4. 化简$\frac{12}{m^2 -9} + \frac{2}{m+3}$的结果是()

A.$\frac{m+6}{m^2 -9}$
B.$\frac{2}{m-3}$
C.$\frac{2}{m+3}$
D.$\frac{2m+9}{m^2 -9}$

4.B

【分析】
这是一道异分母分式的加法计算题，解题思路分为三步：第一步先对可因式分解的分母进行分解，利用平方差公式把$m^2-9$拆成$(m+3)(m-3)$，从而确定两个分式的最简公分母是$(m+3)(m-3)$；第二步将两个分式通分为同分母分式，按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加；第三步对计算得到的分式进行约分，化为最简分式后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：先对第一个分式的分母因式分解：
$m^2 -9=(m+3)(m-3)$，因此两个分式的最简公分母为$(m+3)(m-3)$。
将第二个分式通分：$\frac{2}{m+3}=\frac{2(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
原式可转化为：
$\frac{12}{(m+3)(m-3)} + \frac{2(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$=\frac{12 + 2(m-3)}{m^2 -9}$
化简分子：
$12 + 2(m-3)=12 + 2m -6=2m +6=2(m+3)$
因此原式变为：
$=\frac{2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
约去公因式$m+3$（$m≠-3$），得：
$=\frac{2}{m-3}$
【答案】
B
【知识点】
异分母分式加法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题的核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分后正确计算分子，最后注意要将结果约分为最简分式，避免出现未约分的错误。
【难度系数】
0.7

5. 计算$\frac{3x}{x-4y}+\frac{x+y}{4y-x}-\frac{7y}{x-4y}$得()

A.$-\frac{2x+6y}{x-4y}$
B.$\frac{2x+6y}{x-4y}$
C.$-2$
D.$2$

5.D

【分析】
首先观察三个分式的分母，发现$4y-x$与$x-4y$互为相反数，先将第二个分式的分母转化为$x-4y$，转化时注意分子要同步变号，使三个分式变为同分母分式；再根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减；最后对分子化简后约分即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $4y-x=-(x-4y)$
∴ 原式可变形为：
$\frac{3x}{x-4y} - \frac{x+y}{x-4y} - \frac{7y}{x-4y}$
根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减：
$=\frac{3x - (x+y) -7y}{x-4y}$
去括号、合并同类项：
$=\frac{3x -x -y -7y}{x-4y}$
$=\frac{2x - 8y}{x-4y}$
分子提取公因式后约分（$x≠4y$，满足分式有意义的前提）：
$=\frac{2(x-4y)}{x-4y}=2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，整式加减运算
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题的关键是掌握分母互为相反数时的变形技巧，运算时要注意符号的变化，最后结果要化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 计算:(1)$\frac{2x+5}{x^2 -9}+\frac{x-14}{x^2 -9}=$; (2)$\frac{3}{2ab}+\frac{1}{4a^2}=$;
(3)$\frac{x^2 +1}{x -1}+\frac{x^2 -2}{1 -x}=$.

1.(1)$\frac{3}{x+3}$ (2)$\frac{6a+b}{4a^2b}$ (3)$\frac{3}{x-1}$

【分析】
本题考查分式加减法运算，解题思路如下：①同分母分式加减：分母保持不变，分子直接相加减，最后将结果约分化为最简分式；②异分母分式加减：先找到各分母的最简公分母，将分式通分为同分母分式后，再按同分母分式加减法则计算；③分母互为相反数的分式加减：先通过符号变形统一分母，再按同分母法则运算，最终结果需为最简分式或整式。
【解析】
(1) 两个分式为同分母分式，按同分母加减法则计算：
原式=$\frac{(2x+5)+(x-14)}{x^2-9}=\frac{3x-9}{x^2-9}$
对分子分母因式分解：分子$3x-9=3(x-3)$，分母$x^2-9=(x+3)(x-3)$，约去公因式$x-3$，得$\frac{3}{x+3}$。
(2) 两个分式为异分母分式，先找最简公分母为$4a^2b$，通分后计算：
$\frac{3}{2ab}=\frac{3×2a}{2ab×2a}=\frac{6a}{4a^2b}$，$\frac{1}{4a^2}=\frac{1× b}{4a^2× b}=\frac{b}{4a^2b}$
原式=$\frac{6a}{4a^2b}+\frac{b}{4a^2b}=\frac{6a+b}{4a^2b}$，结果已是最简分式。
(3) 两个分母$x-1$和$1-x$互为相反数，先变形统一分母：
原式=$\frac{x^2+1}{x-1}-\frac{x^2-2}{x-1}=\frac{(x^2+1)-(x^2-2)}{x-1}=\frac{3}{x-1}$，结果已是最简分式。
【答案】
(1)$\frac{3}{x+3}$；(2)$\frac{6a+b}{4a^2b}$；(3)$\frac{3}{x-1}$
【知识点】
分式的加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减法的基础典型题，覆盖了同分母、异分母、分母互为相反数三类常见的分式加减考查形式，熟练掌握通分、约分及分式符号变化规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

2. 计算:(1)$\frac{2}{x^2 - 1} - \frac{1}{x - 1}=$; (2)$\frac{x^2}{x + 1} - x + 1=$.

2.(1)$-\frac{1}{x+1}$ (2)$\frac{1}{x+1}$

【分析】
这两道题都是异分母分式的减法运算，解题遵循异分母分式加减法的通用思路：第一步先对可因式分解的分母因式分解，确定最简公分母；第二步利用分式的基本性质通分，将异分母分式转化为同分母分式；第三步按照同分母分式加减法法则，分母不变、分子相减，注意分子为多项式时要加括号避免符号错误；第四步化简分子后约去分子分母的公因式，得到最简结果。如果是整式和分式相减，可把整式看作分母为1的分式再通分计算。
【解析】
(1) 先因式分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
通分后计算：
$\begin{aligned}\frac{2}{x^2 - 1} - \frac{1}{x - 1}&=\frac{2}{(x+1)(x-1)} - \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2 - (x+1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{1-x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{-(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\&=-\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
(2) 把$-x+1$变形为$-(x-1)$，看作分母为1的分式，最简公分母为$x+1$。
通分后计算：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x + 1} - x + 1&=\frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}\\&=\frac{x^2 - (x^2-1)}{x+1}\\&=\frac{x^2 -x^2 +1}{x+1}\\&=\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{x+1}$；(2)$\frac{1}{x+1}$
【知识点】
分式的减法运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式减法的基础运算题，解题的关键是正确确定最简公分母，通分时要注意符号处理，整式与分式相加减时需将整式整体通分，分子为多项式时要加括号，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8

3. 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}=3$，则代数式$\frac{2x -14xy -2y}{x -2xy -y}$的值为.

3.4

【分析】
已知条件是关于x、y的分式等式，无法直接求出x、y的具体值，因此考虑用整体代入法求解。首先先对已知等式通分变形，得到x-y与xy的数量关系，再将所求的代数式整理成含(x-y)和xy的形式，最后把得到的数量关系整体代入计算即可。
【解析】
解：由$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}=3$，通分得：
$\frac{y - x}{xy}=3$
两边同乘$xy$（由原式可知$x≠0,y≠0$，故$xy≠0$），得：
$y - x = 3xy$，即$x - y = -3xy$
将所求代数式整理变形：
$\frac{2x -14xy -2y}{x -2xy -y}=\frac{2(x - y) -14xy}{(x - y) -2xy}$
把$x - y = -3xy$代入上式：
原式$=\frac{2×(-3xy) -14xy}{-3xy -2xy}=\frac{-6xy -14xy}{-5xy}=\frac{-20xy}{-5xy}=4$
【答案】
4
【知识点】
分式的通分；分式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题属于分式化简求值的常见题型，解题核心是避免盲目求解未知数，要善于观察已知条件和待求式的结构特征，通过变形找到可以整体代入的关系式，简化计算过程。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 计算：
(1)$\frac{m}{(m-1)^3} + \frac{m}{(1-m)^3}$
(2)$\frac{12}{m^2 -4} + \frac{2}{m+2}$
(3)$\frac{x+2}{x^2 -2x} - \frac{x-1}{x^2 -4x +4}$

1.(1)0 (2)$\frac{2m+8}{m^2-4}$ (3)$\frac{x-4}{x(x-2)^2}$

【分析】
分式加减法的解题思路为：①先判断分母类型，若分母互为相反数，可利用幂的性质转化为同分母；若为异分母，先对分母因式分解，确定最简公分母；②通分，将异分母分式转化为同分母分式；③同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，注意减法的符号处理；④结果化为最简分式。
第(1)题可利用$(1-m)^3=-(m-1)^3$直接转化为同分母运算；第(2)(3)题先对分母因式分解，找最简公分母通分后再计算即可。
【解析】
(1) 利用奇次幂的性质变形分母：
$\because (1-m)^3=-(m-1)^3$
$\therefore$原式$=\frac{m}{(m-1)^3}+\frac{m}{-(m-1)^3}=\frac{m}{(m-1)^3}-\frac{m}{(m-1)^3}=\frac{m-m}{(m-1)^3}=0$
(2) 先因式分解分母找最简公分母：
$m^2-4=(m+2)(m-2)$，最简公分母为$(m+2)(m-2)$，通分后计算：
原式$=\frac{12}{(m+2)(m-2)}+\frac{2(m-2)}{(m+2)(m-2)}$
$=\frac{12+2(m-2)}{(m+2)(m-2)}$
$=\frac{12+2m-4}{m^2-4}=\frac{2m+8}{m^2-4}$
(3) 先因式分解分母找最简公分母：
$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，最简公分母为$x(x-2)^2$，通分后计算：
原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2}-\frac{x(x-1)}{x(x-2)^2}$
$=\frac{(x^2-4)-(x^2-x)}{x(x-2)^2}$
$=\frac{x^2-4-x^2+x}{x(x-2)^2}=\frac{x-4}{x(x-2)^2}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$
(2) $\boxed{\frac{2m+8}{m^2-4}}$
(3) $\boxed{\frac{x-4}{x(x-2)^2}}$
【知识点】
分式的加减法、因式分解、分式通分
【点评】
本题属于分式加减的基础运算题，解题核心是正确处理分母的变形与通分，需注意互为相反数的分母的转化规则，以及分子做减法运算时的符号变化，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7

2. 先化简,再求值:,其中$a=\frac{3}{2}$

2.$\frac{5}{a}$，$\frac{10}{3}$

【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先对各分式的分母进行观察，将可因式分解的分母因式分解，确定三个分式的最简公分母；第二步对分式进行通分，转化为同分母分式的加减运算；第三步将分子合并后因式分解，约去分子分母的公因式得到最简分式；最后将给定的a的值代入最简分式计算出结果即可。
【解析】
先对第二个分式的分母因式分解：$a^2-3a=a(a-3)$，因此三个分式的最简公分母为$a(a-3)$。
通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3a}{a(a-3)}-\frac{a+6}{a(a-3)}+\frac{3(a-3)}{a(a-3)}\\&=\frac{3a-(a+6)+3(a-3)}{a(a-3)}\\&=\frac{3a-a-6+3a-9}{a(a-3)}\\&=\frac{5a-15}{a(a-3)}\\&=\frac{5(a-3)}{a(a-3)} \quad (a≠3且a≠0)\\&=\frac{5}{a}\end{aligned}$
将$a=\frac{3}{2}$代入$\frac{5}{a}$得：
$\frac{5}{\frac{3}{2}}=5×\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{5}{a}$，求值结果为$\frac{10}{3}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，通分时要准确找到最简公分母，约分时要注意约去的公因式不能为0，运算过程中注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.7