5*. 有一道题：“先化简，再求值：$(\dfrac{x-3}{x+3}+\dfrac{6x}{x^2-9})÷\dfrac{6}{x^2-9}$，其中$x=-\sqrt{2020}$.” 小亮同学做题时把“$x=-\sqrt{2020}$”错抄成了“$x=\sqrt{2020}$”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么一回事.

5. 提示:原式=$\dfrac{x^2 + 9}{6}$

【分析】
要解释小亮抄错x的符号仍得到正确结果的原因，首先要明确：若代数式中x取互为相反数的两个数时值不变，说明化简后x只以偶次幂的形式存在。因此解题步骤为：第一步利用分式混合运算法则化简原式，先对括号内的分式通分（用平方差公式分解$x^2-9$得到最简公分母），合并分子后再将除法转化为乘法约分化简，第二步观察化简结果的形式，结合平方的性质即可解释现象。
【解析】
解：按分式运算规则化简原式：
1. 分解因式确定最简公分母：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，括号内分式的最简公分母为$x^2-9$。
2. 计算括号内的加法：
$\dfrac{x-3}{x+3}+\dfrac{6x}{x^2-9}=\dfrac{(x-3)^2}{x^2-9}+\dfrac{6x}{x^2-9}=\dfrac{x^2-6x+9+6x}{x^2-9}=\dfrac{x^2+9}{x^2-9}$
3. 计算除法（转化为乘法约分）：
$(\dfrac{x^2+9}{x^2-9})÷\dfrac{6}{x^2-9}=\dfrac{x^2+9}{x^2-9}×\dfrac{x^2-9}{6}=\dfrac{x^2+9}{6}$（题中$x=\pm\sqrt{2020}≠\pm3$，满足分式有意义的条件）
4. 观察化简结果$\dfrac{x^2+9}{6}$，仅含x的平方项，互为相反数的两个数的平方相等，即$(\sqrt{2020})^2=(-\sqrt{2020})^2=2020$，因此代入$x=\sqrt{2020}$和$x=-\sqrt{2020}$得到的计算结果完全相同。
【答案】
原式化简后为$\dfrac{x^2+9}{6}$，由于化简结果中仅含x的偶次幂，互为相反数的两个数的平方相等，因此代入$x=\sqrt{2020}$和$x=-\sqrt{2020}$的计算结果一致，故小亮抄错x的符号后计算结果仍正确。
【知识点】
分式的混合运算，代数式化简求值，平方的性质
【点评】
本题重点考察分式的通分、约分运算规则，解题关键是正确化简原式，结合偶次幂的性质分析代数式的取值特点，不需要代入具体数值计算即可解释现象。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 下列运算：①$10^{-3}=0.001$，②$(π+1)^0=0$，③$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，④$-2^2=-4$，⑤$(-1)^2=1$中，正确的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. D

【分析】
本题考查整数指数幂及有理数乘方的运算，解题时需先回忆相关运算规则，再逐一验证5个运算的正误，最后统计正确运算的个数对应选项即可。解题时需注意零指数幂的底数要求、乘方运算中有无括号的运算顺序差异，避免出错。
【解析】
我们逐个判断每个运算的正误：
1. 对于①：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}=0.001$，运算正确。
2. 对于②：根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，因为$π\approx3.14$，所以$π+1≠0$，因此$(π+1)^0=1≠0$，运算错误。
3. 对于③：根据乘方的定义，$(-\frac{1}{3})^2=(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}$，运算正确。
4. 对于④：运算时先算乘方再算符号，$-2^2=-(2×2)=-4$，运算正确。
5. 对于⑤：根据乘方的定义，$(-1)^2=(-1)×(-1)=1$，运算正确。
综上，①③④⑤共4个运算正确，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点在于混淆零指数幂的结果、以及区分带负号的乘方运算中负号是否在括号内，掌握各类幂运算的规则和运算顺序是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 若$(\dfrac{2}{3})^x=\dfrac{3}{2}$，则$x$的值为()

A.1
B.$-1$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{4}{9}$

2. B

【分析】
解题时先观察等式两边的数：左边幂的底数是$\frac{2}{3}$，右边的$\frac{3}{2}$是$\frac{2}{3}$的倒数，我们可以借助负整数指数幂的性质，把等式两边转化为同底数的幂，再根据同底数幂相等时指数相等的规律，即可求出x的值。
【解析】
解：由倒数的性质可得：$\frac{3}{2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}$，
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得$\frac{1}{\frac{2}{3}}=(\frac{2}{3})^{-1}$，
因此原等式可变形为：$(\frac{2}{3})^x=(\frac{2}{3})^{-1}$，
因为底数$\frac{2}{3}$不为0也不为1，所以等式两边幂的指数相等，即$x=-1$。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算，同底数幂的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查负整数指数幂的基本应用，熟练掌握负指数幂和倒数的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.9

3. $(\sqrt{5})^0$的正确结果是()

A.1
B.无意义
C.0
D.-1

3. A

【分析】
解题时首先回忆零指数幂的运算规则，明确零指数幂有意义的前提条件：底数不能为0。第一步先判断本题中幂的底数√5是否为0，√5是正数，显然不为0，满足零指数幂的运算条件，再代入规则计算即可得到结果，最后匹配对应选项。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中底数为$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}\approx2.236＞0$，满足$a≠0$的条件，因此$(\sqrt{5})^0=1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查零指数幂的运算法则，解题时需格外注意零指数幂成立的前提是底数不为0，这是此类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.9

4. 下列计算正确的是()

A.$x^m + x^m = x^{2m}$
B.$2x^n - x^n = 2$
C.$x^3 · x^3 = 2x^3$
D.$x^2 ÷ x^6 = x^{-4}$

4. D

【分析】
这道题主要考查整式运算及整数指数幂的相关运算法则，解题时需要逐一分析每个选项对应的运算类型，结合对应法则计算判断正误即可。首先回忆相关核心法则：合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减，再逐个验证选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：属于合并同类项运算，合并同类项仅系数相加，字母和指数不变，因此$x^m + x^m = (1+1)x^m=2x^m$，不是$x^{2m}$，A错误；
B选项：属于合并同类项运算，$2x^n - x^n = (2-1)x^n = x^n$，结果不等于2，B错误；
C选项：属于同底数幂的乘法运算，根据法则，底数不变指数相加，因此$x^3·x^3 = x^{3+3}=x^6$，不是$2x^3$，C错误；
D选项：属于同底数幂的除法运算，根据法则，底数不变指数相减，因此$x^2 ÷ x^6 = x^{2-6}=x^{-4}$，计算正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查各类整式及幂的运算法则的应用，解题时要注意区分合并同类项与幂的运算的不同规则，熟记各运算法则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8

5*. 已知一个正方体的棱长为$2×10^{-2}\ \mathrm{m}$，则这个正方体的体积为（）

A.$6×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
B.$8×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
C.$2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
D.$8×10^{6}\ \mathrm{m}^3$

5. B

【分析】
要解决这道题，首先回忆正方体体积的计算公式：正方体体积等于棱长的三次方。已知棱长是用科学记数法表示的数，接下来需要运用幂的运算法则计算棱长的立方：先利用积的乘方法则分别计算系数的立方和10的指数部分的乘方，再将两部分结果相乘得到最终体积，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：正方体的体积公式为$V=a^3$（$a$为正方体的棱长）
已知正方体棱长$a=2×10^{-2}\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$\begin{aligned}V&=(2×10^{-2})^3\\&=2^3×(10^{-2})^3 \quad \mathrm{（依据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$）}\\&=8×10^{-2×3} \quad \mathrm{（依据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$）}\\&=8×10^{-6}\ (\mathrm{m}^3)\end{aligned}$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题结合几何体积计算考查整数指数幂的相关运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，运算时注意负指数的计算不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 当$x=$时，$(2x-3)^0$无意义。

1. $\dfrac{3}{2}$

【分析】
解题时首先要明确零指数幂的相关规则：只有当零指数幂的底数不为0时，这个式子才有意义，反过来如果零指数幂无意义，说明它的底数等于0。因此我们只需要令题目中零指数幂的底数等于0，解出对应的x值即可得到答案。
【解析】
根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂等于1，若底数为0，则零指数幂无意义。
要使$(2x-3)^0$无意义，则底数满足：
$2x-3=0$
移项得：$2x=3$
系数化为1得：$x=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
零指数幂的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查零指数幂无意义的条件，解题核心是牢记零指数幂成立的前提是底数不为0，掌握该定义即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2. 计算：$(-5)^0=$，$3^{-2}=$，$(-\dfrac{1}{3})^{-2}=$.

2. $1,\dfrac{1}{9},9$

【分析】
解决本题需要先掌握整数指数幂的两个核心运算法则：1. 零指数幂法则：任何非零数的0次幂等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）；2. 负整数指数幂法则：任何非零数的$-p$次幂（$p$为正整数），等于这个数的$p$次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数）。解题时先确认每个式子的底数不为0，再对应代入法则计算即可。
【解析】
1. 计算$(-5)^0$：根据零指数幂运算法则，因为底数$-5≠0$，所以$(-5)^0=1$；
2. 计算$3^{-2}$：根据负整数指数幂运算法则，$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$；
3. 计算$(-\frac{1}{3})^{-2}$：根据负整数指数幂运算法则，$(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$。
【答案】
$1,\dfrac{1}{9},9$
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，主要考查对零指数幂、负整数指数幂运算法则的掌握程度，解题时要注意底数不为0的前提条件，计算负指数幂时要准确完成倒数、乘方的运算，避免出现符号或运算顺序错误。
【难度系数】
0.8

3. 实数$(-\dfrac{1}{2})^{-2},(-2)^{-2},(-\dfrac{1}{2})^{-1},(-2)^{-1}$按从小到大排列是：。

3. $(-\dfrac{1}{2})^{-1}＜(-2)^{-1}＜(-2)^{-2}＜(-\dfrac{1}{2})^{-2}$

【分析】
解题时首先回忆负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），第一步先利用该规则分别计算出四个式子的数值，第二步根据有理数大小比较的规则：负数小于正数，两个负数比较时绝对值大的反而小，两个正数直接比较数值大小，最后将原式子按照从小到大的顺序排列即可。
【解析】
先根据负整数指数幂的运算法则分别计算各数：
1. 计算$(-\frac{1}{2})^{-2}$：$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
2. 计算$(-2)^{-2}$：$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$
3. 计算$(-\frac{1}{2})^{-1}$：$(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=-2$
4. 计算$(-2)^{-1}$：$(-2)^{-1}=\frac{1}{(-2)^1}=-\frac{1}{2}$
再比较计算结果的大小：
负数部分：$-2 ＜ -\frac{1}{2}$，正数部分：$\frac{1}{4} ＜ 4$
所以整体大小关系为：$-2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ \frac{1}{4} ＜ 4$
对应回原式即可得到排序结果。
【答案】
$(-\dfrac{1}{2})^{-1}＜(-2)^{-1}＜(-2)^{-2}＜(-\dfrac{1}{2})^{-2}$
【知识点】
负整数指数幂运算，有理数大小比较
【点评】
本题重点考查负整数指数幂的运算规则和有理数大小比较的方法，解题的核心是正确计算每个负整数指数幂的结果，尤其要注意符号的处理，避免因符号计算错误导致排序失误。
【难度系数】
0.8

4. $( -\dfrac{b^2}{a} )^{2n} = $ .

4. $\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$

【分析】
解题时先观察式子特征：这是底数为负分式、指数为偶数的乘方运算。第一步先判断符号：负数的偶次幂为正，可先确定结果符号为正；第二步运用分式乘方的运算法则，将分子、分母分别进行乘方运算；第三步运用幂的乘方“底数不变，指数相乘”的规则计算分子的乘方结果，最后合并得到最终表达式。
【解析】
解：
∵指数$2n$是偶数，
∴$(-\dfrac{b^2}{a})^{2n}=(\dfrac{b^2}{a})^{2n}$（负数的偶次幂为正数）
根据分式乘方法则$(\dfrac{A}{B})^m=\dfrac{A^m}{B^m}$（$m$为正整数），可得：
$(\dfrac{b^2}{a})^{2n}=\dfrac{(b^2)^{2n}}{a^{2n}}$
再根据幂的乘方法则$(x^p)^q=x^{p· q}$，计算分子得：
$(b^2)^{2n}=b^{2×2n}=b^{4n}$
因此原式最终结果为$\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$。
【答案】
$\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$
【知识点】
1. 分式乘方运算
2. 幂的乘方运算
3. 乘方符号规律
【点评】
本题是整数指数幂的常规基础运算题，核心易错点有两个：一是忽略指数的奇偶性判断错符号，二是幂的乘方运算时指数计算错误，只要牢记运算法则按步骤计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.8

5. $(-3x^{-1}y^{-2})^2=$；$(-\dfrac{1}{2}a^3b^{-1})^{-2}=$.

5. $\dfrac{9}{x^2 y^4},\dfrac{4b^2}{a^6}$

【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路如下：①回忆整数指数幂的运算规则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。②对于两个式子，先运用积的乘方和幂的乘方法则计算，再将负整数指数转化为正整数指数，最终化简为最简形式即可。
【解析】
1. 计算$(-3x^{-1}y^{-2})^2$：
根据积的乘方法则，得：
$(-3x^{-1}y^{-2})^2=(-3)^2·(x^{-1})^2·(y^{-2})^2$
分别计算每一项：
$(-3)^2=9$，$(x^{-1})^2=x^{-1×2}=x^{-2}$，$(y^{-2})^2=y^{-2×2}=y^{-4}$
再根据负整数指数幂的规则转化为正指数：
原式$=9·\frac{1}{x^2}·\frac{1}{y^4}=\frac{9}{x^2y^4}$
2. 计算$(-\frac{1}{2}a^3b^{-1})^{-2}$：
根据积的乘方法则，得：
$(-\frac{1}{2}a^3b^{-1})^{-2}=(-\frac{1}{2})^{-2}·(a^3)^{-2}·(b^{-1})^{-2}$
分别计算每一项：
$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
$(a^3)^{-2}=a^{3×(-2)}=a^{-6}$
$(b^{-1})^{-2}=b^{(-1)×(-2)}=b^2$
再将负指数转化为正指数后化简：
原式$=4·\frac{1}{a^6}· b^2=\frac{4b^2}{a^6}$
【答案】
$\dfrac{9}{x^2 y^4}$；$\dfrac{4b^2}{a^6}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，重点考查对整数指数幂运算性质的掌握程度，运算时需注意乘方的符号规则，以及负指数转化为正指数的方法，熟练掌握运算规则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8