二、填空题
1. 化简：$( \dfrac{x^2}{x-2} - \dfrac{4}{x-2} ) ÷ \dfrac{x+2}{2x} =$ .
2. 计算：$( \dfrac{a}{a-b} - \dfrac{b}{b-a} ) ÷ ( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} ) =$ .

1. 2x 2. $\dfrac{ab}{a - b}$

【分析】
这两道题均为分式混合运算题，解题遵循分式运算的常规顺序：先计算括号内的加减运算，再计算括号外的乘除运算。同分母分式加减时保持分母不变，分子相加减；异分母分式加减先通分转化为同分母分式再计算；除法运算需转化为乘以除数的倒数，最后通过约分得到最简结果，运算过程中需注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
1. 第一步计算括号内同分母分式的减法：
$\dfrac{x^2}{x-2} - \dfrac{4}{x-2} = \dfrac{x^2 - 4}{x-2}$
对分子用平方差公式因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入得：
$\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x+2$（$x≠2$，约去公因式$x-2$）
第二步将除法转化为乘法计算：
原式$= (x+2) ÷ \dfrac{x+2}{2x} = (x+2) × \dfrac{2x}{x+2}$
约去公因式$x+2$（$x≠-2$），得结果为$2x$。
2. 第一步分别计算两个括号内的运算：
第一个括号：$\dfrac{a}{a-b} - \dfrac{b}{b-a}$，由$b-a=-(a-b)$，转化为同分母分式相加：
$\dfrac{a}{a-b} + \dfrac{b}{a-b} = \dfrac{a+b}{a-b}$
第二个括号：$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$，通分（公分母为$ab$）得：
$\dfrac{b}{ab} + \dfrac{a}{ab} = \dfrac{a+b}{ab}$
第二步将除法转化为乘法计算：
原式$= \dfrac{a+b}{a-b} ÷ \dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{a+b}{a-b} × \dfrac{ab}{a+b}$
约去公因式$a+b$（$a≠0,b≠0,a+b≠0$），得结果为$\dfrac{ab}{a-b}$。
【答案】
1. $2x$ 2. $\dfrac{ab}{a - b}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、通分约分
【点评】
这两道题是分式运算的常规基础题，重点考察分式运算顺序、通分约分以及简单因式分解的应用，运算时需注意符号处理（如$b-a$与$a-b$的转化），避免因符号错误失分，整体计算量小，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

3. 化简：$(1+\dfrac{y}{x})÷(1-\dfrac{y}{x})=$ .
4. 计算：$(-\dfrac{3y}{2x})^2·\dfrac{2x}{y}+\dfrac{x}{y^2}÷\dfrac{3y^2}{x}=$ .

3. $\dfrac{x + y}{x - y}$ 4. $\dfrac{27y^5 + 2x^3}{6xy^4}$

【分析】
第3题是分式的混合运算题，解题思路如下：第一步先计算括号内的异分母分式加减，将整数1转化为分母为x的分式，通分后分别算出两个括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算，约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
第4题同样考查分式混合运算，需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：第一步先算乘方，根据分式乘方法则计算出平方的结果；第二步分别计算乘法和除法运算，约分后得到两个最简分式；第三步对两个异分母分式通分，相加后合并分子即可得到最终结果。
【解析】
3. 解：
先计算括号内的加减：
$1+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x+y}{x}$，
$1-\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{x-y}{x}$，
再将除法转化为乘法计算：
原式$=\dfrac{x+y}{x}÷\dfrac{x-y}{x}=\dfrac{x+y}{x}×\dfrac{x}{x-y}=\dfrac{x+y}{x-y}$。
4. 解：
先计算乘方运算：
$(-\dfrac{3y}{2x})^2=\dfrac{(3y)^2}{(2x)^2}=\dfrac{9y^2}{4x^2}$，
再分别计算乘除运算：
$\dfrac{9y^2}{4x^2}·\dfrac{2x}{y}=\dfrac{9y^2·2x}{4x^2· y}=\dfrac{9y}{2x}$，
$\dfrac{x}{y^2}÷\dfrac{3y^2}{x}=\dfrac{x}{y^2}×\dfrac{x}{3y^2}=\dfrac{x^2}{3y^4}$，
最后通分计算加减：
最简公分母为$6xy^4$，
$\dfrac{9y}{2x}=\dfrac{9y·3y^4}{2x·3y^4}=\dfrac{27y^5}{6xy^4}$，
$\dfrac{x^2}{3y^4}=\dfrac{x^2·2x}{3y^4·2x}=\dfrac{2x^3}{6xy^4}$，
原式$=\dfrac{27y^5}{6xy^4}+\dfrac{2x^3}{6xy^4}=\dfrac{27y^5+2x^3}{6xy^4}$。
【答案】
3. $\dfrac{x + y}{x - y}$ 4. $\dfrac{27y^5 + 2x^3}{6xy^4}$
【知识点】
分式混合运算，分式通分约分，分式乘方运算
【点评】
这两道题是分式运算的基础题型，解题时需严格遵循分式运算的顺序，通分时要找准最简公分母，约分时要准确识别分子分母的公因式，注意计算过程中符号和指数的变化，避免出现低级运算错误。
【难度系数】
0.7

5. 一件工作，甲、乙合作需t小时完成，甲单独做需s小时完成，则乙单独做需要小时。

5. $\dfrac{st}{s - t}$

【分析】
这是典型的工程类分式应用题，解题核心是把总工作量看作单位“1”，结合“工作效率=总工作量÷工作时间”的基本关系推导：首先分别求出甲乙合作的工作效率、甲单独做的工作效率，再用合作效率减去甲的效率得到乙的工作效率，最后用总工作量除以乙的工作效率即可得到乙单独完成需要的时间，计算过程用到分式的加减、除法运算规则。
【解析】
解：将这项工作的总工作量设为单位“1”。
1. 求甲乙合作的工作效率：$\frac{1}{t}$
2. 求甲单独做的工作效率：$\frac{1}{s}$
3. 计算乙的工作效率：
$\frac{1}{t}-\frac{1}{s}=\frac{s}{st}-\frac{t}{st}=\frac{s-t}{st}$
4. 计算乙单独完成的工作时间：
$1÷\frac{s-t}{st}=1×\frac{st}{s-t}=\frac{st}{s-t}$
【答案】
$\dfrac{st}{s - t}$
【知识点】
工程问题数量关系、分式的加减运算、分式的除法运算
【点评】
本题是分式应用的基础题型，重点考察工程问题的解题思路和分式运算的基本功，解题时要注意通分、约分的正确性，同时结合实际意义保证分母$s-t＞0$才有意义。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 计算：$(\dfrac{3n}{m})^2 · \dfrac{1}{n - m} - \dfrac{n}{m} ÷ \dfrac{m}{9}$
2. 计算：$(\dfrac{m - n}{m^2 - 2mn $$ n^2} - \dfrac{mn + n^2}{m^2 - n^2}) · \dfrac{mn}{n - 1}$

1. $\dfrac{9n}{mn - m^2}$ 2. $\dfrac{mn}{n - m}$

【分析】
分式混合运算遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，有括号优先计算括号内的部分：
1. 第一题先计算乘方、将除法转化为乘法，约分后再通分计算减法，最后化简为最简分式即可。
2. 第二题先对括号内两个分式的分子、分母因式分解，约分后计算括号内的减法，再和括号外的分式相乘，注意$1-n$和$n-1$互为相反数的符号转换，最后约分得到结果。
【解析】
1. 计算$(\dfrac{3n}{m})^2 · \dfrac{1}{n - m} - \dfrac{n}{m} ÷ \dfrac{m}{9}$
首先计算乘方、将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{9n^2}{m^2}·\dfrac{1}{n-m}-\dfrac{n}{m}·\dfrac{9}{m}\\&=\dfrac{9n^2}{m^2(n-m)}-\dfrac{9n}{m^2}\end{aligned}$
再通分计算减法：
$\begin{aligned}&=\dfrac{9n^2 - 9n(n-m)}{m^2(n-m)}\\&=\dfrac{9n^2 -9n^2 +9mn}{m^2(n-m)}\\&=\dfrac{9mn}{m^2(n-m)}\end{aligned}$
最后约去公因式$m$：
$=\dfrac{9n}{m(n-m)}=\dfrac{9n}{mn -m^2}$
2. 计算$(\dfrac{m - n}{m^2 - 2mn + n^2} - \dfrac{mn + n^2}{m^2 - n^2}) · \dfrac{mn}{n - 1}$
首先对括号内分式的分子、分母因式分解后约分：
第一个分式：$\dfrac{m-n}{m^2-2mn+n^2}=\dfrac{m-n}{(m-n)^2}=\dfrac{1}{m-n}$
第二个分式：$\dfrac{mn+n^2}{m^2-n^2}=\dfrac{n(m+n)}{(m-n)(m+n)}=\dfrac{n}{m-n}$
再计算括号内的减法：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{1}{m-n}-\dfrac{n}{m-n})·\dfrac{mn}{n-1}\\&=\dfrac{1-n}{m-n}·\dfrac{mn}{n-1}\end{aligned}$
将$1-n=-(n-1)$代入后约分：
$\begin{aligned}&=\dfrac{-(n-1)}{m-n}·\dfrac{mn}{n-1}\\&=-\dfrac{mn}{m-n}=\dfrac{mn}{n-m}\end{aligned}$
【答案】
1. $\dfrac{9n}{mn - m^2}$ 2. $\dfrac{mn}{n - m}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式约分通分
【点评】
这两道题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握因式分解的方法，严格遵循分式运算的顺序，计算时要注意符号的处理，尤其是互为相反数的因式约分时不要漏写负号，最后结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.7

3. 先化简,再求值:$\frac{m}{m+3}-\frac{6}{m^2 -9}÷\frac{2}{m -3}$,其中$m=-2$.

3. $\dfrac{m - 3}{m + 3}$,-5

【分析】
本题是分式化简求值类题目，遵循先化简再代值的解题原则：首先按照分式混合运算顺序，先计算除法运算，再计算减法运算。第一步先利用平方差公式对$m^2-9$因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后再和前面的分式通分计算减法，得到最简结果后，将$m=-2$代入最简式计算即可得到最终值。
【解析】
解：原式$=\frac{m}{m+3}-\frac{6}{(m+3)(m-3)}×\frac{m-3}{2}$
对除法部分约分后可得：
$=\frac{m}{m+3}-\frac{3}{m+3}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{m - 3}{m+3}$
将$m=-2$代入上式计算：
原式$=\frac{-2 - 3}{-2 + 3}=\frac{-5}{1}=-5$
【答案】
化简结果为$\dfrac{m - 3}{m + 3}$，求值结果为$-5$
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式因式分解、代数式求值
【点评】
本题考查分式的混合运算规则，解题时需注意运算顺序：先算乘除，后算加减，因式分解要准确，约分过程中注意不要漏项，代值计算时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8

4. 小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油. 白天和夜间的油价不同,有时白天高,有时夜间高,但不管价格如何变化,他们两人采用固定的加油方式:小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油,小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油. 假设某天白天油的价格为每升a元,夜间油的价格为每升b元(a≠b).
(1)用含a、b的代数式表示(请填化简后的结果):
小军爸爸一天加2次油共花费元,小慧爸爸一天加2次油共花费元;小军爸爸这天加油的平均单价为元/升,小慧爸爸这天加油的平均单价为元/升.
(2)判断谁的加油方式更合算,并通过数学运算说明理由.

4. (1)$60(a+b)$,$600$,$\dfrac{a + b}{2}$,$\dfrac{2ab}{a + b}$
(2)$\dfrac{a + b}{2} - \dfrac{2ab}{a + b} = \dfrac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)} = \dfrac{(a - b)^2}{2(a + b)}$, 而$a≠b,a＞0,b＞0$, $\therefore \dfrac{(a - b)^2}{2(a + b)}＞0$, 从而$\dfrac{a + b}{2} - \dfrac{2ab}{a + b}＞0$, $\therefore \dfrac{a + b}{2}＞\dfrac{2ab}{a + b}$.
因此,小慧爸爸的加油方式比较合算.

【分析】
(1) 第一问解题时先明确数量关系：总花费=单价×加油量，平均单价=总花费÷总加油量。小军爸爸每次固定加60升油，分别计算白天、夜间的花费求和得到总花费，总加油量为两次加油量之和，代入平均单价公式化简即可；小慧爸爸每次固定花300元，两次总花费直接求和，先分别计算白天、夜间的加油量求和得到总加油量，再代入平均单价公式化简。
(2) 第二问判断哪种加油方式合算，本质是比较两人加油平均单价的高低，平均单价更低的更合算，采用作差法比较两个分式的大小，将差通分化简后，结合a、b均为正数且a≠b的条件判断差的正负，即可得出结论。
【解析】
(1) ①小军爸爸白天加油花费60a元，夜间加油花费60b元，总花费为$60a+60b=60(a+b)$元；
②小慧爸爸每次加油花费300元，一天两次的总花费为$300+300=600$元；
③小军爸爸一天总加油量为$60+60=120$升，平均单价为总花费除以总加油量，即$\dfrac{60(a+b)}{120}=\dfrac{a+b}{2}$元/升；
④小慧爸爸白天加油量为$\dfrac{300}{a}$升，夜间加油量为$\dfrac{300}{b}$升，总加油量为$\dfrac{300}{a}+\dfrac{300}{b}$升，平均单价为总花费除以总加油量，即：
$\dfrac{600}{\dfrac{300}{a}+\dfrac{300}{b}}=\dfrac{600}{\dfrac{300(a+b)}{ab}}=\dfrac{2ab}{a+b}$元/升。
(2) 用作差法比较两人平均单价的大小：
$\dfrac{a + b}{2} - \dfrac{2ab}{a + b}$
通分后计算：
$=\dfrac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)}$
$=\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2(a + b)}$
$=\dfrac{(a - b)^2}{2(a + b)}$
已知$a＞0,b＞0$且$a≠b$，因此$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，可得$\dfrac{(a - b)^2}{2(a + b)}＞0$，即$\dfrac{a + b}{2}＞\dfrac{2ab}{a + b}$，说明小慧爸爸加油的平均单价更低。
【答案】
(1)$60(a+b)$，$600$，$\dfrac{a + b}{2}$，$\dfrac{2ab}{a + b}$
(2)小慧爸爸的加油方式更合算，理由见解析。
【知识点】
列代数式，分式的加减运算，作差法比较大小
【点评】
本题结合生活加油场景考查分式的实际应用，解题核心是准确理解平均单价的计算逻辑，熟练掌握分式的化简技巧，能运用作差法比较代数式的大小，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7