1. 如图所示为由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格,线段AB的端点在格点(网格中小正方形的顶点)上,则$AB^{2}$的值为( )


A.6
B.18
C.20
D.22

C

在网格中，线段AB可看作直角三角形的斜边，两直角边长度分别为水平方向4个单位，竖直方向2个单位。
根据勾股定理，$AB^{2}=4^{2}+2^{2}=16 + 4=20$
C

2. 已知一个直角三角形的两直角边的长分别为7和24,则下列说法正确的是( )

A.斜边长为625
B.三角形的周长为84
C.斜边长为25
D.三角形的面积为168

C

根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{7^{2} + 24^{2}}=\sqrt{49 + 576}=\sqrt{625}=25$；周长为$7 + 24 + 25=56$；面积为$\frac{1}{2}×7×24 = 84$。
C

3. 在下列横线上填上正确的数值:

(1)
$x= $______;
(2)
$y= $______;
(3)
$z= $______.

（1）15 （2）16 （3）$\sqrt{29}$

(1)15
(2)16
(3)$\sqrt{29}$

4. (2024·攀枝花改编)已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和$\sqrt{2}$,则其斜边的长为______.

$\sqrt{3}$

根据勾股定理，直角三角形斜边的长为两直角边平方和的算术平方根。已知两直角边分别为$1$和$\sqrt{2}$，则斜边的长为$\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1 + 2}=\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$

5. 如图,阴影部分是半圆,这个半圆的面积为______$cm^{2}$(结果保留$\pi$).

$8\pi$

由勾股定理得，半圆的直径为 $\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8\ cm$，半径为 $4\ cm$。
半圆的面积为 $\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi×4^{2}=8\pi\ cm^2$。
$8\pi$

6. (2024·泗洪期中)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ}$,以$\triangle ABC$的各边为边,在$\triangle ABC$外作三个正方形,$S_{1},S_{2},S_{3}$分别表示这三个正方形的面积.若$S_{1}= 81,S_{2}= 225$,则$BC= $______.

12

在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，由勾股定理得$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
因为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$是以$\triangle ABC$各边为边的正方形面积，所以$S_{1}=AB^{2}=81$，$S_{2}=AC^{2}=225$，$S_{3}=BC^{2}$。
则$BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}=225 - 81=144$，故$BC=\sqrt{144}=12$。
12

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ},AC= 5,BC= 12,CO\perp AB$于点O.求:
(1)AB的长;
(2)AO的长.

（1）
∵ 在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=$ $AB^{2}$. $\because AC=5$，$BC=12$，$\therefore AB^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$\therefore AB=13$ （2）$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$CO\perp AB$，$\therefore S_{\triangle ABC}=$ $\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CO$，即$AC\cdot BC=AB\cdot CO$，$\therefore 5×$ $12=13CO$，$\therefore CO=\frac{60}{13}$. $\because$ 在$Rt\triangle AOC$中，$AO^{2}+CO^{2}=$ $AC^{2}$，$\therefore AO^{2}=AC^{2}-CO^{2}=5^{2}-\left(\frac{60}{13}\right)^{2}=\frac{625}{169}$，$\therefore AO=\frac{25}{13}$