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二、填空题
1. “线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是
1. “线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
，逆命题为真
命题(填“真”或“假”).答案
1. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：先把原命题拆分为“题设（条件）”和“结论”两部分，再将题设和结论互换，就能得到逆命题；之后结合线段垂直平分线的判定定理，判断逆命题的真假即可。
原命题可整理为“如果一个点在某条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等”，其中题设是“点在线段的垂直平分线上”，结论是“点到线段两个端点的距离相等”，互换后即可得到逆命题，再结合学过的定理验证真假。
【解析】
第一步：拆分原命题的条件和结论
原命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”中，条件为：点在一条线段的垂直平分线上；结论为：该点到这条线段两个端点的距离相等。
第二步：改写逆命题
将条件和结论互换，得到逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
第三步：判断逆命题真假
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知该逆命题是真命题。
【答案】
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真
【知识点】
逆命题的概念，线段垂直平分线的判定，命题真假判断
【点评】
本题考查逆命题的改写方法以及线段垂直平分线相关定理的应用，核心是准确拆分原命题的条件和结论，同时理清线段垂直平分线的性质和判定的区别与联系，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：先把原命题拆分为“题设（条件）”和“结论”两部分，再将题设和结论互换，就能得到逆命题；之后结合线段垂直平分线的判定定理，判断逆命题的真假即可。
原命题可整理为“如果一个点在某条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等”，其中题设是“点在线段的垂直平分线上”，结论是“点到线段两个端点的距离相等”，互换后即可得到逆命题，再结合学过的定理验证真假。
【解析】
第一步：拆分原命题的条件和结论
原命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”中，条件为：点在一条线段的垂直平分线上；结论为：该点到这条线段两个端点的距离相等。
第二步：改写逆命题
将条件和结论互换，得到逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
第三步：判断逆命题真假
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知该逆命题是真命题。
【答案】
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真
【知识点】
逆命题的概念，线段垂直平分线的判定，命题真假判断
【点评】
本题考查逆命题的改写方法以及线段垂直平分线相关定理的应用，核心是准确拆分原命题的条件和结论，同时理清线段垂直平分线的性质和判定的区别与联系，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
2. 如图4，BD是线段AC的垂直平分线.若AB=5，CD=4，则四边形BADC的周长为
18
.答案
2. 18
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，点B和点D都在AC的垂直平分线BD上，因此可以得到两组相等的线段，再结合四边形周长是四条边长度之和，将相等的线段替换为已知长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵BD是线段AC的垂直平分线
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AB=BC，AD=CD
已知AB=5，CD=4
∴BC=AB=5，AD=CD=4
四边形BADC的周长=AB+BC+CD+AD=5+5+4+4=18
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质；周长的计算
【点评】
本题属于基础类题目，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再代入周长公式计算即可，考查对基础性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，点B和点D都在AC的垂直平分线BD上，因此可以得到两组相等的线段，再结合四边形周长是四条边长度之和，将相等的线段替换为已知长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵BD是线段AC的垂直平分线
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AB=BC，AD=CD
已知AB=5，CD=4
∴BC=AB=5，AD=CD=4
四边形BADC的周长=AB+BC+CD+AD=5+5+4+4=18
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质；周长的计算
【点评】
本题属于基础类题目，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再代入周长公式计算即可，考查对基础性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.9
3. 如图5,在$△ ABC$中,DE是边AB的垂直平分线,
(1)如果$BE=7\ \mathrm{cm}$,那么$AE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2)如果$△ ACE$的周长为$17\ \mathrm{cm}$,$AB$的长为$10\ \mathrm{cm}$,那么$△ ABC$的周长为$\mathrm{cm}$.
(1)如果$BE=7\ \mathrm{cm}$,那么$AE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2)如果$△ ACE$的周长为$17\ \mathrm{cm}$,$AB$的长为$10\ \mathrm{cm}$,那么$△ ABC$的周长为$\mathrm{cm}$.
答案
3. (1)7 (2)27
解析
【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质应用。(1)解题思路：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可直接得到AE与BE的长度关系，代入已知数值即可求解。(2)解题思路：先写出△ACE的周长表达式，结合线段垂直平分线的性质得到AE=BE，将周长表达式中的AE替换为BE，可推导出AC+BC的长度，再加上AB的长度，就能得到△ABC的周长。
【解析】
(1)
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴AE=BE，
又
∵BE=7cm，
∴AE=7cm。
(2)
∵△ACE的周长为17cm，
∴AC + CE + AE = 17cm，
由线段垂直平分线的性质知AE=BE，代入上式可得：
AC + CE + BE = AC + BC = 17cm，
∵△ABC的周长 = AB + BC + AC，且已知AB=10cm，
∴△ABC的周长 = 10cm + 17cm = 27cm。
【答案】
(1)7；(2)27
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质；2. 三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是利用性质完成相等线段的代换，不需要复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查线段垂直平分线的性质应用。(1)解题思路：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可直接得到AE与BE的长度关系，代入已知数值即可求解。(2)解题思路：先写出△ACE的周长表达式，结合线段垂直平分线的性质得到AE=BE，将周长表达式中的AE替换为BE，可推导出AC+BC的长度，再加上AB的长度，就能得到△ABC的周长。
【解析】
(1)
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴AE=BE，
又
∵BE=7cm，
∴AE=7cm。
(2)
∵△ACE的周长为17cm，
∴AC + CE + AE = 17cm，
由线段垂直平分线的性质知AE=BE，代入上式可得：
AC + CE + BE = AC + BC = 17cm，
∵△ABC的周长 = AB + BC + AC，且已知AB=10cm，
∴△ABC的周长 = 10cm + 17cm = 27cm。
【答案】
(1)7；(2)27
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质；2. 三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是利用性质完成相等线段的代换，不需要复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4*. 在△ABC中,已知AB=AC. 若OB=OC,点A到BC的距离是6,点O到BC的距离是4,则AO=
2或10
.答案
4. 2或10
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC、OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可推出点A和点O都在BC的垂直平分线上，因此A、O两点与BC边上的垂足三点共线。接下来需要考虑点O的位置存在两种情况：①点O和点A在BC的同侧；②点O和点A在BC的异侧，分别计算两种情况下AO的长度即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，点A到BC的距离为6。
又
∵OB=OC，
∴点O也在BC的垂直平分线上，点O到BC的距离为4，
∴A、O两点均在BC的垂直平分线上，即A、O与BC的垂足共线。
分两种情况讨论：
①当点O和点A在BC的同侧时，AO的长度为点A到BC的距离减去点O到BC的距离，即AO=6-4=2；
②当点O和点A在BC的异侧时，AO的长度为点A到BC的距离加上点O到BC的距离，即AO=6+4=10。
综上，AO的长度为2或10。
【答案】
2或10
【知识点】
线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点O的位置有两种情况，仅考虑同侧或者异侧其中一种情况导致漏解，解题时要结合几何图形的性质，全面分析点的可能位置再进行计算。
【难度系数】
0.6
首先根据已知条件AB=AC、OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可推出点A和点O都在BC的垂直平分线上，因此A、O两点与BC边上的垂足三点共线。接下来需要考虑点O的位置存在两种情况：①点O和点A在BC的同侧；②点O和点A在BC的异侧，分别计算两种情况下AO的长度即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，点A到BC的距离为6。
又
∵OB=OC，
∴点O也在BC的垂直平分线上，点O到BC的距离为4，
∴A、O两点均在BC的垂直平分线上，即A、O与BC的垂足共线。
分两种情况讨论：
①当点O和点A在BC的同侧时，AO的长度为点A到BC的距离减去点O到BC的距离，即AO=6-4=2；
②当点O和点A在BC的异侧时，AO的长度为点A到BC的距离加上点O到BC的距离，即AO=6+4=10。
综上，AO的长度为2或10。
【答案】
2或10
【知识点】
线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点O的位置有两种情况，仅考虑同侧或者异侧其中一种情况导致漏解，解题时要结合几何图形的性质，全面分析点的可能位置再进行计算。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 如图6，已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=AD.
(1)求证:BC=CD.
(2)连接BD，交AC于点O，则AC与BD有怎样的关系？并说明理由.
1. 如图6，已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=AD.
(1)求证:BC=CD.
(2)连接BD，交AC于点O，则AC与BD有怎样的关系？并说明理由.
答案
(1)证明:连接AC,如图所示
. $\because ∠B = ∠D = 90°,AB = AD,AC = AC$,$\therefore Rt△ABC≌ Rt△ADC(HL),\therefore BC=CD$. (2)AC垂直平分BD. 理由如下: $\because AB=AD,BC=CD,\therefore$ 点A、C在线段BD的垂直平分线上, $\therefore AC$垂直平分BD.
解析
【分析】
(1) 要证明BC=CD，可通过证明两条边所在的三角形全等求解。已知∠B、∠D均为直角，AB=AD，可连接公共边AC，构造两个直角三角形，利用HL定理证明三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 探究AC与BD的关系时，结合已知AB=AD和(1)中得到的BC=CD，根据线段垂直平分线的判定定理，可知点A、C都在BD的垂直平分线上，结合“两点确定一条直线”即可得到AC和BD的关系。
【解析】
(1) 证明：连接AC，如图所示。
∵ ∠B = ∠D = 90°，
∴ △ABC和△ADC都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
$\begin{cases} AB=AD \\ AC=AC \end{cases}$
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ADC（HL），
∴ BC = CD。
(2) AC垂直平分BD，理由如下：
∵ AB = AD，BC = CD，
∴ 点A、点C都在线段BD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵ 两点确定一条直线，
∴ AC垂直平分BD。
【答案】
(1)证明:连接AC,如图所示. $\because ∠B = ∠D = 90°,AB = AD,AC = AC$,
$\therefore Rt△ABC≌ Rt△ADC(HL),\therefore BC=CD$.
(2)AC垂直平分BD. 理由如下: $\because AB=AD,BC=CD,\therefore$ 点A、C在线段BD的垂直平分线上, $\therefore AC$垂直平分BD.
【知识点】
HL全等判定；线段垂直平分线判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，同时需要熟练掌握直角三角形全等的判定方法和线段垂直平分线的判定定理，这类题目是几何证明的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BC=CD，可通过证明两条边所在的三角形全等求解。已知∠B、∠D均为直角，AB=AD，可连接公共边AC，构造两个直角三角形，利用HL定理证明三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 探究AC与BD的关系时，结合已知AB=AD和(1)中得到的BC=CD，根据线段垂直平分线的判定定理，可知点A、C都在BD的垂直平分线上，结合“两点确定一条直线”即可得到AC和BD的关系。
【解析】
(1) 证明：连接AC，如图所示
。∵ ∠B = ∠D = 90°，
∴ △ABC和△ADC都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
$\begin{cases} AB=AD \\ AC=AC \end{cases}$
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ADC（HL），
∴ BC = CD。
(2) AC垂直平分BD，理由如下：
∵ AB = AD，BC = CD，
∴ 点A、点C都在线段BD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵ 两点确定一条直线，
∴ AC垂直平分BD。
【答案】
(1)证明:连接AC,如图所示
. $\because ∠B = ∠D = 90°,AB = AD,AC = AC$,$\therefore Rt△ABC≌ Rt△ADC(HL),\therefore BC=CD$.
(2)AC垂直平分BD. 理由如下: $\because AB=AD,BC=CD,\therefore$ 点A、C在线段BD的垂直平分线上, $\therefore AC$垂直平分BD.
【知识点】
HL全等判定；线段垂直平分线判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，同时需要熟练掌握直角三角形全等的判定方法和线段垂直平分线的判定定理，这类题目是几何证明的常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图7,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为CE的中点,连接AD,此时∠CAD=24°,∠ACB=66°. 求证:BE=AC.
答案
证明:连接AE, $\because ∠CAD=24°,∠ACB=66°, \therefore ∠ADC=180°-∠CAD-∠ACB=180°-24°-66°=90°, \therefore AD⊥EC. \because$ 点D为CE的中点, $\therefore DE = DC, \therefore AD$是线段CE的垂直平分线, $\therefore AE=AC. \because EF$垂直平分AB, $\therefore AE = BE, \therefore BE = AC.$
解析
【分析】
要证明BE=AC，直接证明两线段相等条件不足，因此考虑借助线段垂直平分线的性质进行等量代换。首先观察到EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接AE后可得到AE=BE，因此只需证明AE=AC即可。接下来结合已知的∠CAD和∠ACB的度数，利用三角形内角和定理计算∠ADC的度数，判断AD与CE的位置关系，再结合D是CE中点的条件，可证明AD是CE的垂直平分线，进而得到AE=AC，最后通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：连接AE，
∵ ∠CAD=24°，∠ACB=66°，
∴ ∠ADC=180°-∠CAD-∠ACB=180°-24°-66°=90°，
∴ AD⊥EC。
∵ 点D为CE的中点，
∴ DE = DC，
∴ AD是线段CE的垂直平分线，
∴ AE=AC。
∵ EF垂直平分AB，
∴ AE = BE，
∴ BE = AC。
【答案】
见上述证明过程，可证得BE=AC。
【知识点】
三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线的性质与判定的综合应用，解题关键是合理添加辅助线AE，结合角度计算得到垂直关系，通过两次垂直平分线性质的应用完成等量代换，属于基础几何证明题，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明BE=AC，直接证明两线段相等条件不足，因此考虑借助线段垂直平分线的性质进行等量代换。首先观察到EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接AE后可得到AE=BE，因此只需证明AE=AC即可。接下来结合已知的∠CAD和∠ACB的度数，利用三角形内角和定理计算∠ADC的度数，判断AD与CE的位置关系，再结合D是CE中点的条件，可证明AD是CE的垂直平分线，进而得到AE=AC，最后通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：连接AE，
∵ ∠CAD=24°，∠ACB=66°，
∴ ∠ADC=180°-∠CAD-∠ACB=180°-24°-66°=90°，
∴ AD⊥EC。
∵ 点D为CE的中点，
∴ DE = DC，
∴ AD是线段CE的垂直平分线，
∴ AE=AC。
∵ EF垂直平分AB，
∴ AE = BE，
∴ BE = AC。
【答案】
见上述证明过程，可证得BE=AC。
【知识点】
三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线的性质与判定的综合应用，解题关键是合理添加辅助线AE，结合角度计算得到垂直关系，通过两次垂直平分线性质的应用完成等量代换，属于基础几何证明题，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
