$S_2 = x × x = x^2$
下方右侧直角三角形面积：$S_3 = \frac{1}{2} × x × y = \frac{1}{2}xy$
空白圆形面积：$S_空 = π r^2$
阴影面积为三个阴影规则图形面积和减去空白圆面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_1 + S_2 + S_3 - S_空 = 2x + x^2 + \frac{1}{2}xy - π r^2$
即阴影部分面积为$(x^2 + \frac{1}{2}xy + 2x - π r^2)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 将$x=4,y=6,r=1,π=3$代入上述代数式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&= 4^2 + \frac{1}{2} × 4 × 6 + 2 × 4 - 3 × 1^2 \\&= 16 + 12 + 8 - 3 \\&= 33\end{aligned}$
即此时阴影部分面积为$33\ \mathrm{m}^2$。
(3) 设计方案（答案不唯一）：先画一个边长为$x\ \mathrm{m}$的正方形，再将直角边长分别为$x\ \mathrm{m}$和$y\ \mathrm{m}$的直角三角形的长为$x\ \mathrm{m}$的直角边与正方形的一条边完全重合拼接，最后在正方形内部挖去一个半径为$x\ \mathrm{m}$的四分之一圆作为空白部分，剩余阴影部分的面积就等于$(x^2 + \frac{1}{2}xy - \frac{1}{4}π x^2)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(x^2 + \frac{1}{2}xy + 2x - π r^2)\ \mathrm{m}^2$
(2) $33\ \mathrm{m}^2$
(3) 示例：将边长为$x$的正方形和直角边为$x、y$的直角三角形拼接后，在正方形内挖去一个半径为$x$的四分之一圆，剩余阴影部分即为所求（答案不唯一）
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解与代数式的应用，需要熟练掌握长方形、正方形、三角形、圆等常见规则图形的面积公式，会用割补法转化不规则图形的面积计算，代入求值时要注意运算顺序，第三问为开放性问题，需结合代数式的结构对应图形面积的和差关系进行设计，整体侧重对基础知识和灵活应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积可采用割补法：观察图形，阴影部分可拆分为上方长方形、下方左侧正方形、下方右侧直角三角形三个规则图形，再减去其中空白的圆形面积即可，分别写出各规则图形的面积公式再合并即可得到阴影面积的代数式。
(2) 求代数式的值只需将$x=4$、$y=6$、$r=1$、$π=3$代入第一问得到的代数式，按照先乘方、再乘除、后加减的顺序计算即可。
(3) 先拆分给出的面积代数式：$x^2$对应边长为$x$的正方形面积，$\frac{1}{2}xy$对应直角边为$x$和$y$的直角三角形面积，$\frac{1}{4}πx^2$对应半径为$x$的四分之一圆的面积，将这几个图形按照面积和差的关系拼接、挖去空白部分即可设计出符合要求的图形。
【解析】
(1) 分别计算各规则图形的面积：
上方长方形面积：$S_1 = 2 × x = 2x$
下方左侧正方形面积：$S_2 = x × x = x^2$
下方右侧直角三角形面积：$S_3 = \frac{1}{2} × x × y = \frac{1}{2}xy$
空白圆形面积：$S_空 = π r^2$
阴影面积为三个阴影规则图形面积和减去空白圆面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_1 + S_2 + S_3 - S_空 = 2x + x^2 + \frac{1}{2}xy - π r^2$
即阴影部分面积为$(x^2 + \frac{1}{2}xy + 2x - π r^2)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 将$x=4,y=6,r=1,π=3$代入上述代数式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&= 4^2 + \frac{1}{2} × 4 × 6 + 2 × 4 - 3 × 1^2 \\&= 16 + 12 + 8 - 3 \\&= 33\end{aligned}$
即此时阴影部分面积为$33\ \mathrm{m}^2$。
(3) 设计方案（答案不唯一）：先画一个边长为$x\ \mathrm{m}$的正方形，再将直角边长分别为$x\ \mathrm{m}$和$y\ \mathrm{m}$的直角三角形的长为$x\ \mathrm{m}$的直角边与正方形的一条边完全重合拼接，最后在正方形内部挖去一个半径为$x\ \mathrm{m}$的四分之一圆作为空白部分，剩余阴影部分的面积就等于$(x^2 + \frac{1}{2}xy - \frac{1}{4}π x^2)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(x^2 + \frac{1}{2}xy + 2x - π r^2)\ \mathrm{m}^2$
(2) $33\ \mathrm{m}^2$
(3) 示例：将边长为$x$的正方形和直角边为$x、y$的直角三角形拼接后，在正方形内挖去一个半径为$x$的四分之一圆，剩余阴影部分即为所求（答案不唯一）
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解与代数式的应用，需要熟练掌握长方形、正方形、三角形、圆等常见规则图形的面积公式，会用割补法转化不规则图形的面积计算，代入求值时要注意运算顺序，第三问为开放性问题，需结合代数式的结构对应图形面积的和差关系进行设计，整体侧重对基础知识和灵活应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
