3. 如图8,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线上有一点D,点D恰好在线段AC的垂直平分线上,点E在边BC上,$BE=AB$. 求证:点D在线段CE的垂直平分线上.

提示:连接AD、CD,证$△ ABD≌ △ EBD$,得$AD=DE$. 又点D在线段AC的垂直平分线上,所以$AD=CD$,所以$DE=CD$,所以点D在线段CE的垂直平分线上.

【分析】
要证明点D在线段CE的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明DE=CD即可。首先我们可以连接AD、CD，已知点D在AC的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可直接得到AD=CD，此时问题转化为证明AD=DE；再结合BD是∠ABC的平分线可得∠ABD=∠EBD，加上已知AB=BE、BD是公共边，可通过SAS证明△ABD≌△EBD，得到AD=DE；最后通过等量代换得到DE=CD，即可推出结论。
【解析】
证明：连接AD、CD
1. 已知BD平分∠ABC，根据角平分线的定义可得：$∠ ABD=∠ EBD$
2. 在$△ ABD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}AB=BE（已知）\\∠ ABD=∠ EBD（已证）\\BD=BD（公共边）\end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ EBD（SAS）$
根据全等三角形对应边相等可得：$AD=DE$
3. 已知点D在线段AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=CD$
4. 通过等量代换可得：$DE=CD$
根据线段垂直平分线的判定定理（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），可得点D在线段CE的垂直平分线上。
【答案】
点D在线段CE的垂直平分线上，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查基础定理的综合应用能力，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，通过等量代换将待证结论和已知条件建立关联。
【难度系数】
0.7

§15.1.2 线段的垂直平分线(二)
一、选择题
1. 通过如下尺规作图,能得到BD=AD的是()

1. C

【分析】
要得到BD=AD，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可知点D必须在线段AB的垂直平分线上，因此只需判断四个选项的尺规作图中，哪个是作AB的垂直平分线且与BC交于D即可。逐一分析各选项的作图类型，排除不符合的就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：作图为线段BC的垂直平分线，因此D是BC中点，可得BD=DC，无法推出BD=AD，不符合要求；
2. 选项B：作图为∠BAC的角平分线，AD是△ABC的角平分线，角平分线的性质无法推出BD=AD，不符合要求；
3. 选项C：作图为线段AB的垂直平分线，点D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD，符合要求；
4. 选项D：作图为过点A作BC的垂线，AD是△ABC的高，无法推出BD=AD，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线性质，尺规作图识别
【点评】
本题属于基础题，考查常见尺规作图的痕迹识别和线段垂直平分线的性质应用，掌握基本尺规作图的步骤和特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2. 如图1,在△ABC中,AC=6,AD=2,观察图中尺规作图的痕迹,则BD的长为()

A.2
B.3
C.4
D.6

2. C

【分析】
首先识别尺规作图痕迹，可知是作线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得BD=CD。接下来结合已知AC、AD的长度，利用线段和差关系求出CD的长度，即可得到BD的长。
【解析】
解：由尺规作图痕迹可得，所作图形为线段BC的垂直平分线，且点D在该垂直平分线上。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此BD=CD。
已知AC=6，AD=2，点D在线段AC上，因此CD=AC-AD=6-2=4，故BD=CD=4。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图识别；线段和差计算
【点评】
本题考查尺规作图的识别与线段垂直平分线性质的应用，解题核心是通过作图痕迹判断出垂直平分线，再利用性质转化相等线段，结合线段和差运算求解，是基础类的常考题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=6,分别以点A,B为圆心,5为半径画弧,两弧分别交于点M,N,直线MN交AC于点D,连接BD,则△BDC的周长为()

A.11
B.12
C.13
D.14

3. D

【分析】
首先根据题中的作图方法可判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质可得点D到A、B两点的距离相等，即BD=AD。要求△BDC的周长，可通过等量代换将BD替换为AD，此时△BDC的周长就转化为AC与BC的长度之和，代入已知的AC、BC长度即可求出结果。
【解析】
解：由作图可知，直线MN是线段AB的垂直平分线。
∵点D在MN上，
∴根据线段垂直平分线的性质，得BD=AD。
△BDC的周长为：$C_{△ BDC}=BD+DC+BC$
将BD=AD代入，得：
$C_{△ BDC}=AD+DC+BC=AC+BC$
已知AC=8，BC=6，代入得：
$C_{△ BDC}=8+6=14$
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题核心是通过作图特征识别线段垂直平分线，再利用其性质进行线段的等量代换，将未知周长转化为已知线段的和，简化了计算过程，考查了对基础作图和性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

4. 如图3,三个小朋友相约周末出去玩,图中点A,B,C代表三人的家所在的位置,为公平起见,集合地应定在以下什么位置,可以使三个小朋友的家到集合地的距离相等?()

A.在$△ ABC$三条高线所在的直线的交点处
B.在$△ ABC$三条中线的交点处
C.在$△ ABC$三条边的垂直平分线的交点处
D.在$△ ABC$三条角平分线的交点处

4. C

【分析】
解题首先明确题目的核心要求：找到一个点，使其到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等。首先回忆相关性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，反过来，到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。因此到A、B两点距离相等的点都在AB边的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在BC边的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点同时也在AC边的垂直平分线上，该交点到三个顶点的距离都相等。再逐一分析各选项对应交点的性质，排除不符合要求的选项即可。
【解析】
逐一分析各选项对应交点的性质：
1. 选项A：三角形三条高线的交点是垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：三角形三条中线的交点是重心，性质为重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
3. 选项C：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合要求；
4. 选项D：三角形三条角平分线的交点是内心，性质为到三角形三条边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形特殊线交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是区分三角形各特殊线段交点的不同性质，注意辨别“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的点的位置差异，牢记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7

5. 如图4,在$△ ABC$中,分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点D,交AB于点O,连接AD.若$△ ABC$的周长比$△ ADC$的周长大14,则AO的长为()




A.5
B.6
C.7
D.8

5. C

【分析】
首先根据题目描述的尺规作图方法，可判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且垂直平分线平分该线段，可得AD=BD、AO=$\frac{1}{2}$AB。接下来分别表示出△ABC和△ADC的周长，利用AD=BD进行等量代换，就能得出两个三角形的周长差等于AB的长，最后结合周长差为14求出AB的长度，即可计算AO的长。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，MN是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可得：AD=BD，AO=BO=$\frac{1}{2}$AB。
△ABC的周长为：$C_{△ ABC}=AB+BC+AC$，
△ADC的周长为：$C_{△ ADC}=AD+DC+AC$，
∵AD=BD，
∴AD+DC=BD+DC=BC，
∴$C_{△ ABC}-C_{△ ADC}=(AB+BC+AC)-(BC+AC)=AB$，
由题意知$C_{△ ABC}-C_{△ ADC}=14$，
∴AB=14，
∴$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图，三角形周长计算
【点评】
本题将尺规作图与线段垂直平分线的性质结合考查，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成等量代换，找到两个三角形周长差对应的线段，整体难度不高，需要熟练掌握线段垂直平分线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7