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3. 对于题目:“先化简,再求值:$\frac{x-3}{x^2 - 1} - \frac{1}{1 - x}$,其中$x=2$.”某同学写出了如下解答:
解:$\frac{x-3}{x^2 - 1} - \frac{1}{1 - x} = \frac{x-3}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$
$= \frac{x-3}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$
$=x - 3 - (x + 1)$
$=x - 3 + x + 1$
$=2x - 2$
当$x=2$时,原式$=2×2 - 2=2$.
她的解答正确吗? 如不正确,请你写出正确解答.
解:$\frac{x-3}{x^2 - 1} - \frac{1}{1 - x} = \frac{x-3}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$
$= \frac{x-3}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$
$=x - 3 - (x + 1)$
$=x - 3 + x + 1$
$=2x - 2$
当$x=2$时,原式$=2×2 - 2=2$.
她的解答正确吗? 如不正确,请你写出正确解答.
答案
3. 不正确;原式=$\frac{2}{x+1}$,当$x=2$时,原式=$\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
首先判断该同学的解答存在两处错误：①符号处理错误：$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{x-1}$，因此原式中$-\frac{1}{1-x}$应转化为$+\frac{1}{x-1}$，该同学误写为减$\frac{1}{x-1}$；②运算规则错误：同分母分式加减时应保持分母不变，仅分子相加减，该同学错误地直接去掉了分母。解题时先对分母因式分解，统一分母形式，将异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则运算，化简后代入数值计算即可。
【解析】
解：该同学的解答不正确，正确解答如下：
$\begin{aligned}&\frac{x-3}{x^2 - 1} - \frac{1}{1 - x}\\=&\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} + \frac{1}{x-1}\\=&\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{x-3 + x + 1}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{2x-2}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{2}{x+1}\end{aligned}$
当$x=2$时，代入得：原式$=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
【答案】
不正确；原式=$\frac{2}{x+1}$，当$x=2$时，原式=$\frac{2}{3}$。
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，易错点集中在符号变换和运算规则的误用，计算时要注意负号变换不要出错，同时牢记分式加减不能直接去掉分母，约分要注意识别分子分母的公因式。
【难度系数】
0.7
首先判断该同学的解答存在两处错误：①符号处理错误：$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{x-1}$，因此原式中$-\frac{1}{1-x}$应转化为$+\frac{1}{x-1}$，该同学误写为减$\frac{1}{x-1}$；②运算规则错误：同分母分式加减时应保持分母不变，仅分子相加减，该同学错误地直接去掉了分母。解题时先对分母因式分解，统一分母形式，将异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则运算，化简后代入数值计算即可。
【解析】
解：该同学的解答不正确，正确解答如下：
$\begin{aligned}&\frac{x-3}{x^2 - 1} - \frac{1}{1 - x}\\=&\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} + \frac{1}{x-1}\\=&\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{x-3 + x + 1}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{2x-2}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{2}{x+1}\end{aligned}$
当$x=2$时，代入得：原式$=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
【答案】
不正确；原式=$\frac{2}{x+1}$，当$x=2$时，原式=$\frac{2}{3}$。
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，易错点集中在符号变换和运算规则的误用，计算时要注意负号变换不要出错，同时牢记分式加减不能直接去掉分母，约分要注意识别分子分母的公因式。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 化简$(\dfrac{a}{a-2}-\dfrac{2}{2-a})·\dfrac{4-a^2}{a+2}$的结果是(
A.$-a-2$
B.$a+2$
C.$-a+2$
D.$a-2$
1. 化简$(\dfrac{a}{a-2}-\dfrac{2}{2-a})·\dfrac{4-a^2}{a+2}$的结果是(
A
)A.$-a-2$
B.$a+2$
C.$-a+2$
D.$a-2$
答案
1. A
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题思路分三步：第一步先处理括号内的异分母分式减法，观察到两个分式的分母a-2和2-a互为相反数，先将分母统一为a-2，转化为同分母分式加减计算；第二步对后面乘法部分的分子4-a²用平方差公式因式分解，方便后续约分；第三步将括号内计算的结果和因式分解后的式子相乘，约分化简得到最终结果，计算过程中要重点注意符号的变化。
【解析】
解：按照分式化简步骤如下：
1. 化简括号内的式子：
因为$2-a=-(a-2)$，因此：
$\dfrac{a}{a-2}-\dfrac{2}{2-a}=\dfrac{a}{a-2}+\dfrac{2}{a-2}=\dfrac{a+2}{a-2}$
2. 对乘法部分的分子因式分解：
根据平方差公式，$4-a^2=(2-a)(2+a)=-(a-2)(a+2)$，因此：
$\dfrac{4-a^2}{a+2}=\dfrac{-(a-2)(a+2)}{a+2}=-(a-2)$
3. 计算乘法并约分：
原式$=\dfrac{a+2}{a-2} × [-(a-2)]=-(a+2)=-a-2$
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算，平方差公式，分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题核心是先将异分母分式转化为同分母分式计算，再结合因式分解进行约分，计算过程中要注意互为相反数的分母变形时的符号变化，避免因符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.8
本题是分式的混合运算题，解题思路分三步：第一步先处理括号内的异分母分式减法，观察到两个分式的分母a-2和2-a互为相反数，先将分母统一为a-2，转化为同分母分式加减计算；第二步对后面乘法部分的分子4-a²用平方差公式因式分解，方便后续约分；第三步将括号内计算的结果和因式分解后的式子相乘，约分化简得到最终结果，计算过程中要重点注意符号的变化。
【解析】
解：按照分式化简步骤如下：
1. 化简括号内的式子：
因为$2-a=-(a-2)$，因此：
$\dfrac{a}{a-2}-\dfrac{2}{2-a}=\dfrac{a}{a-2}+\dfrac{2}{a-2}=\dfrac{a+2}{a-2}$
2. 对乘法部分的分子因式分解：
根据平方差公式，$4-a^2=(2-a)(2+a)=-(a-2)(a+2)$，因此：
$\dfrac{4-a^2}{a+2}=\dfrac{-(a-2)(a+2)}{a+2}=-(a-2)$
3. 计算乘法并约分：
原式$=\dfrac{a+2}{a-2} × [-(a-2)]=-(a+2)=-a-2$
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算，平方差公式，分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题核心是先将异分母分式转化为同分母分式计算，再结合因式分解进行约分，计算过程中要注意互为相反数的分母变形时的符号变化，避免因符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.8
2. 计算$\dfrac{a-1}{a} ÷ (a - \dfrac{1}{a})$的正确结果是（
A.$\dfrac{1}{a+1}$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{a-1}$
D.$-1$
A
）A.$\dfrac{1}{a+1}$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{a-1}$
D.$-1$
答案
2. A
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题遵循分式运算顺序：先算括号内的减法，再算括号外的除法。首先将括号内的整式通分转化为同分母分式相减，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
解：第一步先计算括号内的减法：
把$a$通分为分母为$a$的分式，可得
$a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2 - 1}{a}$
第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）：
$\dfrac{a-1}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 1}{a} = \dfrac{a-1}{a} × \dfrac{a}{a^2 - 1}$
第三步利用平方差公式分解因式：$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$，代入后约分：
$\dfrac{a-1}{a} × \dfrac{a}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{1}{a+1}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题考查分式运算的基本规则，运算时需注意先处理括号内的运算，除法转化为乘法后先因式分解再约分，能有效提高运算准确率，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题是分式的混合运算题，解题遵循分式运算顺序：先算括号内的减法，再算括号外的除法。首先将括号内的整式通分转化为同分母分式相减，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
解：第一步先计算括号内的减法：
把$a$通分为分母为$a$的分式，可得
$a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2 - 1}{a}$
第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）：
$\dfrac{a-1}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 1}{a} = \dfrac{a-1}{a} × \dfrac{a}{a^2 - 1}$
第三步利用平方差公式分解因式：$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$，代入后约分：
$\dfrac{a-1}{a} × \dfrac{a}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{1}{a+1}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题考查分式运算的基本规则，运算时需注意先处理括号内的运算，除法转化为乘法后先因式分解再约分，能有效提高运算准确率，避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 若$xy=x-y≠0$,则分式$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$的结果是(
A.$\frac{1}{xy}$
B.$y-x$
C.$1$
D.$-1$
C
)A.$\frac{1}{xy}$
B.$y-x$
C.$1$
D.$-1$
答案
3. C
解析
【分析】
要计算分式$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$的结果，首先遵循异分母分式减法的运算规则，先通分化为同分母分式，再对分子做减法运算，最后结合已知条件$xy=x-y≠0$代入化简后的式子，即可求出结果。
【解析】
先对$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$进行通分，最简公分母为$xy$：
$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy}=\frac{x-y}{xy}$
已知$xy=x-y$，且$xy≠0$，将分子中的$x-y$替换为$xy$，可得：
$\frac{x-y}{xy}=\frac{xy}{xy}=1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 异分母分式减法
2. 分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先将待求分式通分化简，再结合已知条件整体代入求值，计算时注意通分后分子的运算顺序，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要计算分式$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$的结果，首先遵循异分母分式减法的运算规则，先通分化为同分母分式，再对分子做减法运算，最后结合已知条件$xy=x-y≠0$代入化简后的式子，即可求出结果。
【解析】
先对$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$进行通分，最简公分母为$xy$：
$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy}=\frac{x-y}{xy}$
已知$xy=x-y$，且$xy≠0$，将分子中的$x-y$替换为$xy$，可得：
$\frac{x-y}{xy}=\frac{xy}{xy}=1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 异分母分式减法
2. 分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先将待求分式通分化简，再结合已知条件整体代入求值，计算时注意通分后分子的运算顺序，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
4. 已知两个分式：$A=\dfrac{4}{x^2 - 4}$，$B=\dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{1}{2 - x}$，其中$x≠±2$，则A与B的关系是(
A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.A大于B
C
)A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.A大于B
答案
4. C
解析
【分析】
要判断A与B的关系，首先需要对分式B进行化简，再和A作对比。B是两个异分母分式相加，先利用符号变形将分母统一为同分母，再按异分母分式加减法法则计算，最后对比化简后的B与A的表达式即可得出二者关系。
【解析】
先化简分式B：
首先对第二个分式变形：$\dfrac{1}{2-x}=\dfrac{1}{-(x-2)}=-\dfrac{1}{x-2}$
则$B=\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}$
通分，取公分母为$(x+2)(x-2)=x^2-4$，可得：
$B=\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)} - \dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{(x-2)-(x+2)}{x^2-4}$
计算分子：$(x-2)-(x+2)=x-2-x-2=-4$
因此$B=\dfrac{-4}{x^2-4}$
已知$A=\dfrac{4}{x^2-4}$，可得$B=-A$，即A与B互为相反数。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减法；分式化简；相反数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确化简分式B，运算时要注意分母变号时对应的分子符号也要改变，避免因符号错误导致结果出错，化简后直接对比两个分式的表达式即可判断二者关系。
【难度系数】
0.7
要判断A与B的关系，首先需要对分式B进行化简，再和A作对比。B是两个异分母分式相加，先利用符号变形将分母统一为同分母，再按异分母分式加减法法则计算，最后对比化简后的B与A的表达式即可得出二者关系。
【解析】
先化简分式B：
首先对第二个分式变形：$\dfrac{1}{2-x}=\dfrac{1}{-(x-2)}=-\dfrac{1}{x-2}$
则$B=\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}$
通分，取公分母为$(x+2)(x-2)=x^2-4$，可得：
$B=\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)} - \dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{(x-2)-(x+2)}{x^2-4}$
计算分子：$(x-2)-(x+2)=x-2-x-2=-4$
因此$B=\dfrac{-4}{x^2-4}$
已知$A=\dfrac{4}{x^2-4}$，可得$B=-A$，即A与B互为相反数。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减法；分式化简；相反数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确化简分式B，运算时要注意分母变号时对应的分子符号也要改变，避免因符号错误导致结果出错，化简后直接对比两个分式的表达式即可判断二者关系。
【难度系数】
0.7
5. 某人从A地到B地,去时速度为x km/h,回时速度为y km/h,则此人往返的平均速度为(
A.$\frac{x + y}{2}$ km/h
B.$\frac{2xy}{x + y}$ km/h
C.$\frac{xy}{x + y}$ km/h
D.$\frac{2(x + y)}{xy}$ km/h
B
)A.$\frac{x + y}{2}$ km/h
B.$\frac{2xy}{x + y}$ km/h
C.$\frac{xy}{x + y}$ km/h
D.$\frac{2(x + y)}{xy}$ km/h
答案
5. B
解析
【分析】
要计算往返的平均速度，首先需明确平均速度的计算公式为：平均速度=总路程÷总时间，不可直接对去时和回时的速度取算术平均。解题时可先设A地到B地的单程路程为s，分别求出去程、返程的时间，再计算总路程和总时间，代入公式化简后即可得到结果。
【解析】
设A、B两地的单程路程为$ s $ km。
1. 计算去程时间：去时速度为$ x $ km/h，所以去时所用时间$ t_1=\frac{s}{x} $ h；
2. 计算返程时间：回时速度为$ y $ km/h，所以回时所用时间$ t_2=\frac{s}{y} $ h；
3. 计算总路程和总时间：往返总路程为$ 2s $ km，总时间$ t=t_1+t_2=\frac{s}{x}+\frac{s}{y}=\frac{sy+sx}{xy}=\frac{s(x+y)}{xy} $ h；
4. 代入平均速度公式计算：
$ v=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}=\frac{2s}{\frac{s(x+y)}{xy}}=2s×\frac{xy}{s(x+y)}=\frac{2xy}{x+y} $ km/h。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均速度的计算、分式的混合运算、列代数式
【点评】
本题是行程类问题的常考题型，易错点是误将两个速度的算术平均当作平均速度，解题核心是牢记平均速度的计算公式，结合分式的运算法则化简即可求解。
【难度系数】
0.6
要计算往返的平均速度，首先需明确平均速度的计算公式为：平均速度=总路程÷总时间，不可直接对去时和回时的速度取算术平均。解题时可先设A地到B地的单程路程为s，分别求出去程、返程的时间，再计算总路程和总时间，代入公式化简后即可得到结果。
【解析】
设A、B两地的单程路程为$ s $ km。
1. 计算去程时间：去时速度为$ x $ km/h，所以去时所用时间$ t_1=\frac{s}{x} $ h；
2. 计算返程时间：回时速度为$ y $ km/h，所以回时所用时间$ t_2=\frac{s}{y} $ h；
3. 计算总路程和总时间：往返总路程为$ 2s $ km，总时间$ t=t_1+t_2=\frac{s}{x}+\frac{s}{y}=\frac{sy+sx}{xy}=\frac{s(x+y)}{xy} $ h；
4. 代入平均速度公式计算：
$ v=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}=\frac{2s}{\frac{s(x+y)}{xy}}=2s×\frac{xy}{s(x+y)}=\frac{2xy}{x+y} $ km/h。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均速度的计算、分式的混合运算、列代数式
【点评】
本题是行程类问题的常考题型，易错点是误将两个速度的算术平均当作平均速度，解题核心是牢记平均速度的计算公式，结合分式的运算法则化简即可求解。
【难度系数】
0.6
