3. 如图9，B处在A处的南偏西$60°$方向，C处在A处的南偏东$15°$方向，C处在B处的北偏东$80°$方向，求$∠ ACB$的度数.

3. 如图，由题意得$,∠BAE = 60°,∠CAE = 15°,∠CBD=80°,$$\therefore ∠BAC=60°+15°=75°. \because BD // AE, \therefore ∠ABD=∠BAE=60°, \therefore ∠ABC = 80°-60°=20°, \therefore ∠ACB=180°-20°-75°=85°.$

【分析】
解题可按以下思路推进：首先根据题目中方向角的描述，提取出对应的几何角度：∠BAE=60°、∠CAE=15°、∠CBD=80°；其次先计算△ABC的内角∠BAC，它是∠BAE与∠CAE的和；再利用南北方向线互相平行的特点，根据平行线内错角相等的性质得到∠ABD=∠BAE，进而求出△ABC的第二个内角∠ABC；最后利用三角形内角和为180°，减去已知的两个内角，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：由题意可知：∠BAE = 60°，∠CAE = 15°，∠CBD=80°
1. 计算∠BAC：
∠BAC = ∠BAE + ∠CAE = 60° + 15° = 75°
2. 计算∠ABC：
∵ BD和AE均为南北方向的直线，
∴ BD//AE
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABD = ∠BAE = 60°
∴ ∠ABC = ∠CBD - ∠ABD = 80° - 60° = 20°
3. 计算∠ACB：
在△ABC中，三角形内角和为180°
∴ ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 75° - 20° = 85°
【答案】
如图，由题意得$,∠BAE = 60°,∠CAE = 15°,∠CBD=80°,$$\therefore ∠BAC=60°+15°=75°. \because BD // AE, \therefore ∠ABD=∠BAE=60°, \therefore ∠ABC = 80°-60°=20°, \therefore ∠ACB=180°-20°-75°=85°.$
【知识点】
方向角的应用、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与基础几何计算的结合题型，解题关键是将方位描述准确转化为几何角度关系，再结合平行线性质和三角形内角和定理求解，注重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

4. 有一条公共边的两个三角形称为共边三角形，如图10-1、图10-2、图10-3中的$△ ABC$与$△ DBC$都是共边三角形，以下是共边三角形有关角的性质的探索。

(1)当点A与点D在公共边BC异侧时，若$∠ A=50°,∠ BDC=90°$.
①如图10-1,则$∠ ABC+∠ ACB=$,$∠ DBC+∠ DCB=$;
②若把“异侧”改为“同侧”,如图10-2,求$∠1+∠2$的度数.
(2)如图10-3,若$∠ A≠50°,∠ BDC≠90°$,且点D在$△ ABC$内,请直接写出$∠1+∠2,∠ A,∠ BDC$之间的数量关系.

4. (1) ① $\because$ 在 $△ ABC$ 中 , $∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=50°, \therefore ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°. \because$ 在 $△DBC$ 中,$∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∠D=90°, \therefore ∠DBC+∠DCB=180°-∠D=180°-90°=90°.$ 故答案为:$130°,90°.$ ②由 ① 知 , $∠ABC+∠ACB=130°, ∠DBC+∠DCB=90°, \therefore ∠1+∠2=∠ABC-∠DBC+∠ACB-∠DCB=∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=130°-90°=40°.$
(2) $∠BDC=∠A+∠1+∠2.$ 理由 : 由 ② 知 , $∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC, ∠1+∠2=∠ABC-∠DBC+∠ACB-∠DCB=∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=180°-∠A-(180°-∠BDC)=∠BDC-∠A,$ 即 $∠BDC=∠A+∠1+∠2.$

【分析】
本题围绕三角形内角和定理探究共边三角形的角的数量关系，解题思路如下：
(1)①小题直接对两个三角形分别应用三角形内角和为180°的性质，代入已知顶角度数即可求出对应底角的和；
②小题观察图形可知∠1是∠ABC与∠DBC的差，∠2是∠ACB与∠DCB的差，因此∠1+∠2可转化为两个三角形底角和的差，代入①的结果即可计算；
(2)是特殊情况推广到一般情况，沿用②的思路，先分别用∠A、∠BDC表示两个三角形的底角和，再对∠1+∠2做和差转化，整理即可得到三个角的数量关系。
【解析】
(1)① 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$，
已知$∠ A=50°$，因此$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$；
在$△ DBC$中，$∠ BDC+∠ DBC+∠ DCB=180°$，已知$∠ BDC=90°$，
因此$∠ DBC+∠ DCB=180°-∠ BDC=180°-90°=90°$。
② 由①得$∠ ABC+∠ ACB=130°$，$∠ DBC+∠ DCB=90°$，
根据角的和差关系：$∠1=∠ ABC-∠ DBC$，$∠2=∠ ACB-∠ DCB$，
$\begin{aligned}\therefore∠1+∠2&=(∠ ABC-∠ DBC)+(∠ ACB-∠ DCB)\\&=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ DBC+∠ DCB)\\&=130°-90°=40°\end{aligned}$
(2) 推导如下：
在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
在$△ DBC$中，$∠ DBC+∠ DCB=180°-∠ BDC$，
$\because∠1+∠2=(∠ ABC-∠ DBC)+(∠ ACB-∠ DCB)=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ DBC+∠ DCB)$，
代入得：$∠1+∠2=(180°-∠ A)-(180°-∠ BDC)=∠ BDC-∠ A$，
移项可得$∠ BDC=∠ A+∠1+∠2$。
【答案】
(1)① $\boxed{130°}$，$\boxed{90°}$；② $\boxed{40°}$
(2) $\boxed{∠BDC=∠A+∠1+∠2}$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差运算；等量代换
【点评】
本题从特殊值到一般情况探究共边三角形的角的关系，核心考查三角形内角和定理的应用，解题关键是准确识别角之间的和差关系，通过等量代换完成计算或推导，是巩固三角形内角和应用的典型习题。
【难度系数】
0.8