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8. 甲、乙两地相距 300 km，汽车以 x km/h 的速度从甲地到达乙地需要 y h.
(1)写出 y 与 x 的函数表达式；
(2)如果汽车的速度不超过 90 km/h，那么汽车从甲地到乙地至少需要多少小时？
(1)写出 y 与 x 的函数表达式；
(2)如果汽车的速度不超过 90 km/h，那么汽车从甲地到乙地至少需要多少小时？
答案
8.解:(1)由题意,得$xy=300$,$\therefore y=\dfrac{300}{x}$.
(2)在$y=\dfrac{300}{x}$中,当x=90时,$y=\dfrac{300}{90}=3\dfrac{1}{3}$.
∴汽车从甲地到乙地至少需要 3 小时 20 分钟.
(2)在$y=\dfrac{300}{x}$中,当x=90时,$y=\dfrac{300}{90}=3\dfrac{1}{3}$.
∴汽车从甲地到乙地至少需要 3 小时 20 分钟.
解析
【分析】
(1) 解题先找核心等量关系，行程问题的基本公式为“路程=速度×时间”，本题中甲乙两地路程固定为300km，将速度x、时间y代入公式后变形，即可得到y与x的函数表达式，注意实际问题中速度x为正数。
(2) 求至少需要的时间即求y的最小值，先分析反比例函数$y=\dfrac{300}{x}$的增减性：当k＞0时，x＞0区间内y随x的增大而减小，因此速度x取允许的最大值时，时间y最小，代入x=90计算后换算为常用时间表示形式即可。
【解析】
解：(1) 根据“路程=速度×时间”的等量关系，可得$xy=300$，变形得y与x的函数表达式为：
$y=\dfrac{300}{x}\ (x＞0)$
(2) 反比例函数$y=\dfrac{300}{x}$中$k=300＞0$，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
已知汽车速度不超过90km/h，即$x≤90$，当x取最大值90时，y取得最小值：
$y=\dfrac{300}{90}=3\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$
换算单位得$\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}=20\ \mathrm{min}$，即$3\dfrac{1}{3}$小时为3小时20分钟。
【答案】
(1) $y=\dfrac{300}{x}$；(2) 3小时20分钟
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质，行程问题公式
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的基础应用题，解题核心是先利用行程等量关系建立反比例函数模型，再结合函数增减性求解最值，需注意实际问题中自变量的取值范围对结果的影响。
【难度系数】
0.8
(1) 解题先找核心等量关系，行程问题的基本公式为“路程=速度×时间”，本题中甲乙两地路程固定为300km，将速度x、时间y代入公式后变形，即可得到y与x的函数表达式，注意实际问题中速度x为正数。
(2) 求至少需要的时间即求y的最小值，先分析反比例函数$y=\dfrac{300}{x}$的增减性：当k＞0时，x＞0区间内y随x的增大而减小，因此速度x取允许的最大值时，时间y最小，代入x=90计算后换算为常用时间表示形式即可。
【解析】
解：(1) 根据“路程=速度×时间”的等量关系，可得$xy=300$，变形得y与x的函数表达式为：
$y=\dfrac{300}{x}\ (x＞0)$
(2) 反比例函数$y=\dfrac{300}{x}$中$k=300＞0$，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
已知汽车速度不超过90km/h，即$x≤90$，当x取最大值90时，y取得最小值：
$y=\dfrac{300}{90}=3\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$
换算单位得$\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}=20\ \mathrm{min}$，即$3\dfrac{1}{3}$小时为3小时20分钟。
【答案】
(1) $y=\dfrac{300}{x}$；(2) 3小时20分钟
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质，行程问题公式
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的基础应用题，解题核心是先利用行程等量关系建立反比例函数模型，再结合函数增减性求解最值，需注意实际问题中自变量的取值范围对结果的影响。
【难度系数】
0.8
9.某蓄水池员工对一蓄水池进行排水,该蓄水池每小时的排水量$V(\mathrm{m}^3/\mathrm{h})$与排完水池中的水所用的时间$t(\mathrm{h})$之间的函数关系如图所示.
(1)该蓄水池的蓄水量为
(2)如果每小时排水量不超过$2000\ \mathrm{m}^3$,那么排完水池中的水所用的时间$t(\mathrm{h})$满足的条件是
(3)由于该员工有其他任务,为了提前2小时排完水池中的水,需将原计划每小时的排水量增加25%,求原计划每小时的排水量.
(1)该蓄水池的蓄水量为
18000
$\mathrm{m}^3$;(2)如果每小时排水量不超过$2000\ \mathrm{m}^3$,那么排完水池中的水所用的时间$t(\mathrm{h})$满足的条件是
$t≥9$
;(3)由于该员工有其他任务,为了提前2小时排完水池中的水,需将原计划每小时的排水量增加25%,求原计划每小时的排水量.
答案
9.(1)18000
(2)$t≥9$
(3)解:设原计划每小时的排水量是$x\ \mathrm{m}^3$,根据题意,得
$\dfrac{18000}{x}-\dfrac{18000}{(1+25\%)x}=2$,解得$x=1800$,
经检验,$x=1800$ 是原方程的解,且符合实际.
答:原计划每小时的排水量是$1800\ \mathrm{m}^3$.
(2)$t≥9$
(3)解:设原计划每小时的排水量是$x\ \mathrm{m}^3$,根据题意,得
$\dfrac{18000}{x}-\dfrac{18000}{(1+25\%)x}=2$,解得$x=1800$,
经检验,$x=1800$ 是原方程的解,且符合实际.
答:原计划每小时的排水量是$1800\ \mathrm{m}^3$.
解析
【分析】
本题中每小时排水量V和排水时间t成反比例关系，总蓄水量是两者的乘积，为定值。(1)利用图像给出的t=6、V=3000，直接计算乘积即可得到总蓄水量；(2)先写出V关于t的反比例函数解析式，结合V≤2000的限制条件，解不等式即可得到t的取值范围，注意t为正数；(3)设原计划每小时排水量为x，分别表示出原计划排水时间和提速后的排水时间，根据“提前2小时排完”的时间差列分式方程，求解后检验解是否符合实际即可。
【解析】
(1) 总蓄水量 = 每小时排水量 × 排水时间，代入图中数据：$6×3000=18000\ \mathrm{m}^3$。
(2) 由(1)得V与t的函数解析式为$V=\dfrac{18000}{t}\ (t＞0)$，已知$V≤2000$，代入得：
$\dfrac{18000}{t}≤2000$
$\because t＞0$，两边同时乘$t$得$18000≤2000t$，解得$t≥9$。
(3) 设原计划每小时的排水量是$x\ \mathrm{m}^3$，则排水量增加25%后为$(1+25\%)x=1.25x\ \mathrm{m}^3$。
根据题意，原计划排水时间减去提速后排水时间等于2小时，列方程：
$\dfrac{18000}{x}-\dfrac{18000}{1.25x}=2$
方程两边同乘$1.25x$消去分母得：$18000×1.25 - 18000=2×1.25x$
计算得：$22500-18000=2.5x$，即$2.5x=4500$，解得$x=1800$。
检验：当$x=1800$时，$1.25x=2250≠0$，所以$x=1800$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)$18000$
(2)$t≥9$
(3)原计划每小时的排水量是$1800\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
反比例函数的应用、分式方程的应用、解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活中的排水场景考查反比例函数与分式方程的应用，解题核心是抓住总蓄水量为定值这个不变量，根据题目给出的条件列对应的关系式求解，注意分式方程需要检验解是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
本题中每小时排水量V和排水时间t成反比例关系，总蓄水量是两者的乘积，为定值。(1)利用图像给出的t=6、V=3000，直接计算乘积即可得到总蓄水量；(2)先写出V关于t的反比例函数解析式，结合V≤2000的限制条件，解不等式即可得到t的取值范围，注意t为正数；(3)设原计划每小时排水量为x，分别表示出原计划排水时间和提速后的排水时间，根据“提前2小时排完”的时间差列分式方程，求解后检验解是否符合实际即可。
【解析】
(1) 总蓄水量 = 每小时排水量 × 排水时间，代入图中数据：$6×3000=18000\ \mathrm{m}^3$。
(2) 由(1)得V与t的函数解析式为$V=\dfrac{18000}{t}\ (t＞0)$，已知$V≤2000$，代入得：
$\dfrac{18000}{t}≤2000$
$\because t＞0$，两边同时乘$t$得$18000≤2000t$，解得$t≥9$。
(3) 设原计划每小时的排水量是$x\ \mathrm{m}^3$，则排水量增加25%后为$(1+25\%)x=1.25x\ \mathrm{m}^3$。
根据题意，原计划排水时间减去提速后排水时间等于2小时，列方程：
$\dfrac{18000}{x}-\dfrac{18000}{1.25x}=2$
方程两边同乘$1.25x$消去分母得：$18000×1.25 - 18000=2×1.25x$
计算得：$22500-18000=2.5x$，即$2.5x=4500$，解得$x=1800$。
检验：当$x=1800$时，$1.25x=2250≠0$，所以$x=1800$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)$18000$
(2)$t≥9$
(3)原计划每小时的排水量是$1800\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
反比例函数的应用、分式方程的应用、解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活中的排水场景考查反比例函数与分式方程的应用，解题核心是抓住总蓄水量为定值这个不变量，根据题目给出的条件列对应的关系式求解，注意分式方程需要检验解是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
10.某品牌热水器中原有水的温度为20 ℃,开机通电,热水器启动开始加热,此过程中水温$y(°C)$与开机时间$x$(分)满足一次函数关系,当加热到$70°C$时自动停止加热,随后水温开始下降,此时水温$y(°C)$与开机时间$x$(分)成反比例函数关系.当水温降至$35°C$时,热水器又自动以相同的功率加热至$70°C$,…,重复上述过程.如图,根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)当$0{≤}x{≤}25$时,求水温$y(°C)$与开机时间$x$(分)的函数表达式;
(2)求图中$t$的值;
(3)开机通电60分钟时,热水器中水的温度约为多少摄氏度?
(1)当$0{≤}x{≤}25$时,求水温$y(°C)$与开机时间$x$(分)的函数表达式;
(2)求图中$t$的值;
(3)开机通电60分钟时,热水器中水的温度约为多少摄氏度?
答案
10.解:(1)当$0≤ x≤ 25$时,设水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=kx+b$,
将$(0,20)$,$(25,70)$代入,得
$\begin{cases} b=20,\\25k+b=70,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=20,\end{cases}$
∴水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=2x+20$.
(2)当$25≤ x≤ t$时,设水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=\dfrac{m}{x}$,由题意,得$70=\dfrac{m}{25}$,
∴$m=1750$,$\therefore y=\dfrac{1750}{x}$,
∴当$y=35$时,$t=50$,
∴$t$的值是50.
(3)如答图,$\because AB// CD$,
∴设直线$AB$的函数表达式为$y=2x+n$,
将$(50,35)$代入,得$n=-65$,
∴直线$AB$的函数表达式为$y=2x-65$.
当$y=70$时,$x=67.5$,
$\because 50＜60＜67.5$,
∴把$x=60$代入$y=2x-65$,
则$y=2×60-65=55$,
∴开机通电 60 分钟时,热水器中水的温度约为 55 ℃.
解析
【分析】
(1) 当0≤x≤25时，水温y与x满足一次函数关系，已知函数过(0,20)、(25,70)两个点，采用待定系数法设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标求解k、b即可得到对应函数表达式。
(2) 停止加热后水温y与x成反比例函数关系，先将点(25,70)代入反比例函数解析式y=m/x求出m的值，再将y=35代入求得的反比例解析式，对应的x值即为t。
(3) 先判断60分钟所处的工作阶段：0~25分钟为第一次加热阶段，25~50分钟为降温阶段，50分钟后进入第二次加热阶段，因加热功率不变，该阶段一次函数的斜率与第一问的一次函数斜率相等，设出该段的一次函数解析式，代入(50,35)求出解析式，验证60在该阶段的取值范围内后，将x=60代入解析式即可求得对应温度。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤ 25$时，设水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=kx+b$，
将$(0,20)$，$(25,70)$代入，得
$\begin{cases} b=20,\\25k+b=70,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=20,\end{cases}$
∴水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=2x+20$。
(2) 当$25≤ x≤ t$时，设水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=\dfrac{m}{x}$，由题意，得$70=\dfrac{m}{25}$，
∴$m=1750$，$\therefore y=\dfrac{1750}{x}$，
∴当$y=35$时，$t=\dfrac{1750}{35}=50$，
∴$t$的值是50。
(3) 第二次加热阶段加热功率与第一次相同，故一次函数斜率为2，设该段直线的函数表达式为$y=2x+n$，
将$(50,35)$代入，得$35=2×50+n$，解得$n=-65$，
∴该段函数表达式为$y=2x-65$。
当该段加热到$y=70$时，$70=2x-65$，解得$x=67.5$，
$\because 50＜60＜67.5$，即x=60在该加热阶段内，
将$x=60$代入$y=2x-65$，得$y=2×60-65=55$，
∴开机通电60分钟时，热水器中水的温度约为55 ℃。
【答案】
(1) $y=2x+20\quad(0≤x≤25)$；
(2) $t=50$；
(3) $55℃$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合热水器水温变化的生活场景，考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题核心是准确区分不同时间段对应的函数类型，结合待定系数法求解对应解析式，再根据自变量的取值范围代入计算，能有效考查函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 当0≤x≤25时，水温y与x满足一次函数关系，已知函数过(0,20)、(25,70)两个点，采用待定系数法设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标求解k、b即可得到对应函数表达式。
(2) 停止加热后水温y与x成反比例函数关系，先将点(25,70)代入反比例函数解析式y=m/x求出m的值，再将y=35代入求得的反比例解析式，对应的x值即为t。
(3) 先判断60分钟所处的工作阶段：0~25分钟为第一次加热阶段，25~50分钟为降温阶段，50分钟后进入第二次加热阶段，因加热功率不变，该阶段一次函数的斜率与第一问的一次函数斜率相等，设出该段的一次函数解析式，代入(50,35)求出解析式，验证60在该阶段的取值范围内后，将x=60代入解析式即可求得对应温度。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤ 25$时，设水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=kx+b$，
将$(0,20)$，$(25,70)$代入，得
$\begin{cases} b=20,\\25k+b=70,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=20,\end{cases}$
∴水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=2x+20$。
(2) 当$25≤ x≤ t$时，设水温$y(℃)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=\dfrac{m}{x}$，由题意，得$70=\dfrac{m}{25}$，
∴$m=1750$，$\therefore y=\dfrac{1750}{x}$，
∴当$y=35$时，$t=\dfrac{1750}{35}=50$，
∴$t$的值是50。
(3) 第二次加热阶段加热功率与第一次相同，故一次函数斜率为2，设该段直线的函数表达式为$y=2x+n$，
将$(50,35)$代入，得$35=2×50+n$，解得$n=-65$，
∴该段函数表达式为$y=2x-65$。
当该段加热到$y=70$时，$70=2x-65$，解得$x=67.5$，
$\because 50＜60＜67.5$，即x=60在该加热阶段内，
将$x=60$代入$y=2x-65$，得$y=2×60-65=55$，
∴开机通电60分钟时，热水器中水的温度约为55 ℃。
【答案】
(1) $y=2x+20\quad(0≤x≤25)$；
(2) $t=50$；
(3) $55℃$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合热水器水温变化的生活场景，考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题核心是准确区分不同时间段对应的函数类型，结合待定系数法求解对应解析式，再根据自变量的取值范围代入计算，能有效考查函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
