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二、填空题
1. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$，则$∠ A=$
1. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$，则$∠ A=$
45°
，$∠ B=$60°
，$∠ C=$75°
。答案
1. $45°,60°,75°$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的固定值为180°，题目给出了三个内角的度数比，我们可以设每一份的角度为x，用含x的式子分别表示三个内角，再根据内角和为180°列方程求解，最后代入x的值算出每个角的具体度数即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可知，三角形内角和为180°。
已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，可列方程：
$3x + 4x + 5x = 180°$
合并同类项得：$12x = 180°$
解得：$x = 15°$
因此：
$∠A=3×15°=45°$
$∠B=4×15°=60°$
$∠C=5×15°=75°$
【答案】
$45°,60°,75°$
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配
【点评】
本题属于基础题，考查三角形内角和与比例计算的结合运用，解题核心是牢记三角形内角和为180°，结合比例关系设未知数列方程就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的固定值为180°，题目给出了三个内角的度数比，我们可以设每一份的角度为x，用含x的式子分别表示三个内角，再根据内角和为180°列方程求解，最后代入x的值算出每个角的具体度数即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可知，三角形内角和为180°。
已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，可列方程：
$3x + 4x + 5x = 180°$
合并同类项得：$12x = 180°$
解得：$x = 15°$
因此：
$∠A=3×15°=45°$
$∠B=4×15°=60°$
$∠C=5×15°=75°$
【答案】
$45°,60°,75°$
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配
【点评】
本题属于基础题，考查三角形内角和与比例计算的结合运用，解题核心是牢记三角形内角和为180°，结合比例关系设未知数列方程就能快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 已知△ABC中，∠C比∠A小20°，∠B=80°，则∠C=
40°
。答案
2. $40°$
解析
【分析】
要求∠C的度数，首先回忆三角形内角和定理：三角形的三个内角之和为180°。题目已知∠B的度数，还给出∠C和∠A的数量关系，我们可以设∠C的度数为x，用含x的式子表示出∠A的度数，再代入内角和公式列方程求解即可。
【解析】
解：设∠C的度数为x，
∵∠C比∠A小20°，
∴∠A = x + 20°，
又
∵三角形内角和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°，且∠B=80°，
∴将已知条件代入得：(x + 20°) + 80° + x = 180°，
合并同类项得：2x + 100° = 180°，
移项计算得：2x = 80°，
解得：x = 40°，
即∠C=40°。
【答案】
40°
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角度和差计算
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题关键是结合已知的角度关系将未知角用同一未知数表示，再代入内角和公式求解，主要考察学生对基础定理的掌握和简单的方程计算能力。
【难度系数】
0.9
要求∠C的度数，首先回忆三角形内角和定理：三角形的三个内角之和为180°。题目已知∠B的度数，还给出∠C和∠A的数量关系，我们可以设∠C的度数为x，用含x的式子表示出∠A的度数，再代入内角和公式列方程求解即可。
【解析】
解：设∠C的度数为x，
∵∠C比∠A小20°，
∴∠A = x + 20°，
又
∵三角形内角和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°，且∠B=80°，
∴将已知条件代入得：(x + 20°) + 80° + x = 180°，
合并同类项得：2x + 100° = 180°，
移项计算得：2x = 80°，
解得：x = 40°，
即∠C=40°。
【答案】
40°
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角度和差计算
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题关键是结合已知的角度关系将未知角用同一未知数表示，再代入内角和公式求解，主要考察学生对基础定理的掌握和简单的方程计算能力。
【难度系数】
0.9
3. 如图5, ∠A=35°, 则∠1+∠2+∠3+∠4=
290°
.答案
3. $290°$
解析
【分析】
我们可以观察到图中有两个都包含∠A的三角形：△AED和△ABC。根据三角形内角和为180°的性质，先分别在两个三角形中求出∠1+∠2的和、∠3+∠4的和，再把两个结果相加，就能得到所求的总角度。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
在△AED中：
$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ A=35°$，代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 35° = 145°$
在△ABC中：
$∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
代入$∠ A=35°$得：
$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - 35° = 145°$
因此：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 145° + 145° = 290°$
【答案】
$290°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是识别出两个包含公共角∠A的三角形，分别计算两组角的和再合并即可，解题思路直观，计算量小。
【难度系数】
0.8
我们可以观察到图中有两个都包含∠A的三角形：△AED和△ABC。根据三角形内角和为180°的性质，先分别在两个三角形中求出∠1+∠2的和、∠3+∠4的和，再把两个结果相加，就能得到所求的总角度。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
在△AED中：
$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ A=35°$，代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 35° = 145°$
在△ABC中：
$∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
代入$∠ A=35°$得：
$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - 35° = 145°$
因此：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 145° + 145° = 290°$
【答案】
$290°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是识别出两个包含公共角∠A的三角形，分别计算两组角的和再合并即可，解题思路直观，计算量小。
【难度系数】
0.8
4. 如图6,在$△ ABC$中,点D是$∠ ACB$与$∠ ABC$的角平分线的交点,BD的延长线交AC于点E,且$∠ EDC=50°$,则$∠ A$的度数为
80°
.答案
4. $80°$
解析
【分析】
解题时先利用邻补角的性质求出∠BDC的度数，再结合三角形内角和定理求出∠DBC与∠DCB的度数和；之后根据角平分线的定义推导得到∠ABC与∠ACB的度数和，最后再次运用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠EDC=50°，∠EDC与∠BDC互为邻补角，
∴∠BDC=180°-∠EDC=180°-50°=130°。
在△BDC中，由三角形内角和为180°可得：
∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-130°=50°。
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠DBC+∠DCB)=2×50°=100°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°。
【答案】
$\boxed{80°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题关键是通过角平分线的性质建立两个三角形内角之间的关联，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用邻补角的性质求出∠BDC的度数，再结合三角形内角和定理求出∠DBC与∠DCB的度数和；之后根据角平分线的定义推导得到∠ABC与∠ACB的度数和，最后再次运用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠EDC=50°，∠EDC与∠BDC互为邻补角，
∴∠BDC=180°-∠EDC=180°-50°=130°。
在△BDC中，由三角形内角和为180°可得：
∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-130°=50°。
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠DBC+∠DCB)=2×50°=100°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°。
【答案】
$\boxed{80°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题关键是通过角平分线的性质建立两个三角形内角之间的关联，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图7,某轮船于上午11时30分在B处观测到海岛C在北偏西$25°$方向上,该轮船沿北偏东$50°$方向航行到A处,在A处观测到海岛C在北偏西$70°$方向上,则海岛C处的$∠ C$的度数为
45°
.答案
5. $45°$
解析
【分析】
要计算∠C的度数，需先求出△ABC另外两个内角∠ABC、∠BAC的度数，再结合三角形内角和定理求解。首先根据B处的两个观测方向角，直接相加可得∠ABC的度数；再结合正北方向线互相平行的性质，求出A处相关角度，进而得到∠BAC的度数，最后用三角形内角和180°减去两个已知内角即可得到∠C。
【解析】
设B处正北方向线为BE，A处正北方向线为AD，由方向定义可知AD//BE。
1. 求∠ABC的度数：
在B处观测C为北偏西25°，观测A为北偏东50°，因此$∠ ABC = 25° + 50° = 75°$。
2. 求∠BAC的度数：
因为AD//BE，所以$∠ DAB + ∠ ABE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），已知$∠ ABE=50°$，则$∠ DAB = 180° - 50° = 130°$。
又因为在A处观测C为北偏西70°，即$∠ DAC=70°$，所以$∠ BAC = ∠ DAB - ∠ DAC = 130° - 70° = 60°$。
3. 求∠C的度数：
根据三角形内角和定理，△ABC中$∠ C = 180° - ∠ ABC - ∠ BAC = 180° - 75° - 60° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
方向角、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题将方向角与三角形内角和知识结合考查，解题的核心是准确根据方向角的定义确定三角形的内角度数，是方位角类几何题的常见考法。
【难度系数】
0.7
要计算∠C的度数，需先求出△ABC另外两个内角∠ABC、∠BAC的度数，再结合三角形内角和定理求解。首先根据B处的两个观测方向角，直接相加可得∠ABC的度数；再结合正北方向线互相平行的性质，求出A处相关角度，进而得到∠BAC的度数，最后用三角形内角和180°减去两个已知内角即可得到∠C。
【解析】
设B处正北方向线为BE，A处正北方向线为AD，由方向定义可知AD//BE。
1. 求∠ABC的度数：
在B处观测C为北偏西25°，观测A为北偏东50°，因此$∠ ABC = 25° + 50° = 75°$。
2. 求∠BAC的度数：
因为AD//BE，所以$∠ DAB + ∠ ABE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），已知$∠ ABE=50°$，则$∠ DAB = 180° - 50° = 130°$。
又因为在A处观测C为北偏西70°，即$∠ DAC=70°$，所以$∠ BAC = ∠ DAB - ∠ DAC = 130° - 70° = 60°$。
3. 求∠C的度数：
根据三角形内角和定理，△ABC中$∠ C = 180° - ∠ ABC - ∠ BAC = 180° - 75° - 60° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
方向角、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题将方向角与三角形内角和知识结合考查，解题的核心是准确根据方向角的定义确定三角形的内角度数，是方位角类几何题的常见考法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 在$△ ABC$中,已知$∠ B=∠ A+20°,∠ C=∠ B+50°$,求$△ ABC$的各内角的度数.
1. 在$△ ABC$中,已知$∠ B=∠ A+20°,∠ C=∠ B+50°$,求$△ ABC$的各内角的度数.
答案
1. $\because ∠B=∠A+20°,∠C=∠B+50°, \therefore ∠C=∠A+20°+50°=∠A+70°$,由三角形内角和定理得：
$∠A+∠B+∠C=∠A+∠A+20°+∠A+70°=180°$, 解得 : $∠A=30°, \therefore ∠B=30°+20°=50°, ∠C=30°+70°=100°.$
$∠A+∠B+∠C=∠A+∠A+20°+∠A+70°=180°$, 解得 : $∠A=30°, \therefore ∠B=30°+20°=50°, ∠C=30°+70°=100°.$
解析
【分析】
本题需要求解三角形三个内角的度数，已知三个内角存在明确的数量关系，解题时可先通过等量代换，将∠B、∠C都用含∠A的式子表示，再结合三角形内角和为180°的定理，列出关于∠A的一元一次方程，求出∠A的度数后，再根据已知的角度关系依次计算∠B和∠C的度数即可。
【解析】
解：
∵ ∠B = ∠A + 20°，∠C = ∠B + 50°
∴ ∠C = ∠A + 20° + 50° = ∠A + 70°
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
将∠B、∠C用含∠A的式子代入得：
∠A + (∠A + 20°) + (∠A + 70°) = 180°
整理得：3∠A + 90° = 180°
解得：∠A = 30°
∴ ∠B = ∠A + 20° = 30° + 20° = 50°
∠C = ∠A + 70° = 30° + 70° = 100°
【答案】
∠A=30°，∠B=50°，∠C=100°
【知识点】
三角形内角和定理，等量代换，一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题核心是通过等量代换将多个未知角转化为同一个未知量，结合内角和定理列方程求解，掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题需要求解三角形三个内角的度数，已知三个内角存在明确的数量关系，解题时可先通过等量代换，将∠B、∠C都用含∠A的式子表示，再结合三角形内角和为180°的定理，列出关于∠A的一元一次方程，求出∠A的度数后，再根据已知的角度关系依次计算∠B和∠C的度数即可。
【解析】
解：
∵ ∠B = ∠A + 20°，∠C = ∠B + 50°
∴ ∠C = ∠A + 20° + 50° = ∠A + 70°
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
将∠B、∠C用含∠A的式子代入得：
∠A + (∠A + 20°) + (∠A + 70°) = 180°
整理得：3∠A + 90° = 180°
解得：∠A = 30°
∴ ∠B = ∠A + 20° = 30° + 20° = 50°
∠C = ∠A + 70° = 30° + 70° = 100°
【答案】
∠A=30°，∠B=50°，∠C=100°
【知识点】
三角形内角和定理，等量代换，一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题核心是通过等量代换将多个未知角转化为同一个未知量，结合内角和定理列方程求解，掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图8，DB是△ABC的高，AE平分∠BAC，∠BAE=28°，求∠BFE的度数.
图8
图8答案
$2. \because AE$平分∠BAC,且$∠BAE=28°, \therefore ∠FAD=∠BAE=28°. \because DB$是△ABC的高$, \therefore ∠FDA=90°. $在△AFD中$,∠AFD=180°-∠FAD-∠FDA=62°, \therefore ∠BFE =∠AFD=62°.$
解析
【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：首先根据角平分线的定义，由AE平分∠BAC和已知的∠BAE度数，得到∠FAD的度数；再根据三角形高的定义，由DB是△ABC的高得到∠FDA为90°；接着利用三角形内角和定理计算△AFD中∠AFD的度数；最后根据对顶角相等的性质，即可求出∠BFE的度数。
【解析】
∵ AE平分∠BAC，且∠BAE=28°，
∴ ∠FAD=∠BAE=28°。
∵ DB是△ABC的高，
∴ ∠FDA=90°。
在△AFD中，∠AFD=180°-∠FAD-∠FDA=180°-28°-90°=62°，
∵ ∠BFE和∠AFD是对顶角，
∴ ∠BFE =∠AFD=62°。
【答案】
$\boxed{62°}$
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理、对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，需要结合已知条件推导角的数量关系，解题的关键是熟练掌握相关性质，挖掘图形中隐含的对顶角相等的条件，可快速建立已知角和所求角的关联。
【难度系数】
0.8
解题时可从已知条件逐步推导：首先根据角平分线的定义，由AE平分∠BAC和已知的∠BAE度数，得到∠FAD的度数；再根据三角形高的定义，由DB是△ABC的高得到∠FDA为90°；接着利用三角形内角和定理计算△AFD中∠AFD的度数；最后根据对顶角相等的性质，即可求出∠BFE的度数。
【解析】
∵ AE平分∠BAC，且∠BAE=28°，
∴ ∠FAD=∠BAE=28°。
∵ DB是△ABC的高，
∴ ∠FDA=90°。
在△AFD中，∠AFD=180°-∠FAD-∠FDA=180°-28°-90°=62°，
∵ ∠BFE和∠AFD是对顶角，
∴ ∠BFE =∠AFD=62°。
【答案】
$\boxed{62°}$
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理、对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，需要结合已知条件推导角的数量关系，解题的关键是熟练掌握相关性质，挖掘图形中隐含的对顶角相等的条件，可快速建立已知角和所求角的关联。
【难度系数】
0.8
