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6.(2025·宿迁泗洪县期末)公元前3世纪,古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”.杠杆平衡时,阻力×阻力臂=动力×动力臂.几位同学玩撬石头的游戏,已知阻力(石头重量)和阻力臂分别为1600 N和0.5 m.
(1)设动力臂为l,动力为F,求出F与l的函数表达式;
(2)若小明使用500 N的力,他应该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头?
(1)设动力臂为l,动力为F,求出F与l的函数表达式;
(2)若小明使用500 N的力,他应该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头?
答案
6.解:(1)$Fl=1600×0.5=800$,则$F=\frac{800}{l}$.
(2)当$F=500\ \mathrm{N}$时,$500=\frac{800}{l}$,则$l=1.6\ \mathrm{m}$.
(2)当$F=500\ \mathrm{N}$时,$500=\frac{800}{l}$,则$l=1.6\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】首先依据杠杆平衡原理“阻力×阻力臂=动力×动力臂”，代入已知的阻力和阻力臂推导动力与动力臂的函数关系；第二问将已知动力代入第一问的函数表达式，求解对应的动力臂长度。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，已知阻力为1600 N，阻力臂为0.5 m，动力为F，动力臂为l，代入得：
$Fl = 1600×0.5 = 800$，整理得F与l的函数表达式为：$F=\frac{800}{l}$。
(2) 当动力$F=500\ \mathrm{N}$时，将其代入$F=\frac{800}{l}$，得：
$500=\frac{800}{l}$，解方程得$l=\frac{800}{500}=1.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $F=\frac{800}{l}$；(2) $1.6\ \mathrm{m}$
【知识点】
反比例函数应用，杠杆原理
【点评】
本题结合物理杠杆原理考察反比例函数的实际应用，属于基础应用题，解题核心是正确运用杠杆平衡条件推导函数关系，再代入求值，难度较低。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，已知阻力为1600 N，阻力臂为0.5 m，动力为F，动力臂为l，代入得：
$Fl = 1600×0.5 = 800$，整理得F与l的函数表达式为：$F=\frac{800}{l}$。
(2) 当动力$F=500\ \mathrm{N}$时，将其代入$F=\frac{800}{l}$，得：
$500=\frac{800}{l}$，解方程得$l=\frac{800}{500}=1.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $F=\frac{800}{l}$；(2) $1.6\ \mathrm{m}$
【知识点】
反比例函数应用，杠杆原理
【点评】
本题结合物理杠杆原理考察反比例函数的实际应用，属于基础应用题，解题核心是正确运用杠杆平衡条件推导函数关系，再代入求值，难度较低。
【难度系数】
0.7
7.有一款蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$I$(单位:A)与电阻$R$(单位:$\Omega$)是反比例函数关系，它的图象和几组数据如图表所示.
(1)求出这个反比例函数的表达式；
(2)直接写出上表中的$a,b$的值；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
(1)求出这个反比例函数的表达式；
(2)直接写出上表中的$a,b$的值；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
答案
7.解:(1)电流I是电阻R的反比例函数,设$I=\frac{k}{R}$,
由题意,得$9=\frac{k}{4}$,解得$k=4×9=36$,
∴$I=\frac{36}{R}$.
(2)$\because a=\frac{36}{3}=12,b=\frac{36}{10}=3.6,\therefore a=12,b=3.6$.
(3)$\because I≤10,\therefore \frac{36}{R}≤10,\therefore R≥3.6$.
答:用电器可变电阻应控制在$3.6\ \Omega$以上的范围内.
由题意,得$9=\frac{k}{4}$,解得$k=4×9=36$,
∴$I=\frac{36}{R}$.
(2)$\because a=\frac{36}{3}=12,b=\frac{36}{10}=3.6,\therefore a=12,b=3.6$.
(3)$\because I≤10,\therefore \frac{36}{R}≤10,\therefore R≥3.6$.
答:用电器可变电阻应控制在$3.6\ \Omega$以上的范围内.
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 根据反比例函数的定义，设电流$I$与电阻$R$的反比例函数表达式，利用已知的一组对应值求出比例系数$k$，确定函数表达式；
2. 将表格中对应的电阻$R$或电流$I$代入已求的函数表达式，计算出$a$、$b$的值；
3. 根据限制电流$I ≤ 10A$，结合反比例函数的性质（$I$随$R$增大而减小），解不等式得到可变电阻$R$的范围。
【解析】
(1) 因为电流$I$与电阻$R$是反比例函数关系，设表达式为$I=\frac{k}{R}$。
由图表可知，当$R=4\Omega$时，$I=9A$，代入得：$9=\frac{k}{4}$，解得$k=4×9=36$。
因此，反比例函数表达式为$I=\frac{36}{R}$。
(2) 当$R=3\Omega$时，$a=\frac{36}{3}=12$；
当$I=10A$时，$b=\frac{36}{10}=3.6$，即$a=12$，$b=3.6$。
(3) 已知限制电流$I ≤ 10A$，代入表达式得：$\frac{36}{R} ≤ 10$。
因为电阻$R＞0$，两边同乘$R$不等号方向不变，解得$R ≥ 3.6$。
【答案】
(1) $I=\frac{36}{R}$；(2) $a=12$，$b=3.6$；(3) 可变电阻应控制在$3.6\ \Omega$以上的范围内。
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数的实际应用
【点评】
本题为反比例函数的基础应用题，重点考查反比例函数表达式的求解及性质的运用，解题关键是准确求出函数表达式，结合题意解不等式即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 根据反比例函数的定义，设电流$I$与电阻$R$的反比例函数表达式，利用已知的一组对应值求出比例系数$k$，确定函数表达式；
2. 将表格中对应的电阻$R$或电流$I$代入已求的函数表达式，计算出$a$、$b$的值；
3. 根据限制电流$I ≤ 10A$，结合反比例函数的性质（$I$随$R$增大而减小），解不等式得到可变电阻$R$的范围。
【解析】
(1) 因为电流$I$与电阻$R$是反比例函数关系，设表达式为$I=\frac{k}{R}$。
由图表可知，当$R=4\Omega$时，$I=9A$，代入得：$9=\frac{k}{4}$，解得$k=4×9=36$。
因此，反比例函数表达式为$I=\frac{36}{R}$。
(2) 当$R=3\Omega$时，$a=\frac{36}{3}=12$；
当$I=10A$时，$b=\frac{36}{10}=3.6$，即$a=12$，$b=3.6$。
(3) 已知限制电流$I ≤ 10A$，代入表达式得：$\frac{36}{R} ≤ 10$。
因为电阻$R＞0$，两边同乘$R$不等号方向不变，解得$R ≥ 3.6$。
【答案】
(1) $I=\frac{36}{R}$；(2) $a=12$，$b=3.6$；(3) 可变电阻应控制在$3.6\ \Omega$以上的范围内。
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数的实际应用
【点评】
本题为反比例函数的基础应用题，重点考查反比例函数表达式的求解及性质的运用，解题关键是准确求出函数表达式，结合题意解不等式即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
8.电灭蚊器的电阻$y(\mathrm{k}\Omega)$随温度$x(°\mathrm{C})$变化的大致图象如图所示,通电后温度由$10°\mathrm{C}$上升到$30°\mathrm{C}$时,电阻与温度成反比例函数关系,且在温度达到$30°\mathrm{C}$时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度升高而增加,温度每上升$1°\mathrm{C}$,电阻增加$\frac{4}{15}\mathrm{k}\Omega$.
(1)当$10≤ x≤ 30$时,求$y$与$x$的函数表达式;
(2)当$x=30$时,求$y$的值,并求$x＞30$时,$y$与$x$的函数表达式;
(3)电灭蚊器在使用过程中,温度$x$在什么范围内时,电阻不超过$5\mathrm{k}\Omega$?
(1)当$10≤ x≤ 30$时,求$y$与$x$的函数表达式;
(2)当$x=30$时,求$y$的值,并求$x＞30$时,$y$与$x$的函数表达式;
(3)电灭蚊器在使用过程中,温度$x$在什么范围内时,电阻不超过$5\mathrm{k}\Omega$?
答案
8.解:(1)设$y=\frac{m}{x}$.
∵函数图象过点$(10,6)$,
∴$m=xy=10×6=60$,
∴当$10≤ x≤30$时,$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{60}{x}$.
(2)$\because y=\frac{60}{x}$,$\therefore$当$x=30$时,$y=\frac{60}{30}=2$.
$x≥30$时,设$y=kx+b$,
∵函数图象过点$(30,2)$,温度每上升$1\ °\mathrm{C}$,电阻增加$\frac{4}{15}\ \mathrm{k}\Omega$,$\therefore$函数图象过点$(31,2\frac{4}{15})$,
∴$\begin{cases} 30k+b=2,\\ 31k+b=2\dfrac{4}{15},\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{4}{15},\\ b=-6,\\ \end{cases}$
故$x＞30$时,$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{4}{15}x-6$.
(3)$y=\frac{60}{x}$中,当$y=5$时,$x=12$;
$y=\frac{4}{15}x-6$中,当$y=5$时,$x=41\frac{1}{4}$,
∴温度$x$的取值范围是$12≤ x≤41\frac{1}{4}$.
∵函数图象过点$(10,6)$,
∴$m=xy=10×6=60$,
∴当$10≤ x≤30$时,$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{60}{x}$.
(2)$\because y=\frac{60}{x}$,$\therefore$当$x=30$时,$y=\frac{60}{30}=2$.
$x≥30$时,设$y=kx+b$,
∵函数图象过点$(30,2)$,温度每上升$1\ °\mathrm{C}$,电阻增加$\frac{4}{15}\ \mathrm{k}\Omega$,$\therefore$函数图象过点$(31,2\frac{4}{15})$,
∴$\begin{cases} 30k+b=2,\\ 31k+b=2\dfrac{4}{15},\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{4}{15},\\ b=-6,\\ \end{cases}$
故$x＞30$时,$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{4}{15}x-6$.
(3)$y=\frac{60}{x}$中,当$y=5$时,$x=12$;
$y=\frac{4}{15}x-6$中,当$y=5$时,$x=41\frac{1}{4}$,
∴温度$x$的取值范围是$12≤ x≤41\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
本题是结合函数图象的分段函数应用题，解题思路如下：
1. 对于(1)，已知10≤x≤30时，电阻与温度成反比例函数关系，因此设反比例函数表达式，利用图象上的已知点(10,6)，通过待定系数法求出该区间的函数表达式。
2. 对于(2)，先将x=30代入(1)的反比例函数，求出x=30时的y值；再根据x＞30时电阻随温度的变化规律（每上升1℃电阻增加$\frac{4}{15}\mathrm{k}\Omega$），确定该区间为一次函数，结合点(30,2)用待定系数法求出一次函数表达式。
3. 对于(3)，分别在两个区间的函数中令y=5，求出对应的x值，再结合函数图象的变化趋势，确定电阻不超过5kΩ时x的取值范围。
【解析】
(1) 当$10≤ x≤30$时，设$y$与$x$的反比例函数表达式为$y=\frac{m}{x}$。
因为函数图象过点$(10,6)$，将$x=10,y=6$代入得：
$6=\frac{m}{10}$，解得$m=60$。
因此，当$10≤ x≤30$时，$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{60}{x}$。
(2) 求$x=30$时的$y$值：将$x=30$代入$y=\frac{60}{x}$，得$y=\frac{60}{30}=2$，即$x=30$时，$y=2$。
当$x＞30$时，电阻随温度升高而增加，温度每上升$1℃$，电阻增加$\frac{4}{15}\mathrm{k}\Omega$，设该区间一次函数表达式为$y=kx+b$，其中斜率$k=\frac{4}{15}$，且函数过点$(30,2)$。
将$k=\frac{4}{15}$、点$(30,2)$代入表达式：
$2=\frac{4}{15}×30 + b$，计算得$2=8+b$，解得$b=-6$。
因此，当$x＞30$时，$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{4}{15}x -6$。
(3) 分两种情况求$y=5$时的$x$：
① 当$10≤ x≤30$时，令$y=5$，代入$y=\frac{60}{x}$，得$5=\frac{60}{x}$，解得$x=12$；
② 当$x＞30$时，令$y=5$，代入$y=\frac{4}{15}x -6$，得$5=\frac{4}{15}x -6$，移项得$\frac{4}{15}x=11$，解得$x=\frac{165}{4}=41\frac{1}{4}$。
结合函数图象，电阻不超过$5\mathrm{k}\Omega$时，$x$的取值范围是$12≤ x≤41\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $y=\frac{60}{x}(10≤ x≤30)$；
(2) $x=30$时$y=2$，$x＞30$时$y=\frac{4}{15}x -6$；
(3) $12≤ x≤41\frac{1}{4}$。
【知识点】
反比例函数应用、一次函数应用、待定系数法求函数表达式
【点评】
本题是分段函数的实际应用题，需要根据不同区间的函数特征（反比例、一次函数），利用待定系数法确定函数解析式，再结合函数值求解自变量范围，考查学生的分段分析能力和函数应用能力，关键是明确各区间的函数类型及对应条件。
【难度系数】
0.5
本题是结合函数图象的分段函数应用题，解题思路如下：
1. 对于(1)，已知10≤x≤30时，电阻与温度成反比例函数关系，因此设反比例函数表达式，利用图象上的已知点(10,6)，通过待定系数法求出该区间的函数表达式。
2. 对于(2)，先将x=30代入(1)的反比例函数，求出x=30时的y值；再根据x＞30时电阻随温度的变化规律（每上升1℃电阻增加$\frac{4}{15}\mathrm{k}\Omega$），确定该区间为一次函数，结合点(30,2)用待定系数法求出一次函数表达式。
3. 对于(3)，分别在两个区间的函数中令y=5，求出对应的x值，再结合函数图象的变化趋势，确定电阻不超过5kΩ时x的取值范围。
【解析】
(1) 当$10≤ x≤30$时，设$y$与$x$的反比例函数表达式为$y=\frac{m}{x}$。
因为函数图象过点$(10,6)$，将$x=10,y=6$代入得：
$6=\frac{m}{10}$，解得$m=60$。
因此，当$10≤ x≤30$时，$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{60}{x}$。
(2) 求$x=30$时的$y$值：将$x=30$代入$y=\frac{60}{x}$，得$y=\frac{60}{30}=2$，即$x=30$时，$y=2$。
当$x＞30$时，电阻随温度升高而增加，温度每上升$1℃$，电阻增加$\frac{4}{15}\mathrm{k}\Omega$，设该区间一次函数表达式为$y=kx+b$，其中斜率$k=\frac{4}{15}$，且函数过点$(30,2)$。
将$k=\frac{4}{15}$、点$(30,2)$代入表达式：
$2=\frac{4}{15}×30 + b$，计算得$2=8+b$，解得$b=-6$。
因此，当$x＞30$时，$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{4}{15}x -6$。
(3) 分两种情况求$y=5$时的$x$：
① 当$10≤ x≤30$时，令$y=5$，代入$y=\frac{60}{x}$，得$5=\frac{60}{x}$，解得$x=12$；
② 当$x＞30$时，令$y=5$，代入$y=\frac{4}{15}x -6$，得$5=\frac{4}{15}x -6$，移项得$\frac{4}{15}x=11$，解得$x=\frac{165}{4}=41\frac{1}{4}$。
结合函数图象，电阻不超过$5\mathrm{k}\Omega$时，$x$的取值范围是$12≤ x≤41\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $y=\frac{60}{x}(10≤ x≤30)$；
(2) $x=30$时$y=2$，$x＞30$时$y=\frac{4}{15}x -6$；
(3) $12≤ x≤41\frac{1}{4}$。
【知识点】
反比例函数应用、一次函数应用、待定系数法求函数表达式
【点评】
本题是分段函数的实际应用题，需要根据不同区间的函数特征（反比例、一次函数），利用待定系数法确定函数解析式，再结合函数值求解自变量范围，考查学生的分段分析能力和函数应用能力，关键是明确各区间的函数类型及对应条件。
【难度系数】
0.5
