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三、解答题
1. 计算:
(1)$(-\dfrac{2a}{b^2})^3 ÷ (-\dfrac{4a}{b})^2$
(2)$(-\dfrac{x}{y})^2 · (-\dfrac{y^2}{x}) ÷ (-xy^4)$
(3)$\dfrac{a^2 -1}{a^2 +2a +1} ÷ \dfrac{a^2 -a}{a +1}$
1. 计算:
(1)$(-\dfrac{2a}{b^2})^3 ÷ (-\dfrac{4a}{b})^2$
(2)$(-\dfrac{x}{y})^2 · (-\dfrac{y^2}{x}) ÷ (-xy^4)$
(3)$\dfrac{a^2 -1}{a^2 +2a +1} ÷ \dfrac{a^2 -a}{a +1}$
答案
1. (1)$-\dfrac{a}{2b^4}$ (2)$\dfrac{1}{y^4}$ (3)$\dfrac{1}{a}$
解析
【分析】
这三道题均为分式混合运算题，解题遵循“先算乘方，再算乘除，遇除法先转化为乘法，含多项式的先因式分解再约分”的思路：①对于仅含单项式的分式运算，先按乘方法则计算乘方，注意符号和指数运算规则，再将除法转为乘法，约去分子分母的公因式即可得到结果；②对于含多项式的分式运算，先对分子分母的多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{(2a)^3}{(b^2)^3} ÷ \dfrac{(4a)^2}{b^2}\\&=-\dfrac{8a^3}{b^6} ÷ \dfrac{16a^2}{b^2}\\&=-\dfrac{8a^3}{b^6} × \dfrac{b^2}{16a^2}\\&=-\dfrac{a}{2b^4}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，确定符号后约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x^2}{y^2} · (-\dfrac{y^2}{x}) · (-\dfrac{1}{xy^4})\\&=\dfrac{x^2}{y^2} · \dfrac{y^2}{x} · \dfrac{1}{xy^4}\\&=\dfrac{1}{y^4}\end{aligned}$
(3) 先对分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} ÷ \dfrac{a(a-1)}{a+1}\\&=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} × \dfrac{a+1}{a(a-1)}\\&=\dfrac{1}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{a}{2b^4}$；(2)$\dfrac{1}{y^4}$；(3)$\dfrac{1}{a}$
【知识点】
分式乘除运算，分式乘方运算，因式分解
【点评】
本题主要考查分式混合运算的基本规则，运算时要优先确定结果的符号，严格按照运算顺序计算，对多项式先因式分解再约分可简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这三道题均为分式混合运算题，解题遵循“先算乘方，再算乘除，遇除法先转化为乘法，含多项式的先因式分解再约分”的思路：①对于仅含单项式的分式运算，先按乘方法则计算乘方，注意符号和指数运算规则，再将除法转为乘法，约去分子分母的公因式即可得到结果；②对于含多项式的分式运算，先对分子分母的多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{(2a)^3}{(b^2)^3} ÷ \dfrac{(4a)^2}{b^2}\\&=-\dfrac{8a^3}{b^6} ÷ \dfrac{16a^2}{b^2}\\&=-\dfrac{8a^3}{b^6} × \dfrac{b^2}{16a^2}\\&=-\dfrac{a}{2b^4}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，确定符号后约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x^2}{y^2} · (-\dfrac{y^2}{x}) · (-\dfrac{1}{xy^4})\\&=\dfrac{x^2}{y^2} · \dfrac{y^2}{x} · \dfrac{1}{xy^4}\\&=\dfrac{1}{y^4}\end{aligned}$
(3) 先对分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} ÷ \dfrac{a(a-1)}{a+1}\\&=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} × \dfrac{a+1}{a(a-1)}\\&=\dfrac{1}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{a}{2b^4}$；(2)$\dfrac{1}{y^4}$；(3)$\dfrac{1}{a}$
【知识点】
分式乘除运算，分式乘方运算，因式分解
【点评】
本题主要考查分式混合运算的基本规则，运算时要优先确定结果的符号，严格按照运算顺序计算，对多项式先因式分解再约分可简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
2. 先化简，再求值：
(1) $(\dfrac{a - b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b - a})^3 · (a^2 - b^2)$，其中$a + b = 0$。
(2) $\dfrac{x^4 - y^4}{4x^2 - 4xy + y^2} · \dfrac{2x - y}{xy - y^2} ÷ \dfrac{x^2 + y^2}{(-y)^2}$，其中$x=2, y=3$。
(1) $(\dfrac{a - b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b - a})^3 · (a^2 - b^2)$，其中$a + b = 0$。
(2) $\dfrac{x^4 - y^4}{4x^2 - 4xy + y^2} · \dfrac{2x - y}{xy - y^2} ÷ \dfrac{x^2 + y^2}{(-y)^2}$，其中$x=2, y=3$。
答案
2. (1)化简得$\dfrac{a(a + b)}{b^2}$,代入得0. (2)化简得$\dfrac{(x + y)y}{2x - y}$,代入得15.
解析
【分析】
这两道题属于分式化简求值类题目，解题思路为：先遵循分式运算顺序，先计算乘方，再将除法运算转化为乘法运算，接着对分子、分母中的多项式因式分解，再约去公因式得到最简分式，最后代入已知条件计算结果。解题时需注意符号的处理，因式分解要准确，第一题可利用$a+b=0$整体代换简化计算，第二题代值前需确认分母不为0。
【解析】
(1) 计算过程如下：
$\begin{aligned}&(\frac{a - b}{ab})^2 · (\frac{-a}{b - a})^3 · (a^2 - b^2)\\=&\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}·\frac{-a^3}{(b-a)^3}·(a+b)(a-b)\\=&\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}·\frac{-a^3}{-(a-b)^3}·(a+b)(a-b)\\=&\frac{a(a+b)}{b^2}\end{aligned}$
将$a+b=0$代入最简式，得：原式$=\frac{a×0}{b^2}=0$。
(2) 计算过程如下：
$\begin{aligned}&\frac{x^4 - y^4}{4x^2 - 4xy + y^2} · \frac{2x - y}{xy - y^2} ÷ \frac{x^2 + y^2}{(-y)^2}\\=&\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{(2x-y)^2}·\frac{2x-y}{y(x-y)}·\frac{y^2}{x^2+y^2}\\=&\frac{y(x+y)}{2x-y}\end{aligned}$
将$x=2,y=3$代入最简式，得：原式$=\frac{3×(2+3)}{2×2-3}=15$。
【答案】
(1) 化简得$\dfrac{a(a + b)}{b^2}$，代入得0；(2) 化简得$\dfrac{(x + y)y}{2x - y}$，代入得15。
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式的混合运算能力，解题核心是准确掌握运算顺序，熟练对多项式进行因式分解，约分时需注意符号判断和公因式的识别，代值时要确保分式有意义。
【难度系数】
0.7
这两道题属于分式化简求值类题目，解题思路为：先遵循分式运算顺序，先计算乘方，再将除法运算转化为乘法运算，接着对分子、分母中的多项式因式分解，再约去公因式得到最简分式，最后代入已知条件计算结果。解题时需注意符号的处理，因式分解要准确，第一题可利用$a+b=0$整体代换简化计算，第二题代值前需确认分母不为0。
【解析】
(1) 计算过程如下：
$\begin{aligned}&(\frac{a - b}{ab})^2 · (\frac{-a}{b - a})^3 · (a^2 - b^2)\\=&\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}·\frac{-a^3}{(b-a)^3}·(a+b)(a-b)\\=&\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}·\frac{-a^3}{-(a-b)^3}·(a+b)(a-b)\\=&\frac{a(a+b)}{b^2}\end{aligned}$
将$a+b=0$代入最简式，得：原式$=\frac{a×0}{b^2}=0$。
(2) 计算过程如下：
$\begin{aligned}&\frac{x^4 - y^4}{4x^2 - 4xy + y^2} · \frac{2x - y}{xy - y^2} ÷ \frac{x^2 + y^2}{(-y)^2}\\=&\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{(2x-y)^2}·\frac{2x-y}{y(x-y)}·\frac{y^2}{x^2+y^2}\\=&\frac{y(x+y)}{2x-y}\end{aligned}$
将$x=2,y=3$代入最简式，得：原式$=\frac{3×(2+3)}{2×2-3}=15$。
【答案】
(1) 化简得$\dfrac{a(a + b)}{b^2}$，代入得0；(2) 化简得$\dfrac{(x + y)y}{2x - y}$，代入得15。
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式的混合运算能力，解题核心是准确掌握运算顺序，熟练对多项式进行因式分解，约分时需注意符号判断和公因式的识别，代值时要确保分式有意义。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 计算$-\dfrac{37}{13a}+(-\dfrac{2}{13a})$的结果是(
A.$-\dfrac{37}{13a}$
B.$-\dfrac{3}{a}$
C.$-3a$
D.$\dfrac{3}{a}$
1. 计算$-\dfrac{37}{13a}+(-\dfrac{2}{13a})$的结果是(
B
)A.$-\dfrac{37}{13a}$
B.$-\dfrac{3}{a}$
C.$-3a$
D.$\dfrac{3}{a}$
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道同分母分式的加法运算题，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现都是$13a$，属于同分母分式相加，根据同分母分式加减法法则，分母不变，只需将分子相加；其次要注意两个分式的分子都是负数，相加时符号不要出错；最后将得到的结果约分化为最简分式，即可得到答案。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{-37 + (-2)}{13a} \\&=\dfrac{-39}{13a} \\&=-\dfrac{39÷13}{13a÷13} \\&=-\dfrac{3}{a}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心是掌握同分母分式的加减法则，运算过程中要格外注意符号的处理，最终计算结果要化为最简分式，熟练掌握此类题型是学习复杂分式运算的基础。
【难度系数】
0.8
这是一道同分母分式的加法运算题，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现都是$13a$，属于同分母分式相加，根据同分母分式加减法法则，分母不变，只需将分子相加；其次要注意两个分式的分子都是负数，相加时符号不要出错；最后将得到的结果约分化为最简分式，即可得到答案。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{-37 + (-2)}{13a} \\&=\dfrac{-39}{13a} \\&=-\dfrac{39÷13}{13a÷13} \\&=-\dfrac{3}{a}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心是掌握同分母分式的加减法则，运算过程中要格外注意符号的处理，最终计算结果要化为最简分式，熟练掌握此类题型是学习复杂分式运算的基础。
【难度系数】
0.8
2. 化简$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}$的结果是(
A.$\frac{1}{2x}$
B.$\frac{3}{2x}$
C.$\frac{11}{6x}$
D.$\frac{5}{6x}$
C
)A.$\frac{1}{2x}$
B.$\frac{3}{2x}$
C.$\frac{11}{6x}$
D.$\frac{5}{6x}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题是异分母分式的加法运算，解题思路如下：首先确定三个分式的最简公分母，三个分母分别为x、2x、3x，系数的最小公倍数是6，相同字母x的最高次幂为1次，因此最简公分母为6x；接下来将每个分式通分为分母是6x的同分母分式，再按照同分母分式加法法则：分母不变，分子相加，最后化简结果即可。
【解析】
解：先确定最简公分母为$6x$，对各分式通分后计算：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}$
$=\frac{6}{6x}+\frac{3}{6x}+\frac{2}{6x}$
$=\frac{6+3+2}{6x}$
$=\frac{11}{6x}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.异分母分式加减法
2.通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加法的运算步骤，解题的核心是准确找到最简公分母，通分过程注意分子不要漏乘，分子加法计算要仔细，熟练掌握该类运算可为后续复杂分式化简打好基础。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的加法运算，解题思路如下：首先确定三个分式的最简公分母，三个分母分别为x、2x、3x，系数的最小公倍数是6，相同字母x的最高次幂为1次，因此最简公分母为6x；接下来将每个分式通分为分母是6x的同分母分式，再按照同分母分式加法法则：分母不变，分子相加，最后化简结果即可。
【解析】
解：先确定最简公分母为$6x$，对各分式通分后计算：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}$
$=\frac{6}{6x}+\frac{3}{6x}+\frac{2}{6x}$
$=\frac{6+3+2}{6x}$
$=\frac{11}{6x}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.异分母分式加减法
2.通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加法的运算步骤，解题的核心是准确找到最简公分母，通分过程注意分子不要漏乘，分子加法计算要仔细，熟练掌握该类运算可为后续复杂分式化简打好基础。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算结果正确的是(
A.$\frac{1-x}{x-1} - \frac{x-1}{1-x}=2$
B.$\frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+x}=-1$
C.$\frac{x+2}{x-3} - \frac{4}{3-x}=\frac{x+6}{x-3}$
D.$\frac{4x+y}{2x-y} + \frac{3y}{y-2x}=\frac{4x+4y}{2x-y}$
C
)A.$\frac{1-x}{x-1} - \frac{x-1}{1-x}=2$
B.$\frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+x}=-1$
C.$\frac{x+2}{x-3} - \frac{4}{3-x}=\frac{x+6}{x-3}$
D.$\frac{4x+y}{2x-y} + \frac{3y}{y-2x}=\frac{4x+4y}{2x-y}$
答案
3.C
解析
【分析】
这是分式加减法的正误判断题，解题思路是：先观察每个选项里的分式分母，若分母互为相反数，先通过提取负号将分母统一为相同形式，再按照“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”的法则计算，最后化简结果和选项给出的结果对比即可判断对错，计算过程中要特别注意符号变化。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{1-x}{x-1} - \frac{x-1}{1-x} = \frac{-(x-1)}{x-1} - \frac{x-1}{-(x-1)} = -1 - (-1) = 0 ≠ 2$，故A错误；
B选项：$\frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+x} = \frac{x+y}{x+y} = 1 ≠ -1$，故B错误；
C选项：$\frac{x+2}{x-3} - \frac{4}{3-x} = \frac{x+2}{x-3} + \frac{4}{x-3} = \frac{x+2+4}{x-3} = \frac{x+6}{x-3}$，计算结果和选项一致，故C正确；
D选项：$\frac{4x+y}{2x-y} + \frac{3y}{y-2x} = \frac{4x+y}{2x-y} - \frac{3y}{2x-y} = \frac{4x+y-3y}{2x-y} = \frac{4x-2y}{2x-y} = \frac{2(2x-y)}{2x-y} = 2 ≠ \frac{4x+4y}{2x-y}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式加减法法则，同分母分式运算，分式化简
【点评】
本题重点考查分式加减法的计算，核心是掌握分母互为相反数时的变形方法，计算时要留意符号变化，运算后能约分的要化为最简形式，避免因符号或化简错误失分。
【难度系数】
0.7
这是分式加减法的正误判断题，解题思路是：先观察每个选项里的分式分母，若分母互为相反数，先通过提取负号将分母统一为相同形式，再按照“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”的法则计算，最后化简结果和选项给出的结果对比即可判断对错，计算过程中要特别注意符号变化。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{1-x}{x-1} - \frac{x-1}{1-x} = \frac{-(x-1)}{x-1} - \frac{x-1}{-(x-1)} = -1 - (-1) = 0 ≠ 2$，故A错误；
B选项：$\frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+x} = \frac{x+y}{x+y} = 1 ≠ -1$，故B错误；
C选项：$\frac{x+2}{x-3} - \frac{4}{3-x} = \frac{x+2}{x-3} + \frac{4}{x-3} = \frac{x+2+4}{x-3} = \frac{x+6}{x-3}$，计算结果和选项一致，故C正确；
D选项：$\frac{4x+y}{2x-y} + \frac{3y}{y-2x} = \frac{4x+y}{2x-y} - \frac{3y}{2x-y} = \frac{4x+y-3y}{2x-y} = \frac{4x-2y}{2x-y} = \frac{2(2x-y)}{2x-y} = 2 ≠ \frac{4x+4y}{2x-y}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式加减法法则，同分母分式运算，分式化简
【点评】
本题重点考查分式加减法的计算，核心是掌握分母互为相反数时的变形方法，计算时要留意符号变化，运算后能约分的要化为最简形式，避免因符号或化简错误失分。
【难度系数】
0.7
