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1.(2025·长春)在功$W(\mathrm{J})$一定的条件下，功率$P(\mathrm{W})$与做功时间$t(\mathrm{s})$成反比例，$P(\mathrm{W})$与$t(\mathrm{s})$之间的函数关系如图所示.当$25≤ t≤ 40$时，$P$的值可以为（
A.24
B.27
C.45
D.50
C
）A.24
B.27
C.45
D.50
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：①根据“功一定时功率与时间成反比例”，设出反比例函数表达式$P=\frac{W}{t}$（$W$为定值，$W≠0$）；②观察函数图像可知函数过点$(60,20)$，将该点代入表达式即可求出定值$W$，得到$P$与$t$的完整函数关系式；③分别计算$t=25$和$t=40$时对应的$P$值，结合反比例函数的增减性确定$25≤ t≤40$时$P$的取值范围，最后对比选项选出符合范围的结果。
【解析】
解：已知功$W$一定时，功率$P$与做功时间$t$成反比例，设函数解析式为$P=\frac{W}{t}$（$W≠0$，$t＞0$）。
由图像可知，函数过点$(60,20)$，将$t=60$，$P=20$代入解析式得：
$20=\frac{W}{60}$，解得$W=20×60=1200$（$J$），
因此$P$与$t$的函数关系式为$P=\frac{1200}{t}$（$t＞0$）。
$\because k=1200＞0$，$\therefore$当$t＞0$时，$P$随$t$的增大而减小，
当$t=25$时，$P=\frac{1200}{25}=48$（$W$），
当$t=40$时，$P=\frac{1200}{40}=30$（$W$），
$\therefore$当$25≤ t≤40$时，$30≤ P≤48$，
观察选项，只有45在该范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数的应用
【点评】
本题结合物理中的功率公式考查反比例函数的实际应用，解题核心是先根据图像上的已知点求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性确定对应变量的取值范围，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：①根据“功一定时功率与时间成反比例”，设出反比例函数表达式$P=\frac{W}{t}$（$W$为定值，$W≠0$）；②观察函数图像可知函数过点$(60,20)$，将该点代入表达式即可求出定值$W$，得到$P$与$t$的完整函数关系式；③分别计算$t=25$和$t=40$时对应的$P$值，结合反比例函数的增减性确定$25≤ t≤40$时$P$的取值范围，最后对比选项选出符合范围的结果。
【解析】
解：已知功$W$一定时，功率$P$与做功时间$t$成反比例，设函数解析式为$P=\frac{W}{t}$（$W≠0$，$t＞0$）。
由图像可知，函数过点$(60,20)$，将$t=60$，$P=20$代入解析式得：
$20=\frac{W}{60}$，解得$W=20×60=1200$（$J$），
因此$P$与$t$的函数关系式为$P=\frac{1200}{t}$（$t＞0$）。
$\because k=1200＞0$，$\therefore$当$t＞0$时，$P$随$t$的增大而减小，
当$t=25$时，$P=\frac{1200}{25}=48$（$W$），
当$t=40$时，$P=\frac{1200}{40}=30$（$W$），
$\therefore$当$25≤ t≤40$时，$30≤ P≤48$，
观察选项，只有45在该范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数的应用
【点评】
本题结合物理中的功率公式考查反比例函数的实际应用，解题核心是先根据图像上的已知点求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性确定对应变量的取值范围，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2.杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1600 N和0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m)，则动力F关于动力臂l的函数表达式为
$F=\frac{800}{l}$
.答案
2.$F=\frac{800}{l}$
解析
【分析】
解题时首先提取题目给出的核心等量关系：杠杆平衡时阻力×阻力臂＝动力×动力臂，我们的目标是推导动力F关于动力臂l的函数表达式，即把F用含l的代数式表示。只需将已知的阻力、阻力臂数值代入等量关系，再通过等式变形将F单独整理到等号一侧即可。
【解析】
根据杠杆平衡条件：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$
将已知条件阻力$=1600\mathrm{N}$、阻力臂$=0.5\mathrm{m}$、动力$=F$、动力臂$=l$代入上式，得：
$1600 × 0.5 = F · l$
计算左侧乘积：$800 = F · l$
对等式变形，将$F$单独放在等号左侧，得：
$F = \frac{800}{l}$（$l＞0$）
【答案】
$F=\frac{800}{l}$
【知识点】
反比例函数应用；等式变形；杠杆平衡原理
【点评】
本题是结合物理知识的基础应用题，依托杠杆平衡原理考查反比例函数表达式的推导，只要准确代入已知量、正确进行等式变形即可求解，主要考查跨学科简单知识的运用能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.85
解题时首先提取题目给出的核心等量关系：杠杆平衡时阻力×阻力臂＝动力×动力臂，我们的目标是推导动力F关于动力臂l的函数表达式，即把F用含l的代数式表示。只需将已知的阻力、阻力臂数值代入等量关系，再通过等式变形将F单独整理到等号一侧即可。
【解析】
根据杠杆平衡条件：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$
将已知条件阻力$=1600\mathrm{N}$、阻力臂$=0.5\mathrm{m}$、动力$=F$、动力臂$=l$代入上式，得：
$1600 × 0.5 = F · l$
计算左侧乘积：$800 = F · l$
对等式变形，将$F$单独放在等号左侧，得：
$F = \frac{800}{l}$（$l＞0$）
【答案】
$F=\frac{800}{l}$
【知识点】
反比例函数应用；等式变形；杠杆平衡原理
【点评】
本题是结合物理知识的基础应用题，依托杠杆平衡原理考查反比例函数表达式的推导，只要准确代入已知量、正确进行等式变形即可求解，主要考查跨学科简单知识的运用能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.85
3. 跨学科科学课上，同学们用如图所示的自制密度计测量液体的密度. 密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度$h$(单位:cm)是液体的密度$\rho$(单位:g/cm³)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm³的水中时，$h=20$ cm.
(1)求$h$关于$\rho$的函数表达式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，$h=25$ cm，求该液体的密度$\rho$.
(1)求$h$关于$\rho$的函数表达式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，$h=25$ cm，求该液体的密度$\rho$.
答案
3.解:(1)设h关于ρ的函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}$,
把$\rho=1,h=20$代入函数表达式,得$k=1×20=20$,
∴h关于ρ的函数表达式为$h=\frac{20}{\rho}$.
(2)把$h=25$代入$h=\frac{20}{\rho}$,得$25=\frac{20}{\rho}$,解得$\rho=0.8$.
答:该液体的密度ρ为$0.8\ \mathrm{g/cm^3}$.
把$\rho=1,h=20$代入函数表达式,得$k=1×20=20$,
∴h关于ρ的函数表达式为$h=\frac{20}{\rho}$.
(2)把$h=25$代入$h=\frac{20}{\rho}$,得$25=\frac{20}{\rho}$,解得$\rho=0.8$.
答:该液体的密度ρ为$0.8\ \mathrm{g/cm^3}$.
解析
【分析】
本题是反比例函数的跨学科实际应用题，解题思路清晰：(1) 题目已明确h是ρ的反比例函数，首先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}$（k为常数，$k≠0$），再将已知的对应值$\rho=1$、$h=20$代入表达式，求出常数k即可得到h关于ρ的函数解析式；(2) 将第二问给出的h值代入第一问求出的函数解析式，解关于ρ的方程就能得到该液体的密度。
【解析】
(1) 设h关于ρ的函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k≠0$），
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm^3}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入表达式，可得：
$k=\rho× h=1×20=20$，
因此h关于ρ的函数表达式为$h=\frac{20}{\rho}$。
(2) 把$h=25\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得：
$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=\frac{20}{25}=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) $h=\frac{20}{\rho}$；
(2) $0.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理密度计的场景命题，体现了跨学科知识融合的特点，核心考查反比例函数的基础应用，解题步骤固定，只要掌握反比例函数的基本形式和待定系数法的使用方法就能顺利求解，也能让学生体会数学在其他学科的实用价值。
【难度系数】
0.85
本题是反比例函数的跨学科实际应用题，解题思路清晰：(1) 题目已明确h是ρ的反比例函数，首先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}$（k为常数，$k≠0$），再将已知的对应值$\rho=1$、$h=20$代入表达式，求出常数k即可得到h关于ρ的函数解析式；(2) 将第二问给出的h值代入第一问求出的函数解析式，解关于ρ的方程就能得到该液体的密度。
【解析】
(1) 设h关于ρ的函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k≠0$），
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm^3}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入表达式，可得：
$k=\rho× h=1×20=20$，
因此h关于ρ的函数表达式为$h=\frac{20}{\rho}$。
(2) 把$h=25\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得：
$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=\frac{20}{25}=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) $h=\frac{20}{\rho}$；
(2) $0.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理密度计的场景命题，体现了跨学科知识融合的特点，核心考查反比例函数的基础应用，解题步骤固定，只要掌握反比例函数的基本形式和待定系数法的使用方法就能顺利求解，也能让学生体会数学在其他学科的实用价值。
【难度系数】
0.85
4.(2025·辽宁)在电压不变的情况下,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系.当$R=4$时,$I=5$,则电流$I$与电阻$R$之间的函数表达式为$I=$
$\frac{20}{R}$
.答案
4.$\frac{20}{R}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的“电流I与电阻R是反比例函数关系”这一条件，回忆反比例函数的一般形式，先设出含有待定系数k的函数解析式；再将已知的R=4、I=5这组对应值代入所设解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值；最后将k代回原解析式，即可得到I与R的函数表达式。
【解析】
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系
∴设I与R的函数表达式为$\boldsymbol{I=\frac{k}{R}}$（$k$为常数，且$k\ne0$）
将$R=4$，$I=5$代入上式，可得：
$5=\frac{k}{4}$
解得$k=5×4=20$
将$k=20$代回所设解析式，得$I=\frac{20}{R}$
【答案】
$\frac{20}{R}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，主要考查利用待定系数法求解反比例函数解析式的能力，掌握反比例函数的一般形式是解题的核心，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
首先根据题目给出的“电流I与电阻R是反比例函数关系”这一条件，回忆反比例函数的一般形式，先设出含有待定系数k的函数解析式；再将已知的R=4、I=5这组对应值代入所设解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值；最后将k代回原解析式，即可得到I与R的函数表达式。
【解析】
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系
∴设I与R的函数表达式为$\boldsymbol{I=\frac{k}{R}}$（$k$为常数，且$k\ne0$）
将$R=4$，$I=5$代入上式，可得：
$5=\frac{k}{4}$
解得$k=5×4=20$
将$k=20$代回所设解析式，得$I=\frac{20}{R}$
【答案】
$\frac{20}{R}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，主要考查利用待定系数法求解反比例函数解析式的能力，掌握反比例函数的一般形式是解题的核心，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
5.(2025·宿迁沭阳县期末)研究发现,近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例,其图象如图所示,学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米,经过一段时间的矫正治疗,加之注意用眼卫生,小华的镜片焦距调整到0.4米,则其近视眼镜的度数减少了
150
度.答案
5.150
解析
【分析】
已知近视眼镜的度数y与镜片焦距x成反比例，首先设反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，利用图象给出的已知点(0.2,500)代入求出k的值，得到完整的函数表达式；再分别将x=0.25和x=0.4代入解析式，求出对应两个焦距下的眼镜度数，最后将两个度数作差，即可得到减少的度数。
【解析】
设y与x的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $）。
将$ x=0.2 $，$ y=500 $代入解析式，得：
$ 500 = \frac{k}{0.2} $，解得$ k = 0.2 × 500 = 100 $，即函数解析式为$ y = \frac{100}{x} $。
当焦距为0.25米时，代入得$ y_1 = \frac{100}{0.25} = 400 $度；
当焦距调整为0.4米时，代入得$ y_2 = \frac{100}{0.4} = 250 $度；
则度数减少了$ 400 - 250 = 150 $度。
【答案】
150
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法求解析式；函数值计算
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题核心是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入对应数值计算即可，整体难度较低，计算时注意细心避免出错。
【难度系数】
0.8
已知近视眼镜的度数y与镜片焦距x成反比例，首先设反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，利用图象给出的已知点(0.2,500)代入求出k的值，得到完整的函数表达式；再分别将x=0.25和x=0.4代入解析式，求出对应两个焦距下的眼镜度数，最后将两个度数作差，即可得到减少的度数。
【解析】
设y与x的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $）。
将$ x=0.2 $，$ y=500 $代入解析式，得：
$ 500 = \frac{k}{0.2} $，解得$ k = 0.2 × 500 = 100 $，即函数解析式为$ y = \frac{100}{x} $。
当焦距为0.25米时，代入得$ y_1 = \frac{100}{0.25} = 400 $度；
当焦距调整为0.4米时，代入得$ y_2 = \frac{100}{0.4} = 250 $度；
则度数减少了$ 400 - 250 = 150 $度。
【答案】
150
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法求解析式；函数值计算
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题核心是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入对应数值计算即可，整体难度较低，计算时注意细心避免出错。
【难度系数】
0.8
