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1. 如图5,已知线段AB长为4. 现按照以下步骤作图:①分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧,两弧分别相交于点E,F;②过E,F两点作直线,与线段AB相交于点O. 则AO的长为
2
.答案
1. 2
解析
【分析】
首先识别题目的作图本质：题中描述的作图步骤是尺规作线段AB的垂直平分线的标准方法，以线段两端点为圆心、大于$\frac{1}{2}$线段长为半径画弧，两弧交点的连线就是线段的垂直平分线，该直线与线段的交点即为线段的中点。因此点O是AB的中点，AO的长度是AB长度的一半，代入AB的已知长度即可求出AO的长。
【解析】
由作图步骤可知，直线EF是线段AB的垂直平分线，
∴ 点O是线段AB的中点，
∴ $AO=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=4$，代入得：
$AO=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 线段中点的性质
【点评】
本题考查基础尺规作图的原理及简单线段长度计算，要求学生掌握常见尺规作图的操作对应的几何性质，是基础类考题。
【难度系数】
0.9
首先识别题目的作图本质：题中描述的作图步骤是尺规作线段AB的垂直平分线的标准方法，以线段两端点为圆心、大于$\frac{1}{2}$线段长为半径画弧，两弧交点的连线就是线段的垂直平分线，该直线与线段的交点即为线段的中点。因此点O是AB的中点，AO的长度是AB长度的一半，代入AB的已知长度即可求出AO的长。
【解析】
由作图步骤可知，直线EF是线段AB的垂直平分线，
∴ 点O是线段AB的中点，
∴ $AO=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=4$，代入得：
$AO=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 线段中点的性质
【点评】
本题考查基础尺规作图的原理及简单线段长度计算，要求学生掌握常见尺规作图的操作对应的几何性质，是基础类考题。
【难度系数】
0.9
2. 如图6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=5,按以下步骤作图:以点C为圆心,BC长为半径作弧,交AB于点D;分别以点D,B为圆心,大于线段BD长的一半为半径作弧,两弧交于点P,连接CP交AB与点E,则CE=
$\frac{12}{5}$
.答案
2. $\frac{12}{5}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出CP是线段BD的垂直平分线，因此CE与AB垂直，即CE是Rt△ABC斜边AB上的高。接下来我们可以利用三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出CE的长度。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，CP是线段BD的垂直平分线，
∴ CE⊥AB，即CE为Rt△ABC斜边AB上的高。
∵ Rt△ABC的面积可以表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可以表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CE$，
∴ $\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，
代入AC=4，BC=3，AB=5得：
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CE$，
化简得：$12=5CE$，
解得$CE=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线作图
2. 垂直平分线性质
3. 等面积法计算
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，解题的核心是通过作图特征判断出CE是直角三角形斜边上的高，再用等面积法求解，侧重对基础作图规则和基础计算方法的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出CP是线段BD的垂直平分线，因此CE与AB垂直，即CE是Rt△ABC斜边AB上的高。接下来我们可以利用三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出CE的长度。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，CP是线段BD的垂直平分线，
∴ CE⊥AB，即CE为Rt△ABC斜边AB上的高。
∵ Rt△ABC的面积可以表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可以表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CE$，
∴ $\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，
代入AC=4，BC=3，AB=5得：
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CE$，
化简得：$12=5CE$，
解得$CE=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线作图
2. 垂直平分线性质
3. 等面积法计算
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，解题的核心是通过作图特征判断出CE是直角三角形斜边上的高，再用等面积法求解，侧重对基础作图规则和基础计算方法的考查。
【难度系数】
0.7
3. 如图7,已知线段AB,分别以点A,B为圆心,5为半径作弧相交于点C,D.连接CD,点E在CD上,连接CA,CB,EA,EB.若△ABC与△ABE的周长之差为4,则AE的长为
3
.答案
3. 3
解析
【分析】
首先根据作图方法可判断CD是线段AB的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质可得CA=CB，EA=EB；结合作图时半径为5可知CA=5，再根据两个三角形周长之差为4的条件列出等式，化简后即可求出AE的长度。
【解析】
1. 由作图可知，分别以A、B为圆心、5为半径作弧得到点C、D，因此CD是线段AB的垂直平分线，且$CA=CB=5$。
2. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点E在CD上，因此$EA=EB$。
3. 计算两个三角形的周长：
$C_{△ ABC}=CA+CB+AB=5+5+AB=10+AB$
$C_{△ ABE}=EA+EB+AB=2AE+AB$
4. 已知$C_{△ ABC}-C_{△ ABE}=4$，代入得：
$(10+AB)-(2AE+AB)=4$
化简得$10-2AE=4$，解得$AE=3$。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合尺规作图的特征识别出线段垂直平分线，再利用其性质简化周长的差值计算，能够很好地考查学生对垂直平分线性质的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
首先根据作图方法可判断CD是线段AB的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质可得CA=CB，EA=EB；结合作图时半径为5可知CA=5，再根据两个三角形周长之差为4的条件列出等式，化简后即可求出AE的长度。
【解析】
1. 由作图可知，分别以A、B为圆心、5为半径作弧得到点C、D，因此CD是线段AB的垂直平分线，且$CA=CB=5$。
2. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点E在CD上，因此$EA=EB$。
3. 计算两个三角形的周长：
$C_{△ ABC}=CA+CB+AB=5+5+AB=10+AB$
$C_{△ ABE}=EA+EB+AB=2AE+AB$
4. 已知$C_{△ ABC}-C_{△ ABE}=4$，代入得：
$(10+AB)-(2AE+AB)=4$
化简得$10-2AE=4$，解得$AE=3$。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合尺规作图的特征识别出线段垂直平分线，再利用其性质简化周长的差值计算，能够很好地考查学生对垂直平分线性质的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图8,在△ABC中,∠ABC=50°,根据尺规作图痕迹,∠BDE的度数为
65°
.答案
4. 65°
解析
【分析】
解题时首先识别图中的尺规作图痕迹：一是DE为线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得DE垂直BC，即∠BED=90°；二是BD为∠ABC的角平分线，可先求出∠DBE的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算出∠BDE的度数。
【解析】
1. 由尺规作图痕迹可得：DE是线段BC的垂直平分线，BD是∠ABC的角平分线。
2. 因为DE是BC的垂直平分线，所以$DE⊥ BC$，即$∠ BED=90°$。
3. 因为BD平分$∠ ABC$，且$∠ ABC=50°$，所以$∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
4. 在$Rt△ BDE$中，两个锐角互余，因此$∠ BDE=90°-∠ DBE=90°-25°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题核心是准确识别常见的尺规作图类型，再结合对应性质进行角度计算，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别图中的尺规作图痕迹：一是DE为线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得DE垂直BC，即∠BED=90°；二是BD为∠ABC的角平分线，可先求出∠DBE的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算出∠BDE的度数。
【解析】
1. 由尺规作图痕迹可得：DE是线段BC的垂直平分线，BD是∠ABC的角平分线。
2. 因为DE是BC的垂直平分线，所以$DE⊥ BC$，即$∠ BED=90°$。
3. 因为BD平分$∠ ABC$，且$∠ ABC=50°$，所以$∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
4. 在$Rt△ BDE$中，两个锐角互余，因此$∠ BDE=90°-∠ DBE=90°-25°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题核心是准确识别常见的尺规作图类型，再结合对应性质进行角度计算，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图9,在$△ ABC$中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E.若AB=10,AC=7,BC=12,则$△ AED$的周长为
17
.答案
5. 17
解析
【分析】
解题时首先识别题目中两种尺规作图的性质：①以A为圆心、AC长为半径作弧交BC于D，可知AD与AC长度相等；②分别以B、D为圆心作弧得到直线MN，可知MN是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得点E到B、D的距离相等。再将△AED的周长中的线段进行等量代换，转化为已知长度的线段相加即可求解。
【解析】
解：由作图可知：
1. 以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于D，
∴ $ AD = AC = 7 $；
2. 分别以B、D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧得到直线MN，
∴ MN是线段BD的垂直平分线，
∵ 点E在MN上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得 $ ED = EB $。
△AED的周长为 $ C_{△ AED} = AE + ED + AD $，
将 $ ED = EB $ 代入得：$ C_{△ AED} = AE + EB + AD = AB + AD $，
代入AB=10，AD=7，得 $ C_{△ AED} = 10 + 7 = 17 $。
【答案】
17
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 圆的半径相等
3. 等量代换
【点评】
本题核心是识别尺规作图对应的几何性质，通过垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，是线段垂直平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别题目中两种尺规作图的性质：①以A为圆心、AC长为半径作弧交BC于D，可知AD与AC长度相等；②分别以B、D为圆心作弧得到直线MN，可知MN是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得点E到B、D的距离相等。再将△AED的周长中的线段进行等量代换，转化为已知长度的线段相加即可求解。
【解析】
解：由作图可知：
1. 以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于D，
∴ $ AD = AC = 7 $；
2. 分别以B、D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧得到直线MN，
∴ MN是线段BD的垂直平分线，
∵ 点E在MN上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得 $ ED = EB $。
△AED的周长为 $ C_{△ AED} = AE + ED + AD $，
将 $ ED = EB $ 代入得：$ C_{△ AED} = AE + EB + AD = AB + AD $，
代入AB=10，AD=7，得 $ C_{△ AED} = 10 + 7 = 17 $。
【答案】
17
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 圆的半径相等
3. 等量代换
【点评】
本题核心是识别尺规作图对应的几何性质，通过垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，是线段垂直平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图10，在某条公路的同旁有两座城市A,B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么地方，能使两座城市到这所医院的路程一样长？（不用写做法，保留作图痕迹）
1. 如图10，在某条公路的同旁有两座城市A,B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么地方，能使两座城市到这所医院的路程一样长？（不用写做法，保留作图痕迹）
答案
1. 如图1所示.
解析
【分析】
要找到公路上到A、B两座城市路程相等的点，首先明确该点需满足两个条件：①在公路所在直线上；②到点A、点B的距离相等。回忆线段垂直平分线的相关性质：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此我们只需先作出线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与公路的交点就是同时满足两个条件的医院位置。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，结合医院需在公路边上的要求，作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与公路l的交点P即为所求的医院位置，作图保留尺规作垂直平分线的痕迹即可。
【答案】
如图1所示.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、尺规作图
【点评】
本题将实际生活问题转化为几何作图问题，核心考查线段垂直平分线的性质应用，解题时要准确将“路程相等”的实际要求转化为几何中“点到两点距离相等”的条件，掌握线段垂直平分线的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要找到公路上到A、B两座城市路程相等的点，首先明确该点需满足两个条件：①在公路所在直线上；②到点A、点B的距离相等。回忆线段垂直平分线的相关性质：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此我们只需先作出线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与公路的交点就是同时满足两个条件的医院位置。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，结合医院需在公路边上的要求，作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与公路l的交点P即为所求的医院位置，作图保留尺规作垂直平分线的痕迹即可。
【答案】
如图1所示.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、尺规作图
【点评】
本题将实际生活问题转化为几何作图问题，核心考查线段垂直平分线的性质应用，解题时要准确将“路程相等”的实际要求转化为几何中“点到两点距离相等”的条件，掌握线段垂直平分线的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
