8. (2024·泗阳期中)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A= 90^{\circ},AB= 6,AC= 8$,D为斜边BC的中点,则AD的长为( )

A.4
B.5
C.6
D.3

B

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，$AB=6$，$AC=8$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。
因为$D$为斜边$BC$的中点，所以$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
答案：B

9. (整体思想)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ},a,b,c分别是\angle A,\angle B,\angle C$的对边长.若$a+b= 14cm$,$c= 10cm$,则$Rt\triangle ABC$的面积为( )

A.$24cm^{2}$
B.$36cm^{2}$
C.$48cm^{2}$
D.$60cm^{2}$

A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
已知$a + b=14\ cm$，$c = 10\ cm$，则$(a + b)^{2}=14^{2}=196$，即$a^{2}+2ab + b^{2}=196$。
又因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}=10^{2}=100$，所以$100 + 2ab=196$，$2ab=96$，$ab = 48$。
$Rt\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48 = 24\ cm^{2}$。
A

10. 如图,点O在数轴原点处,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连接OC,以点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴的正半轴于点M,则点M对应的实数为______.

$\sqrt{7}$

∵点A,B分别对应-3,3，
∴OA=3，OB=3，AB=OA+OB=6。
∵△ABC是等腰三角形，腰长为4，
∴AC=BC=4。
∵AC=BC，
∴点C在AB的垂直平分线上。
∵AB在数轴上，原点O是AB中点，
∴OC⊥AB。
在Rt△OBC中，OB=3，BC=4，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{BC^2 - OB^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$。
∵以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴正半轴于点M，
∴OM=OC=$\sqrt{7}$，
∴点M对应的实数为$\sqrt{7}$。

11. 如图,在$\triangle ABC$中,按尺规作图的痕迹作直线MN,交边AB于点E.若$AC= 5,BE= 4,\angle B= 45^{\circ}$,则AB的长为______.

7

由尺规作图痕迹知，MN为线段BC的垂直平分线，故EC=EB=4。
在△BEC中，EB=EC，∠B=45°，则∠BCE=∠B=45°，∠BEC=90°。
设AE=x，则AB=AE+BE=x+4。
在Rt△AEC中，AE²+EC²=AC²，即x²+4²=5²，解得x=3（x=-3舍去）。
AB=3+4=7。

12. (2024·陕西)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1,$\triangle ABC和\triangle DFE$的顶点都在格点上.求证:$\angle ABC= \angle EFD$.

由题意，易得$AB^{2}=EF^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，$AC^{2}=ED^{2}=$ $1^{2}+3^{2}=10$，$BC^{2}=FD^{2}=1^{2}+4^{2}=17$，$\therefore AB=EF$，$AC=ED$，$BC=FD$. 在$\triangle ABC$和$\triangle EFD$中，$\begin{cases} AB=EF, \\ BC=FD, \\ AC=ED, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABC\cong\triangle EFD(SSS)$，$\therefore \angle ABC=\angle EFD$

13. (2024·沭阳期中)如图所示为一张长方形纸片ABCD,$AB= 10cm,AD= 8cm$,将纸片折叠,使点B落在边CD上的点E处,折痕为AF.求:
(1)线段DE的长;
(2)折痕AF的长.

（1）$\because$ 四边形$ABCD$是长方形，$AB=10\ cm$，$AD=$ $8\ cm$，$\therefore \angle B=\angle D=90^{\circ}$. 由折叠，得$AE=AB=10\ cm$，在 $Rt\triangle ADE$中，$AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$，$\therefore DE=\sqrt{AE^{2}-AD^{2}}=$ $\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6(cm)$. $\therefore$ 线段$DE$的长为$6\ cm$ （2）$\because$ 四 边形$ABCD$是长方形，$\therefore CD=AB=10\ cm$，$BC=AD=8\ cm$，$\angle B=\angle C=90^{\circ}$，$\therefore CE=CD-DE=10-6=4(cm)$. 设$BF=x\ cm$. $\because$ 在$Rt\triangle CEF$中，$CE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$，又 $\because EF=BF$，$CF=BC-BF$，$\therefore 4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$，解得 $x=5$，$\therefore BF=5\ cm$. 在$Rt\triangle ABF$中，$AB^{2}+BF^{2}=AF^{2}$，$\therefore AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=5\sqrt{5}(cm)$，$\therefore$ 折痕 $AF$的长为$5\sqrt{5}\ cm$