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5.如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(20，0)，OA＝2OB，$\sin∠ AOB = \frac{3}{5}$，则B点的坐标是
(8,6)
。答案
(8,6)
解析
【分析】
要确定平面直角坐标系中点B的坐标，需计算点B到x轴、y轴的距离，即横、纵坐标的绝对值，再结合点B所在象限确定坐标符号。解题思路如下：①首先根据点A的坐标求出OA的长度，结合OA=2OB算出OB的长度；②过点B作x轴的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求出B点的纵坐标，再通过勾股定理求出B点的横坐标，即可得到B点坐标。
【解析】
过点B作BC⊥x轴于点C，则∠BCO=90°。
∵点A的坐标为(20,0)，
∴OA=20，
又
∵OA=2OB，
∴OB=OA÷2=20÷2=10。
在Rt△BOC中，$\sin∠ AOB=\frac{BC}{OB}=\frac{3}{5}$，
∴$BC=OB×\frac{3}{5}=10×\frac{3}{5}=6$。
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵点B在第一象限，
∴B点的坐标为(8,6)。
【答案】
(8,6)
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将求点的坐标问题转化为解直角三角形求线段长度的问题，解题时要注意结合点所在象限判断坐标的符号。
【难度系数】
0.7
要确定平面直角坐标系中点B的坐标，需计算点B到x轴、y轴的距离，即横、纵坐标的绝对值，再结合点B所在象限确定坐标符号。解题思路如下：①首先根据点A的坐标求出OA的长度，结合OA=2OB算出OB的长度；②过点B作x轴的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求出B点的纵坐标，再通过勾股定理求出B点的横坐标，即可得到B点坐标。
【解析】
过点B作BC⊥x轴于点C，则∠BCO=90°。
∵点A的坐标为(20,0)，
∴OA=20，
又
∵OA=2OB，
∴OB=OA÷2=20÷2=10。
在Rt△BOC中，$\sin∠ AOB=\frac{BC}{OB}=\frac{3}{5}$，
∴$BC=OB×\frac{3}{5}=10×\frac{3}{5}=6$。
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵点B在第一象限，
∴B点的坐标为(8,6)。
【答案】
(8,6)
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将求点的坐标问题转化为解直角三角形求线段长度的问题，解题时要注意结合点所在象限判断坐标的符号。
【难度系数】
0.7
6.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=45°$，$∠ C=30°$，边AC的垂直平分线分别交边BC，AC于点D，E，DC=6。求AB的长。
答案
AB的长为3√6
解析
【分析】
首先看到AC的垂直平分线，回忆垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此连接AD可得AD=DC，进而得到等腰△ADC，推出∠ADB的度数。要求AB的长，已知∠B=45°，需要构造直角三角形利用特殊角的三角函数值计算，因此过A作BC边上的高，得到两个直角三角形，先在含60°角的直角三角形中求出高的长度，再在含45°角的直角三角形中求出AB的长即可。
【解析】
解：连接AD，过点A作AH⊥BC于点H。
∵ DE是AC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ AD=DC=6，
∴ ∠DAC=∠C=30°，
∴ ∠ADB=∠DAC+∠C=30°+30°=60°。
在Rt△ADH中，∠AHD=90°，∠ADH=60°，AD=6，
∴ $AH=AD·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠B=45°，
由$\sin B=\frac{AH}{AB}$可得：
$AB=\frac{AH}{\sin45°}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{6}$。
【答案】
$3\sqrt{6}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础综合题，解题核心是结合垂直平分线性质得到相等线段，通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解边长，重点考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先看到AC的垂直平分线，回忆垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此连接AD可得AD=DC，进而得到等腰△ADC，推出∠ADB的度数。要求AB的长，已知∠B=45°，需要构造直角三角形利用特殊角的三角函数值计算，因此过A作BC边上的高，得到两个直角三角形，先在含60°角的直角三角形中求出高的长度，再在含45°角的直角三角形中求出AB的长即可。
【解析】
解：连接AD，过点A作AH⊥BC于点H。
∵ DE是AC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ AD=DC=6，
∴ ∠DAC=∠C=30°，
∴ ∠ADB=∠DAC+∠C=30°+30°=60°。
在Rt△ADH中，∠AHD=90°，∠ADH=60°，AD=6，
∴ $AH=AD·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠B=45°，
由$\sin B=\frac{AH}{AB}$可得：
$AB=\frac{AH}{\sin45°}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{6}$。
【答案】
$3\sqrt{6}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础综合题，解题核心是结合垂直平分线性质得到相等线段，通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解边长，重点考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7.(1)已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，试求腰与底边的比；
(2)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且$\tan∠ABD=\frac{1}{2}$，求BD的长。
(2)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且$\tan∠ABD=\frac{1}{2}$，求BD的长。
答案
(1)腰与底边的比为1:√3
(2)BD的长为$\frac{24\sqrt{5}}{11}$
(2)BD的长为$\frac{24\sqrt{5}}{11}$
解析
【分析】
(1) 对于等腰三角形边长比问题，先利用腰上的高与底边的关系，在高和底边构成的直角三角形中通过三角函数求出底角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用底角的三角函数值推导腰与底边的比值。
(2) 对于直角三角形中求线段BD的问题，先过D作AB的垂线构造直角三角形，利用tan∠ABD的值得出垂线与BE的数量关系，再结合平行线得到的相似三角形对应边成比例，求出垂线的长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算BD的长度。
【解析】
(1) 设等腰△ABC中，AB=AC（即AB、AC为腰，BC为底边），过B作BD⊥AC于D，由题意可知BD=$\frac{1}{2}$BC。
在Rt△BDC中，$\sin C=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}=\frac{1}{2}$，因此∠C=30°。
过A作AE⊥BC于E，由等腰三角形三线合一的性质可知E为BC中点，即EC=$\frac{1}{2}$BC。
在Rt△AEC中，$\cos C=\frac{EC}{AC}$，代入∠C=30°、EC=$\frac{1}{2}$BC得：
$\cos30°=\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{BC}{2AC}$
化简可得$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即腰与底边的比为$1:\sqrt{3}$。
(2) 过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠ABC=90°，
∴DE//BC，可得△ADE∽△ACB。
设DE=x，在Rt△BED中，$\tan∠ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，因此BE=2DE=2x。
∵AB=6，
∴AE=AB-BE=6-2x。
由△ADE∽△ACB，对应边成比例得：$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，代入AB=6、BC=8得：
$\frac{6-2x}{6}=\frac{x}{8}$
交叉相乘得：$8(6-2x)=6x$，即$48-16x=6x$，解得$x=\frac{24}{11}$。
在Rt△BED中，由勾股定理得$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，将$x=\frac{24}{11}$代入得：
$BD=\sqrt{5}×\frac{24}{11}=\frac{24\sqrt{5}}{11}$。
【答案】
(1) 腰与底边的比为$1:\sqrt{3}$；(2) BD的长为$\frac{24\sqrt{5}}{11}$
【知识点】
解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于解直角三角形的典型应用，第一问结合等腰三角形性质和三角函数定义求边长比，第二问通过作垂线构造直角三角形，结合相似三角形的性质求解未知线段，要求熟练掌握三角函数定义、特殊角的三角函数值，以及构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.65
(1) 对于等腰三角形边长比问题，先利用腰上的高与底边的关系，在高和底边构成的直角三角形中通过三角函数求出底角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用底角的三角函数值推导腰与底边的比值。
(2) 对于直角三角形中求线段BD的问题，先过D作AB的垂线构造直角三角形，利用tan∠ABD的值得出垂线与BE的数量关系，再结合平行线得到的相似三角形对应边成比例，求出垂线的长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算BD的长度。
【解析】
(1) 设等腰△ABC中，AB=AC（即AB、AC为腰，BC为底边），过B作BD⊥AC于D，由题意可知BD=$\frac{1}{2}$BC。
在Rt△BDC中，$\sin C=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}=\frac{1}{2}$，因此∠C=30°。
过A作AE⊥BC于E，由等腰三角形三线合一的性质可知E为BC中点，即EC=$\frac{1}{2}$BC。
在Rt△AEC中，$\cos C=\frac{EC}{AC}$，代入∠C=30°、EC=$\frac{1}{2}$BC得：
$\cos30°=\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{BC}{2AC}$
化简可得$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即腰与底边的比为$1:\sqrt{3}$。
(2) 过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠ABC=90°，
∴DE//BC，可得△ADE∽△ACB。
设DE=x，在Rt△BED中，$\tan∠ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，因此BE=2DE=2x。
∵AB=6，
∴AE=AB-BE=6-2x。
由△ADE∽△ACB，对应边成比例得：$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，代入AB=6、BC=8得：
$\frac{6-2x}{6}=\frac{x}{8}$
交叉相乘得：$8(6-2x)=6x$，即$48-16x=6x$，解得$x=\frac{24}{11}$。
在Rt△BED中，由勾股定理得$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，将$x=\frac{24}{11}$代入得：
$BD=\sqrt{5}×\frac{24}{11}=\frac{24\sqrt{5}}{11}$。
【答案】
(1) 腰与底边的比为$1:\sqrt{3}$；(2) BD的长为$\frac{24\sqrt{5}}{11}$
【知识点】
解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于解直角三角形的典型应用，第一问结合等腰三角形性质和三角函数定义求边长比，第二问通过作垂线构造直角三角形，结合相似三角形的性质求解未知线段，要求熟练掌握三角函数定义、特殊角的三角函数值，以及构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.65
8.苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形。如图，AC与AD分别为正六边形ABCDEF的两条对角线，则$\frac{AC}{AD}=$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用正六边形的性质明确其各边相等、每个内角为120°，且过相对顶点的对角线长度为边长的2倍。我们可以先设正六边形的边长为1简化计算，先通过等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，利用解直角三角形求出AC的长度，再得到AD的长度，最后计算二者的比值即可。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为1。
1. 计算正六边形内角：正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，因此每个内角$∠ ABC=720°÷6=120°$。
2. 在$△ ABC$中，$AB=BC=1$，$△ ABC$为等腰三角形，过点B作$BH⊥ AC$于点H，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ ABH=\frac{1}{2}∠ ABC=60°$，$AH=HC$。
3. 在$Rt△ ABH$中，$AH=AB·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$AC=2AH=\sqrt{3}$。
4. 正六边形中AD是经过中心的对角线，长度为边长的2倍，因此$AD=2×1=2$。
5. 计算比值：$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
正六边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质
【点评】
本题结合正六边形的几何特征考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握正六边形的边、角特点，通过设单位边长的方式简化计算，是几何线段比值计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正六边形的性质明确其各边相等、每个内角为120°，且过相对顶点的对角线长度为边长的2倍。我们可以先设正六边形的边长为1简化计算，先通过等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，利用解直角三角形求出AC的长度，再得到AD的长度，最后计算二者的比值即可。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为1。
1. 计算正六边形内角：正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，因此每个内角$∠ ABC=720°÷6=120°$。
2. 在$△ ABC$中，$AB=BC=1$，$△ ABC$为等腰三角形，过点B作$BH⊥ AC$于点H，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ ABH=\frac{1}{2}∠ ABC=60°$，$AH=HC$。
3. 在$Rt△ ABH$中，$AH=AB·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$AC=2AH=\sqrt{3}$。
4. 正六边形中AD是经过中心的对角线，长度为边长的2倍，因此$AD=2×1=2$。
5. 计算比值：$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
正六边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质
【点评】
本题结合正六边形的几何特征考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握正六边形的边、角特点，通过设单位边长的方式简化计算，是几何线段比值计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$BC=2$,$\tan B=\dfrac{1}{2}$,$D$是$BC$延长线上一点,$\tan∠ ACD=\dfrac{3}{4}$。
(1)求点$A$到$BD$的距离;
(2)求$\sin A$的值。
(1)求点$A$到$BD$的距离;
(2)求$\sin A$的值。
答案
(1)点A到BD的距离为3
(2)$\sin A=\frac{2}{25}\sqrt{5}$
(2)$\sin A=\frac{2}{25}\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 求点A到BD的距离，可过A作AH⊥BD于H，设AH为x，分别在Rt△ABH、Rt△ACH中根据正切的定义用x表示出BH、CH的长度，再结合BH-CH=BC=2列方程求解，即可得到AH的长度，也就是点A到BD的距离。
(2) 求sin∠BAC的值，先利用勾股定理算出AB、AC的长度，再过C作CE⊥AB于E，利用△ABC面积的两种表示方法求出CE的长度，最后在Rt△ACE中根据正弦的定义即可求出sin∠BAC的值。
【解析】
(1) 过点A作AH⊥BD，垂足为H，设AH=x。
在Rt△ABH中，$\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{1}{2}$，因此$BH=2x$。
在Rt△ACH中，$\tan∠ ACD=\frac{AH}{CH}=\frac{3}{4}$，因此$CH=\frac{4}{3}x$。
由$BH-CH=BC=2$，可得$2x-\frac{4}{3}x=2$，
解得$x=3$，即点A到BD的距离为3。
(2) 由(1)得：$AH=3$，$BH=2×3=6$，$CH=\frac{4}{3}×3=4$。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
过点C作CE⊥AB，垂足为E。
△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}× BC× AH$，也可表示为$\frac{1}{2}× AB× CE$，因此：
$\frac{1}{2}×2×3=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}× CE$，
解得$CE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
在Rt△ACE中，$\sin∠ BAC=\frac{CE}{AC}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{25}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{\dfrac{2\sqrt{5}}{25}}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用，通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形是解题的核心思路，同时结合面积法求高，考查了学生对锐角三角函数、勾股定理等知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求点A到BD的距离，可过A作AH⊥BD于H，设AH为x，分别在Rt△ABH、Rt△ACH中根据正切的定义用x表示出BH、CH的长度，再结合BH-CH=BC=2列方程求解，即可得到AH的长度，也就是点A到BD的距离。
(2) 求sin∠BAC的值，先利用勾股定理算出AB、AC的长度，再过C作CE⊥AB于E，利用△ABC面积的两种表示方法求出CE的长度，最后在Rt△ACE中根据正弦的定义即可求出sin∠BAC的值。
【解析】
(1) 过点A作AH⊥BD，垂足为H，设AH=x。
在Rt△ABH中，$\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{1}{2}$，因此$BH=2x$。
在Rt△ACH中，$\tan∠ ACD=\frac{AH}{CH}=\frac{3}{4}$，因此$CH=\frac{4}{3}x$。
由$BH-CH=BC=2$，可得$2x-\frac{4}{3}x=2$，
解得$x=3$，即点A到BD的距离为3。
(2) 由(1)得：$AH=3$，$BH=2×3=6$，$CH=\frac{4}{3}×3=4$。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
过点C作CE⊥AB，垂足为E。
△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}× BC× AH$，也可表示为$\frac{1}{2}× AB× CE$，因此：
$\frac{1}{2}×2×3=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}× CE$，
解得$CE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
在Rt△ACE中，$\sin∠ BAC=\frac{CE}{AC}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{25}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{\dfrac{2\sqrt{5}}{25}}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用，通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形是解题的核心思路，同时结合面积法求高，考查了学生对锐角三角函数、勾股定理等知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10.阅读材料解决问题:在锐角$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$作$AD⊥ BC$于点$D$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\sin B=\frac{AD}{c}$,所以$AD=c·\sin B$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,
$\sin C=\frac{AD}{b}$,所以$AD=b·\sin C$,即$c·\sin B=b·\sin C$,所以$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
(1)证明:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$；
(2)如图②,求$\sin75°$(结果保留根号)；
(3)如图③,在锐角$△ ABC$中,$AC:BC=7:8$,$\sin A=\frac{4}{7}\sqrt{3}$,$CD⊥ AB$,垂足为
$D$,$BD=8$,求$AB$的长度。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
$\sin C=\frac{AD}{b}$,所以$AD=b·\sin C$,即$c·\sin B=b·\sin C$,所以$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
(1)证明:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$；
(2)如图②,求$\sin75°$(结果保留根号)；
(3)如图③,在锐角$△ ABC$中,$AC:BC=7:8$,$\sin A=\frac{4}{7}\sqrt{3}$,$CD⊥ AB$,垂足为
$D$,$BD=8$,求$AB$的长度。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
(1)证明:如图①,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
在△ACE 中,$\sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{CE}{b}$,
所以$CE=b·\sin A$。
同理$CE=a·\sin B$。
即$b·\sin A=a·\sin B$,
即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。
(2)根据(1)得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$,即$\frac{b}{\sin 60°}=\frac{2}{\sin 45°}$,
所以$b=\sqrt{6}$。
如图②,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°$,在Rt△ABD 中,$∠B=60°$,所以$∠BAD=30°$,
所以$BD=1,AD=\sqrt{3}$。在Rt△ACD 中,$∠C=45°$,所以$CD=AD=\sqrt{3}$,所以$BC=BD+CD=\sqrt{3}+1$,
即$\frac{\sqrt{3}+1}{\sin A}=\frac{2}{\sin 45°}$,所以$\sin 75°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$。
(3)由$AC:BC=7:8$,可设$AC=7x$,则$BC=8x(x＞0)$,依题意$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$,
所以$\frac{8x}{\sin A}=\frac{7x}{\sin B}$。
又$\sin A=\frac{4}{7}\sqrt{3}$,
所以$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$∠B=60°$。
又因为$BD=8$,
所以$CD=BD·\tan B=8\sqrt{3}$。
所以$BC=16$,所以$AC=14$,所以$AD=2$。
所以$AB=2+8=10$。
解析
【分析】
（1）参考材料中推导边角关系的方法，作AB边上的高CE，分别在Rt△ACE和Rt△BCE中用锐角三角函数表示出CE的长度，根据CE相等建立等式，变形即可得到待证结论。
（2）先计算出△ABC中∠BAC=75°，先用（1）中得到的正弦定理求出边b的长度，再作BC边上的高AD，分别在两个直角三角形中求出BD、AD、CD的长度，得到BC的长，再次利用正弦定理即可求出sin75°的值。
（3）先根据AC与BC的比例关系设参数，利用正弦定理求出sinB的值，得到∠B的度数，再在Rt△BCD中利用三角函数求出CD、BC的长度，进而得到AC的长度，在Rt△ACD中用勾股定理求出AD的长度，AB的长度即为AD与BD的和。
【解析】
(1)证明：如图①，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ACE中，$\sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{CE}{b}$，因此$CE=b·\sin A$。
同理在Rt△BCE中，$\sin B=\frac{CE}{BC}=\frac{CE}{a}$，因此$CE=a·\sin B$。
则$b·\sin A=a·\sin B$，等式两边同时除以$\sin A·\sin B$，可得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。
(2)在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-45°=75°$。
根据（1）的正弦定理可得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，代入$∠ B=60°,∠ C=45°,AB=c=2$，即$\frac{b}{\sin 60°}=\frac{2}{\sin 45°}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$b=\sqrt{6}$。
如图②，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，$∠ B=60°,AB=2$，因此$BD=AB·\cos60°=1$，$AD=AB·\sin60°=\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，$∠ C=45°$，因此$CD=AD=\sqrt{3}$，则$BC=BD+CD=1+\sqrt{3}$。
再根据正弦定理$\frac{BC}{\sin∠ BAC}=\frac{AB}{\sin C}$，即$\frac{\sqrt{3}+1}{\sin75°}=\frac{2}{\sin45°}$，
代入$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$\sin75°=\frac{(\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$。
(3)由$AC:BC=7:8$，设$AC=7x,BC=8x(x＞0)$，
根据正弦定理得$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$，即$\frac{8x}{\sin A}=\frac{7x}{\sin B}$，约去x得$\frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}$。
将$\sin A=\frac{4}{7}\sqrt{3}$代入，解得$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为△ABC是锐角三角形，因此$∠ B=60°$。
在Rt△BCD中，$BD=8$，因此$CD=BD·\tan B=8\sqrt{3}$，$BC=\frac{BD}{\cos60°}=16$，
则$8x=16$，解得$x=2$，因此$AC=7x=14$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{14^2-(8\sqrt{3})^2}=2$，
因此$AB=AD+BD=2+8=10$。
【答案】
(1)证明:如图①,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
在△ACE 中,$\sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{CE}{b}$,
所以$CE=b·\sin A$。
同理$CE=a·\sin B$。
即$b·\sin A=a·\sin B$,
即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。
(2)根据(1)得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$,即$\frac{b}{\sin 60°}=\frac{2}{\sin 45°}$,
所以$b=\sqrt{6}$。
如图②,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°$,在Rt△ABD 中,$∠B=60°$,所以$∠BAD=30°$,
所以$BD=1,AD=\sqrt{3}$。在Rt△ACD 中,$∠C=45°$,所以$CD=AD=\sqrt{3}$,所以$BC=BD+CD=\sqrt{3}+1$,
即$\frac{\sqrt{3}+1}{\sin A}=\frac{2}{\sin 45°}$,所以$\sin 75°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$。
(3)由$AC:BC=7:8$,可设$AC=7x$,则$BC=8x(x＞0)$,依题意$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$,
所以$\frac{8x}{\sin A}=\frac{7x}{\sin B}$。
又$\sin A=\frac{4}{7}\sqrt{3}$,
所以$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$∠B=60°$。
又因为$BD=8$,
所以$CD=BD·\tan B=8\sqrt{3}$。
所以$BC=16$,所以$AC=14$,所以$AD=2$。
所以$AB=2+8=10$。
【知识点】
1. 锐角三角函数
2. 正弦定理
3. 解直角三角形
【点评】
本题属于阅读探究类问题，需要先从材料中掌握正弦定理的推导方法，再将定理灵活应用到三角函数值计算、三角形边长求解的问题中，既考查了阅读理解和知识迁移能力，也考查了解直角三角形的运算能力，要求学生具备较好的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
（1）参考材料中推导边角关系的方法，作AB边上的高CE，分别在Rt△ACE和Rt△BCE中用锐角三角函数表示出CE的长度，根据CE相等建立等式，变形即可得到待证结论。
（2）先计算出△ABC中∠BAC=75°，先用（1）中得到的正弦定理求出边b的长度，再作BC边上的高AD，分别在两个直角三角形中求出BD、AD、CD的长度，得到BC的长，再次利用正弦定理即可求出sin75°的值。
（3）先根据AC与BC的比例关系设参数，利用正弦定理求出sinB的值，得到∠B的度数，再在Rt△BCD中利用三角函数求出CD、BC的长度，进而得到AC的长度，在Rt△ACD中用勾股定理求出AD的长度，AB的长度即为AD与BD的和。
【解析】
(1)证明：如图①，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ACE中，$\sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{CE}{b}$，因此$CE=b·\sin A$。
同理在Rt△BCE中，$\sin B=\frac{CE}{BC}=\frac{CE}{a}$，因此$CE=a·\sin B$。
则$b·\sin A=a·\sin B$，等式两边同时除以$\sin A·\sin B$，可得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。
(2)在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-45°=75°$。
根据（1）的正弦定理可得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，代入$∠ B=60°,∠ C=45°,AB=c=2$，即$\frac{b}{\sin 60°}=\frac{2}{\sin 45°}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$b=\sqrt{6}$。
如图②，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，$∠ B=60°,AB=2$，因此$BD=AB·\cos60°=1$，$AD=AB·\sin60°=\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，$∠ C=45°$，因此$CD=AD=\sqrt{3}$，则$BC=BD+CD=1+\sqrt{3}$。
再根据正弦定理$\frac{BC}{\sin∠ BAC}=\frac{AB}{\sin C}$，即$\frac{\sqrt{3}+1}{\sin75°}=\frac{2}{\sin45°}$，
代入$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$\sin75°=\frac{(\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$。
(3)由$AC:BC=7:8$，设$AC=7x,BC=8x(x＞0)$，
根据正弦定理得$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$，即$\frac{8x}{\sin A}=\frac{7x}{\sin B}$，约去x得$\frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}$。
将$\sin A=\frac{4}{7}\sqrt{3}$代入，解得$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为△ABC是锐角三角形，因此$∠ B=60°$。
在Rt△BCD中，$BD=8$，因此$CD=BD·\tan B=8\sqrt{3}$，$BC=\frac{BD}{\cos60°}=16$，
则$8x=16$，解得$x=2$，因此$AC=7x=14$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{14^2-(8\sqrt{3})^2}=2$，
因此$AB=AD+BD=2+8=10$。
【答案】
(1)证明:如图①,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
在△ACE 中,$\sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{CE}{b}$,
所以$CE=b·\sin A$。
同理$CE=a·\sin B$。
即$b·\sin A=a·\sin B$,
即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。
(2)根据(1)得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$,即$\frac{b}{\sin 60°}=\frac{2}{\sin 45°}$,
所以$b=\sqrt{6}$。
如图②,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°$,在Rt△ABD 中,$∠B=60°$,所以$∠BAD=30°$,
所以$BD=1,AD=\sqrt{3}$。在Rt△ACD 中,$∠C=45°$,所以$CD=AD=\sqrt{3}$,所以$BC=BD+CD=\sqrt{3}+1$,
即$\frac{\sqrt{3}+1}{\sin A}=\frac{2}{\sin 45°}$,所以$\sin 75°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$。
(3)由$AC:BC=7:8$,可设$AC=7x$,则$BC=8x(x＞0)$,依题意$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$,
所以$\frac{8x}{\sin A}=\frac{7x}{\sin B}$。
又$\sin A=\frac{4}{7}\sqrt{3}$,
所以$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$∠B=60°$。
又因为$BD=8$,
所以$CD=BD·\tan B=8\sqrt{3}$。
所以$BC=16$,所以$AC=14$,所以$AD=2$。
所以$AB=2+8=10$。
【知识点】
1. 锐角三角函数
2. 正弦定理
3. 解直角三角形
【点评】
本题属于阅读探究类问题，需要先从材料中掌握正弦定理的推导方法，再将定理灵活应用到三角函数值计算、三角形边长求解的问题中，既考查了阅读理解和知识迁移能力，也考查了解直角三角形的运算能力，要求学生具备较好的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
