登录
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据下列条件，求解直角三角形。
(1) 若$∠ B = 30°$，$c = 20$，则$∠ A =$
(2) 若$a = 10\sqrt{3}$，$b = 10$，则$∠ A =$
(1) 若$∠ B = 30°$，$c = 20$，则$∠ A =$
60°
，$a =$ 10√3
，$b =$ 10
；(2) 若$a = 10\sqrt{3}$，$b = 10$，则$∠ A =$
60°
，$∠ B =$ 30°
，$c =$ 20
。答案
(1)∠A=60°，a=10√3，b=10
(2)∠A=60°，∠B=30°，c=20
(2)∠A=60°，∠B=30°，c=20
解析
【分析】
解直角三角形需要求出所有未知的边和角，用到直角三角形的核心性质：①两锐角互余；②勾股定理；③锐角三角函数的定义。
针对第(1)问：已知一个锐角和斜边，第一步先利用两锐角互余求∠A，第二步再结合30°角的三角函数值，或者特殊直角三角形的边角关系求两条直角边即可。
针对第(2)问：已知两条直角边，第一步可以先用勾股定理求出斜边，第二步利用正切函数求出其中一个锐角，再用两锐角互余求出另一个锐角即可，也可通过边的长度比例判断是否为含30°、60°的特殊直角三角形简化计算。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$c=20$：
① 求$∠ A$：直角三角形两锐角互余，$∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$；
② 求$b$：$∠ B$的对边为$b$，由$\sin B=\frac{b}{c}$，得$b=c·\sin30°=20×\frac{1}{2}=10$；
③ 求$a$：由$\cos B=\frac{a}{c}$，得$a=c·\cos30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$，也可通过勾股定理计算得到相同结果。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=10\sqrt{3}$，$b=10$：
① 求斜边$c$：由勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2+10^2}=\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20$；
② 求$∠ A$：由$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$，且$∠ A$为锐角，得$∠ A=60°$；
③ 求$∠ B$：由两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
【答案】
(1)$60°$，$10\sqrt{3}$，$10$
(2)$60°$，$30°$，$20$
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，考察对直角三角形边角关系的熟练应用，掌握特殊角的三角函数值和直角三角形的基本性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.85
解直角三角形需要求出所有未知的边和角，用到直角三角形的核心性质：①两锐角互余；②勾股定理；③锐角三角函数的定义。
针对第(1)问：已知一个锐角和斜边，第一步先利用两锐角互余求∠A，第二步再结合30°角的三角函数值，或者特殊直角三角形的边角关系求两条直角边即可。
针对第(2)问：已知两条直角边，第一步可以先用勾股定理求出斜边，第二步利用正切函数求出其中一个锐角，再用两锐角互余求出另一个锐角即可，也可通过边的长度比例判断是否为含30°、60°的特殊直角三角形简化计算。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$c=20$：
① 求$∠ A$：直角三角形两锐角互余，$∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$；
② 求$b$：$∠ B$的对边为$b$，由$\sin B=\frac{b}{c}$，得$b=c·\sin30°=20×\frac{1}{2}=10$；
③ 求$a$：由$\cos B=\frac{a}{c}$，得$a=c·\cos30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$，也可通过勾股定理计算得到相同结果。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=10\sqrt{3}$，$b=10$：
① 求斜边$c$：由勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2+10^2}=\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20$；
② 求$∠ A$：由$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$，且$∠ A$为锐角，得$∠ A=60°$；
③ 求$∠ B$：由两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
【答案】
(1)$60°$，$10\sqrt{3}$，$10$
(2)$60°$，$30°$，$20$
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，考察对直角三角形边角关系的熟练应用，掌握特殊角的三角函数值和直角三角形的基本性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.85
思考 2.(1)题目中出现特殊角，想利用直角三角形的边角关系解决，可以怎样构思？
(2)构造直角三角形经常会怎么做？作辅助线应考虑到哪些方面？
(2)构造直角三角形经常会怎么做？作辅助线应考虑到哪些方面？
答案
(1)可以通过作三角形的某条高,将三角形转化成直角三角形,用三角函数来解决。
(2)①作三角形的某条高；
②作三角形高的时候,应该考虑到将某些角或边完整地保留在一个直角三角形中便于解直角三角形。
(2)①作三角形的某条高；
②作三角形高的时候,应该考虑到将某些角或边完整地保留在一个直角三角形中便于解直角三角形。
解析
【分析】
这道题考查解直角三角形的基本解题思路与辅助线构造方法。对于第(1)问，首先明确直角三角形的边角关系仅适用于直角三角形，题目出现特殊角时，核心思路是将含特殊角的图形转化为直角三角形，常用方法是作高构造直角三角形，就能利用特殊角的三角函数值解题。对于第(2)问，构造直角三角形最常用的辅助线是作高，作高时要优先考虑保留已知条件，方便后续计算。
【解析】
(1) 解直角三角形的边角关系（包括特殊角的三角函数值、勾股定理等）仅能在直角三角形中使用，当题目中出现特殊角时，我们可以通过作三角形的某条高，将原三角形转化为含有特殊角的直角三角形，进而使用三角函数等解直角三角形的知识求解相关量。
(2) ①构造直角三角形最常用的方法是作三角形的某条高，将一般三角形分割为直角三角形；②作高作为辅助线时，需要考虑将题目给出的已知角（尤其是特殊角）、已知边完整地保留在同一个直角三角形中，避免拆分已知条件，以便于后续解直角三角形。
【答案】
(1)可以通过作三角形的某条高,将三角形转化成直角三角形,用三角函数来解决。
(2)①作三角形的某条高；
②作三角形高的时候,应该考虑到将某些角或边完整地保留在一个直角三角形中便于解直角三角形。
【知识点】
解直角三角形；特殊角三角函数；辅助线构造
【点评】
本题是对解直角三角形核心解题思路的基础考查，掌握构造直角三角形的常用方法和辅助线的构造原则，能有效将一般三角形的求解问题转化为我们熟悉的直角三角形问题，是解决解直角三角形类题目的重要基础。
【难度系数】
0.8
这道题考查解直角三角形的基本解题思路与辅助线构造方法。对于第(1)问，首先明确直角三角形的边角关系仅适用于直角三角形，题目出现特殊角时，核心思路是将含特殊角的图形转化为直角三角形，常用方法是作高构造直角三角形，就能利用特殊角的三角函数值解题。对于第(2)问，构造直角三角形最常用的辅助线是作高，作高时要优先考虑保留已知条件，方便后续计算。
【解析】
(1) 解直角三角形的边角关系（包括特殊角的三角函数值、勾股定理等）仅能在直角三角形中使用，当题目中出现特殊角时，我们可以通过作三角形的某条高，将原三角形转化为含有特殊角的直角三角形，进而使用三角函数等解直角三角形的知识求解相关量。
(2) ①构造直角三角形最常用的方法是作三角形的某条高，将一般三角形分割为直角三角形；②作高作为辅助线时，需要考虑将题目给出的已知角（尤其是特殊角）、已知边完整地保留在同一个直角三角形中，避免拆分已知条件，以便于后续解直角三角形。
【答案】
(1)可以通过作三角形的某条高,将三角形转化成直角三角形,用三角函数来解决。
(2)①作三角形的某条高；
②作三角形高的时候,应该考虑到将某些角或边完整地保留在一个直角三角形中便于解直角三角形。
【知识点】
解直角三角形；特殊角三角函数；辅助线构造
【点评】
本题是对解直角三角形核心解题思路的基础考查，掌握构造直角三角形的常用方法和辅助线的构造原则，能有效将一般三角形的求解问题转化为我们熟悉的直角三角形问题，是解决解直角三角形类题目的重要基础。
【难度系数】
0.8
2.如图,在△ABC中,已知∠B=45°,∠C=30°,BC=6,则AB=
3√6−3√2
,AC=6√3−6
(结果保留根号)。答案
AB=3√6−3√2，AC=6√3−6
解析
【分析】
本题是已知斜三角形两角及夹边求边长的问题，没有直接可用的直角，因此需要通过作辅助线构造直角三角形求解：①过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为含45°角的Rt△ABD和含30°角的Rt△ACD；②两个直角三角形有公共边AD，设AD为未知数，根据特殊直角三角形的边的关系，分别用未知数表示出BD、CD、AB、AC的长度；③根据BC=BD+CD=6列方程求出AD的长度，再代入AB、AC的表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
1. 在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴∠BAD=∠B=45°，即△ABD为等腰直角三角形，
设AD=BD=x，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$。
2. 在Rt△ACD中，∠C=30°，
∴$AC=2AD=2x$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
3.
∵$BC=BD+CD=6$，
∴$x+\sqrt{3}x=6$，
分母有理化解得$x=\frac{6}{1+\sqrt{3}}=3(\sqrt{3}-1)=3\sqrt{3}-3$。
4. 代入计算边长：
$AB=\sqrt{2}x=\sqrt{2}×(3\sqrt{3}-3)=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$，
$AC=2x=2×(3\sqrt{3}-3)=6\sqrt{3}-6$。
【答案】
$3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$；$6\sqrt{3}-6$
【知识点】
解直角三角形；特殊角直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题的核心是将斜三角形转化为直角三角形求解，作高是常用的辅助线方法，解题时要充分利用特殊角的直角三角形的边的比例关系，通过公共边建立方程求解，计算过程中注意正确进行分母有理化。
【难度系数】
0.6
本题是已知斜三角形两角及夹边求边长的问题，没有直接可用的直角，因此需要通过作辅助线构造直角三角形求解：①过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为含45°角的Rt△ABD和含30°角的Rt△ACD；②两个直角三角形有公共边AD，设AD为未知数，根据特殊直角三角形的边的关系，分别用未知数表示出BD、CD、AB、AC的长度；③根据BC=BD+CD=6列方程求出AD的长度，再代入AB、AC的表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
1. 在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴∠BAD=∠B=45°，即△ABD为等腰直角三角形，
设AD=BD=x，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$。
2. 在Rt△ACD中，∠C=30°，
∴$AC=2AD=2x$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
3.
∵$BC=BD+CD=6$，
∴$x+\sqrt{3}x=6$，
分母有理化解得$x=\frac{6}{1+\sqrt{3}}=3(\sqrt{3}-1)=3\sqrt{3}-3$。
4. 代入计算边长：
$AB=\sqrt{2}x=\sqrt{2}×(3\sqrt{3}-3)=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$，
$AC=2x=2×(3\sqrt{3}-3)=6\sqrt{3}-6$。
【答案】
$3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$；$6\sqrt{3}-6$
【知识点】
解直角三角形；特殊角直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题的核心是将斜三角形转化为直角三角形求解，作高是常用的辅助线方法，解题时要充分利用特殊角的直角三角形的边的比例关系，通过公共边建立方程求解，计算过程中注意正确进行分母有理化。
【难度系数】
0.6
3.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=6,AB=4,求BC的长。
答案
BC=2√19。
解析
【分析】
已知△ABC中AB、AC的长度以及两边的夹角∠BAC的度数，要求BC的长，可通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解：先作BA延长线上的高，利用邻补角求出高所在直角三角形的锐角，再用锐角三角函数求出高和另一段直角边的长度，最后用勾股定理计算BC的长度；也可直接用余弦定理代入数值求解。
【解析】
解法一：构造直角三角形求解
过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D。
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=60°
在Rt△ACD中，AC=6，∠D=90°：
$AD = AC·\cos60° = 6×\frac{1}{2} = 3$
$CD = AC·\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
∵AB=4，
∴$BD = AB + AD = 4 + 3 = 7$
在Rt△BCD中，由勾股定理可得：
$BC² = BD² + CD² = 7² + (3\sqrt{3})² = 49 + 27 = 76$
∵BC为三角形边长，取正值，
∴$BC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$
解法二：余弦定理求解
根据余弦定理：$BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·\cos∠BAC$
代入AB=4，AC=6，∠BAC=120°，$\cos120°=-\frac{1}{2}$：
$BC² = 4² + 6² - 2×4×6×(-\frac{1}{2}) = 16 + 36 + 24 = 76$
∵BC为三角形边长，取正值，
∴$BC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$
【答案】
$BC=2\sqrt{19}$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数
【点评】
本题是解斜三角形的基础题，将斜三角形转化为直角三角形是求解此类问题的常用思路，解题时要注意钝角对应的三角函数值的特征，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7
已知△ABC中AB、AC的长度以及两边的夹角∠BAC的度数，要求BC的长，可通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解：先作BA延长线上的高，利用邻补角求出高所在直角三角形的锐角，再用锐角三角函数求出高和另一段直角边的长度，最后用勾股定理计算BC的长度；也可直接用余弦定理代入数值求解。
【解析】
解法一：构造直角三角形求解
过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D。
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=60°
在Rt△ACD中，AC=6，∠D=90°：
$AD = AC·\cos60° = 6×\frac{1}{2} = 3$
$CD = AC·\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
∵AB=4，
∴$BD = AB + AD = 4 + 3 = 7$
在Rt△BCD中，由勾股定理可得：
$BC² = BD² + CD² = 7² + (3\sqrt{3})² = 49 + 27 = 76$
∵BC为三角形边长，取正值，
∴$BC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$
解法二：余弦定理求解
根据余弦定理：$BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·\cos∠BAC$
代入AB=4，AC=6，∠BAC=120°，$\cos120°=-\frac{1}{2}$：
$BC² = 4² + 6² - 2×4×6×(-\frac{1}{2}) = 16 + 36 + 24 = 76$
∵BC为三角形边长，取正值，
∴$BC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$
【答案】
$BC=2\sqrt{19}$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数
【点评】
本题是解斜三角形的基础题，将斜三角形转化为直角三角形是求解此类问题的常用思路，解题时要注意钝角对应的三角函数值的特征，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.1
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D
)。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.1
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
D
解析
【分析】
要求sinB的值，首先根据锐角正弦的定义，需将∠B放在直角三角形中计算。我们可以借助正方形网格的特点，构造包含∠B的直角三角形，设每个小正方形边长为1，先求出∠B的对边和所在直角三角形斜边的长度，再代入正弦公式计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D。
由网格可得：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
根据锐角正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，网格图形计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的关键是结合网格特征构造合适的直角三角形，灵活运用勾股定理和三角函数的定义求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
要求sinB的值，首先根据锐角正弦的定义，需将∠B放在直角三角形中计算。我们可以借助正方形网格的特点，构造包含∠B的直角三角形，设每个小正方形边长为1，先求出∠B的对边和所在直角三角形斜边的长度，再代入正弦公式计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D。
由网格可得：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
根据锐角正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，网格图形计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的关键是结合网格特征构造合适的直角三角形，灵活运用勾股定理和三角函数的定义求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
2.在有一锐角为$30°$的直角三角形中，已知斜边长为1，则斜边上的高为（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C
）。A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出两条直角边的长度；再利用“等面积法”，即直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
设该直角三角形为△ABC，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=1，斜边上的高为h。
1. 求两条直角边长度：
根据含30°角的直角三角形性质，30°角对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×1 = \frac{1}{2}$
再由勾股定理计算另一条直角边AC：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. 用等面积法列方程求高：
三角形面积$S = \frac{1}{2}×AC×BC = \frac{1}{2}×AB×h$
代入数值：
$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2} = \frac{1}{2}×1×h$
两边同时消去$\frac{1}{2}$，解得：
$h = \frac{\sqrt{3}}{4}$
【答案】
C
【知识点】
30°直角三角形性质、勾股定理、等面积法求高
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，等面积法是计算三角形高线的常用技巧，熟练掌握直角三角形的特殊性质和面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出两条直角边的长度；再利用“等面积法”，即直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
设该直角三角形为△ABC，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=1，斜边上的高为h。
1. 求两条直角边长度：
根据含30°角的直角三角形性质，30°角对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×1 = \frac{1}{2}$
再由勾股定理计算另一条直角边AC：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. 用等面积法列方程求高：
三角形面积$S = \frac{1}{2}×AC×BC = \frac{1}{2}×AB×h$
代入数值：
$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2} = \frac{1}{2}×1×h$
两边同时消去$\frac{1}{2}$，解得：
$h = \frac{\sqrt{3}}{4}$
【答案】
C
【知识点】
30°直角三角形性质、勾股定理、等面积法求高
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，等面积法是计算三角形高线的常用技巧，熟练掌握直角三角形的特殊性质和面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$Rt△ ABC$中,D为BC的中点,若$AD=\sqrt{2}CD$,则$\tan C$的值为(
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
D
)。A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
要计算$\tan C$的值，首先明确在$Rt△ ABC$中$∠ B=90°$，根据正切的定义，$\tan C=\frac{AB}{BC}$，因此需要求出$AB$和$BC$的数量关系。已知$D$是$BC$的中点，可得$BD=CD$，$BC=2CD$；又给出$AD=\sqrt{2}CD$，可先设$CD$的长度为参数，利用$Rt△ ABD$的勾股定理求出$AB$的长度表达式，再代入$\tan C$的定义式计算即可。
【解析】
设$CD=x$，
$\because D$为$BC$的中点，
$\therefore BD=CD=x$，$BC=2CD=2x$，
$\because AD=\sqrt{2}CD$，
$\therefore AD=\sqrt{2}x$，
又$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$，
$\therefore △ ABD$也是直角三角形，由勾股定理得：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$，
代入数值：$AB^2 + x^2 = (\sqrt{2}x)^2$，
整理得$AB^2=2x^2 - x^2=x^2$，
$\because$线段长度为正，$\therefore AB=x$，
根据正切的定义：$\tan C=\frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{∠C的邻边}}=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义，勾股定理，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，结合勾股定理表示出相关线段的长度，通过设参数的方法可以简化计算，避免未知数过多导致运算混乱。
【难度系数】
0.7
要计算$\tan C$的值，首先明确在$Rt△ ABC$中$∠ B=90°$，根据正切的定义，$\tan C=\frac{AB}{BC}$，因此需要求出$AB$和$BC$的数量关系。已知$D$是$BC$的中点，可得$BD=CD$，$BC=2CD$；又给出$AD=\sqrt{2}CD$，可先设$CD$的长度为参数，利用$Rt△ ABD$的勾股定理求出$AB$的长度表达式，再代入$\tan C$的定义式计算即可。
【解析】
设$CD=x$，
$\because D$为$BC$的中点，
$\therefore BD=CD=x$，$BC=2CD=2x$，
$\because AD=\sqrt{2}CD$，
$\therefore AD=\sqrt{2}x$，
又$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$，
$\therefore △ ABD$也是直角三角形，由勾股定理得：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$，
代入数值：$AB^2 + x^2 = (\sqrt{2}x)^2$，
整理得$AB^2=2x^2 - x^2=x^2$，
$\because$线段长度为正，$\therefore AB=x$，
根据正切的定义：$\tan C=\frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{∠C的邻边}}=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义，勾股定理，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，结合勾股定理表示出相关线段的长度，通过设参数的方法可以简化计算，避免未知数过多导致运算混乱。
【难度系数】
0.7
4.某宾馆准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯。已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2 m，其侧面如图所示，
其中AB=2 m，∠C=30°，则购买地毯至少需要
其中AB=2 m，∠C=30°，则购买地毯至少需要
120√3+120
元。答案
120√3+120
解析
【分析】
要计算购买地毯的费用，需先求地毯的总面积：①根据平移的性质，楼梯所有水平台阶的长度和等于BC的长度，所有竖直台阶的长度和等于AB的长度，因此地毯总长度为AB+BC；②在Rt△ABC中，已知AB的长度和∠C的度数，可通过解直角三角形求出BC的长度；③结合楼梯道宽计算地毯面积，再乘以每平方米售价即可得到总费用。
【解析】
根据平移的性质，地毯的总长度为所有竖直台阶长度加所有水平台阶长度，即：$L = AB + BC$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=30°$，$AB=2\mathrm{m}$，
由$\tan C=\frac{AB}{BC}$，可得：
$BC=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}\mathrm{m}$，
因此地毯总长度$L=2 + 2\sqrt{3}\mathrm{m}$。
已知楼梯道宽为$2\mathrm{m}$，则地毯的面积：
$S=L×2=(2 + 2\sqrt{3})×2=4 + 4\sqrt{3}\mathrm{m}^2$。
每平方米售价30元，总费用为：
$30×(4 + 4\sqrt{3})=120 + 120\sqrt{3}$元。
【答案】
$120\sqrt{3}+120$
【知识点】
平移的性质、解直角三角形、面积计算
【点评】
本题结合生活场景出题，需要将实际问题转化为数学问题求解，核心是理解平移后地毯长度等于直角三角形两条直角边的和，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值进行计算。
【难度系数】
0.65
要计算购买地毯的费用，需先求地毯的总面积：①根据平移的性质，楼梯所有水平台阶的长度和等于BC的长度，所有竖直台阶的长度和等于AB的长度，因此地毯总长度为AB+BC；②在Rt△ABC中，已知AB的长度和∠C的度数，可通过解直角三角形求出BC的长度；③结合楼梯道宽计算地毯面积，再乘以每平方米售价即可得到总费用。
【解析】
根据平移的性质，地毯的总长度为所有竖直台阶长度加所有水平台阶长度，即：$L = AB + BC$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=30°$，$AB=2\mathrm{m}$，
由$\tan C=\frac{AB}{BC}$，可得：
$BC=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}\mathrm{m}$，
因此地毯总长度$L=2 + 2\sqrt{3}\mathrm{m}$。
已知楼梯道宽为$2\mathrm{m}$，则地毯的面积：
$S=L×2=(2 + 2\sqrt{3})×2=4 + 4\sqrt{3}\mathrm{m}^2$。
每平方米售价30元，总费用为：
$30×(4 + 4\sqrt{3})=120 + 120\sqrt{3}$元。
【答案】
$120\sqrt{3}+120$
【知识点】
平移的性质、解直角三角形、面积计算
【点评】
本题结合生活场景出题，需要将实际问题转化为数学问题求解，核心是理解平移后地毯长度等于直角三角形两条直角边的和，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值进行计算。
【难度系数】
0.65
