1. (2024·眉山)如图,图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正方形的面积为 ( )

A.24
B.36
C.40
D.44

D

设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$（$a ＞ b$）。
由图①：
小正方形面积：$(a - b)^2 = 4$，则$a - b = 2$；
大正方形面积：$a^2 + b^2 = 24$。
四个直角三角形面积和：$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$，且$2ab = 24 - 4 = 20$，即$ab = 10$。
由图②：
大正方形边长为$a + b$，面积$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 24 + 20 = 44$。
D

2. (2024·宿豫期中)如图所示的三角形均为直角三角形,四边形均为正方形,则字母A所表示的正方形的面积为______.

13

设以长度为2和3的线段为直角边的直角三角形的斜边为$a$，以长度为3和5的线段为直角边的直角三角形的斜边为$b$。
由勾股定理得：
$a^{2}=2^{2}+3^{2}=4 + 9=13$
$b^{2}=3^{2}+5^{2}=9 + 25=34$
因为字母A所表示的正方形的边长为以$b$和$a$为直角边的直角三角形的斜边，设其面积为$S$，则：
$S=b^{2}-a^{2}=34 - 13=21$
1

3. (2023·乐山改编)如图所示为“赵爽弦图”,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形.若EF= 2,DE= 8,则AB的长为______.

10

设直角三角形的短直角边为$a$，长直角边为$b$。
因为$\triangle DAE$是直角三角形，$DE = 8$，所以$b = 8$。
四边形$EFGH$是正方形，$EF = 2$，由图形可知$b - a = EF$，即$8 - a = 2$，解得$a = 6$。
在直角三角形$\triangle DAE$中，根据勾股定理，$AD^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，所以$AD = 10$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD = 10$。
10

4. (1)如图①所示的图形是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的长之和是5,求中间小正方形的面积.
(2)现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片,如图②,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形(要求:先在图②中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据).

(1)设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a＞b).由题意，得{a + b = 5,a² + b² = 13}，
∴(a + b)² = 25 = a² + b² + 2ab，
∴ab = 6，
∴(a - b)² = (a + b)² - 4ab = 1，
∴中间小正方形的面积为(a - b)² = 1。
(2)如图所示(画分割线不唯一)

5. (新考向·传统文化)我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的长方形由两个这样的图形拼成.若a= 3,b= 4,则该长方形的面积为 ( )

A.20
B.24
C.$\frac{99}{4}$
D.$\frac{53}{2}$

B

设正方形边长为$x$，由题意知长方形长为$a + b = 3 + 4 = 7$，宽为$x + (a - x) = a = 3$或宽为$x + (b - x) = b = 4$，实际宽为$a + b - x$。根据面积关系：原直角三角形面积为$\frac{1}{2}(a + x)(b + x)$，分割后面积为$x^2 + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}bx + \frac{1}{2}bx$，两者相等。化简得$(a + x)(b + x) = 2x^2 + 2ax + 2bx$，展开得$ab + ax + bx + x^2 = 2x^2 + 2ax + 2bx$，整理得$x^2 + ax + bx = ab$，即$x(a + b + x) = ab$。长方形面积为$(a + b)(b + x) = (a + b)(a + b + x - a) = (a + b)(\frac{ab}{x} - a)$，将$a = 3$，$b = 4$代入$x^2 + 7x = 12$，解得$x = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2}$（舍负），则$\frac{ab}{x} = \frac{12}{x}$，长方形面积$7(\frac{12}{x} - 3)$，由$x^2 = 12 - 7x$得$\frac{12}{x} = x + 7$，所以面积为$7(x + 7 - 3) = 7(x + 4)$，又$(x + 4)(x + 3) = x^2 + 7x + 12 = 12 + 12 = 24$，即长方形面积为$24$。
B