登录
3. 课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当$x$分别取$3,5-2\sqrt{2},7+\sqrt{3}$时，求代数式$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{2x - 2}{x + 1}$的值。小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程。
答案
3. 提示:原式=$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
遇到这类求多个x取值下代数式值的问题，不要直接代入数值计算，应该先对分式代数式进行化简，通常化简后结果为常数，就不需要分别代入计算了。解题步骤为：先将分式的除法转化为乘法，再对各分子、分母进行因式分解，接着约分化简得到最简结果，最后验证题目给出的x值是否使原式有意义，代入最简式即可得到结果。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{2x - 2}{x + 1}\\=&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} × \frac{x + 1}{2x - 2} \quad \mathrm{（分式除法法则：除以一个分式等于乘以它的倒数）}\\=&\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} × \frac{x + 1}{2(x - 1)} \quad \mathrm{（因式分解：完全平方公式、平方差公式、提公因式）}\\=&\frac{(x-1)^2 · (x+1)}{(x+1)(x-1) · 2(x-1)} \quad \mathrm{（分式乘法法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）}\\=&\frac{1}{2} \quad \mathrm{（约去分子分母的公因式，需满足x≠±1，保证原式分母、除数不为0）}\end{aligned}$
题目给出的x取值3、$5-2\sqrt{2}$、$7+\sqrt{3}$均不等于±1，满足原式有意义的条件，因此无论x取这三个值中的哪一个，代数式的值都为$\frac{1}{2}$。
【答案】
当x分别取$3,5-2\sqrt{2},7+\sqrt{3}$时，代数式的值均为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，核心解题技巧是先化简代数式再求值，避免直接代入复杂数值计算，既提升运算效率也能降低出错率，解题时需注意取值要保证分式有意义。
【难度系数】
0.8
遇到这类求多个x取值下代数式值的问题，不要直接代入数值计算，应该先对分式代数式进行化简，通常化简后结果为常数，就不需要分别代入计算了。解题步骤为：先将分式的除法转化为乘法，再对各分子、分母进行因式分解，接着约分化简得到最简结果，最后验证题目给出的x值是否使原式有意义，代入最简式即可得到结果。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{2x - 2}{x + 1}\\=&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} × \frac{x + 1}{2x - 2} \quad \mathrm{（分式除法法则：除以一个分式等于乘以它的倒数）}\\=&\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} × \frac{x + 1}{2(x - 1)} \quad \mathrm{（因式分解：完全平方公式、平方差公式、提公因式）}\\=&\frac{(x-1)^2 · (x+1)}{(x+1)(x-1) · 2(x-1)} \quad \mathrm{（分式乘法法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）}\\=&\frac{1}{2} \quad \mathrm{（约去分子分母的公因式，需满足x≠±1，保证原式分母、除数不为0）}\end{aligned}$
题目给出的x取值3、$5-2\sqrt{2}$、$7+\sqrt{3}$均不等于±1，满足原式有意义的条件，因此无论x取这三个值中的哪一个，代数式的值都为$\frac{1}{2}$。
【答案】
当x分别取$3,5-2\sqrt{2},7+\sqrt{3}$时，代数式的值均为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，核心解题技巧是先化简代数式再求值，避免直接代入复杂数值计算，既提升运算效率也能降低出错率，解题时需注意取值要保证分式有意义。
【难度系数】
0.8
一、选择题
1. 计算$\dfrac{(a-1)(a+2)}{(a+1)(a+2)} · 5(a+1)^2$的结果是(
A.$5a^2 -1$
B.$5a^2 -5$
C.$5a^2 +10a +5$
D.$a^2 +2a +1$
1. 计算$\dfrac{(a-1)(a+2)}{(a+1)(a+2)} · 5(a+1)^2$的结果是(
B
)A.$5a^2 -1$
B.$5a^2 -5$
C.$5a^2 +10a +5$
D.$a^2 +2a +1$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道分式乘法运算题，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则：分式乘整式时，可以把整式看成分母为1的式子，运算时优先找分子、分母的公因式约分，约分后再计算剩余因式的乘积，能运用乘法公式的可简化计算。观察原式，第一个分式的分子分母有公因式$(a+2)$，第一个分式的分母$(a+1)$和后面整式的因式$(a+1)^2$有公因式$(a+1)$，先约掉公因式，再计算剩余因式的乘积即可。
【解析】
要使原式的分式有意义，则$a+1≠0$且$a+2≠0$，即$a≠-1$且$a≠-2$。
第一步：约分
$\begin{aligned}&\dfrac{(a-1)(a+2)}{(a+1)(a+2)} · 5(a+1)^2\\=&\dfrac{a-1}{a+1} · 5(a+1)^2 \quad \mathrm{约去公因式}(a+2)\\=&(a-1)·5(a+1) \quad \mathrm{约去公因式}(a+1)\end{aligned}$
第二步：运用平方差公式计算
$\begin{aligned}=&5(a-1)(a+1)\\=&5(a^2-1)\\=&5a^2-5\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算；约分；平方差公式
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，解题核心是先约分再计算，可大幅降低运算量、减少出错概率，运算时要注意准确识别公因式，熟练运用乘法公式简化计算。
【难度系数】
0.8
这是一道分式乘法运算题，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则：分式乘整式时，可以把整式看成分母为1的式子，运算时优先找分子、分母的公因式约分，约分后再计算剩余因式的乘积，能运用乘法公式的可简化计算。观察原式，第一个分式的分子分母有公因式$(a+2)$，第一个分式的分母$(a+1)$和后面整式的因式$(a+1)^2$有公因式$(a+1)$，先约掉公因式，再计算剩余因式的乘积即可。
【解析】
要使原式的分式有意义，则$a+1≠0$且$a+2≠0$，即$a≠-1$且$a≠-2$。
第一步：约分
$\begin{aligned}&\dfrac{(a-1)(a+2)}{(a+1)(a+2)} · 5(a+1)^2\\=&\dfrac{a-1}{a+1} · 5(a+1)^2 \quad \mathrm{约去公因式}(a+2)\\=&(a-1)·5(a+1) \quad \mathrm{约去公因式}(a+1)\end{aligned}$
第二步：运用平方差公式计算
$\begin{aligned}=&5(a-1)(a+1)\\=&5(a^2-1)\\=&5a^2-5\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算；约分；平方差公式
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，解题核心是先约分再计算，可大幅降低运算量、减少出错概率，运算时要注意准确识别公因式，熟练运用乘法公式简化计算。
【难度系数】
0.8
2. 化简$\frac{x+2}{x-3} · \frac{x^2 -6x +9}{x^2 -4}$的正确结果是(
A.$\frac{x-3}{x-2}$
B.$\frac{x-3}{x+2}$
C.$\frac{1}{x-2}$
D.$\frac{x+2}{x-3}$
A
)A.$\frac{x-3}{x-2}$
B.$\frac{x-3}{x+2}$
C.$\frac{1}{x-2}$
D.$\frac{x+2}{x-3}$
答案
2. A
解析
【分析】
做分式乘法化简题的常规思路是：首先观察分式的分子、分母中的多项式，先对能因式分解的多项式进行因式分解，再根据分式乘法的运算规则，将分子相乘的积作为新分子、分母相乘的积作为新分母，最后约去分子分母的所有公因式，得到最简分式即可。本题中第二个分式的分子是完全平方式、分母是平方差形式，都可以先分解再约分计算。
【解析】
第一步：对多项式因式分解：
$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$
第二步：代入原式进行计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+2}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{(x+2)·(x-3)^2}{(x-3)·(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x-3}{x-2}\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，解题的核心是先对多项式正确因式分解，再准确找出公因式进行约分，计算时要注意识别完全平方、平方差等可因式分解的多项式形式，避免因因式分解错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
做分式乘法化简题的常规思路是：首先观察分式的分子、分母中的多项式，先对能因式分解的多项式进行因式分解，再根据分式乘法的运算规则，将分子相乘的积作为新分子、分母相乘的积作为新分母，最后约去分子分母的所有公因式，得到最简分式即可。本题中第二个分式的分子是完全平方式、分母是平方差形式，都可以先分解再约分计算。
【解析】
第一步：对多项式因式分解：
$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$
第二步：代入原式进行计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+2}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{(x+2)·(x-3)^2}{(x-3)·(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x-3}{x-2}\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，解题的核心是先对多项式正确因式分解，再准确找出公因式进行约分，计算时要注意识别完全平方、平方差等可因式分解的多项式形式，避免因因式分解错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
3. 计算$\frac{x^2 -1}{3x -3} · \frac{x}{x+1} ÷ \frac{x}{x-1}$的结果是(
A.$\frac{x-1}{x+1}$
B.$\frac{x+1}{x-1}$
C.$\frac{x-1}{3}$
D.$\frac{1}{3(x+1)}$
C
)A.$\frac{x-1}{x+1}$
B.$\frac{x+1}{x-1}$
C.$\frac{x-1}{3}$
D.$\frac{1}{3(x+1)}$
答案
3. C
解析
【分析】
这是分式乘除混合运算的基础题，解题思路可按三步展开：①先根据除法运算法则，将除法转化为乘法运算（除以一个分式等于乘该分式的倒数）；②对分子、分母中的多项式进行因式分解，方便后续约分；③将所有分子相乘作为积的分子，所有分母相乘作为积的分母，约去分子分母的公因式即可得到最简结果，运算过程中要注意隐含的分母不为0的条件，确保约分合法。
【解析】
解：先将除法转化为乘法：
原式=$\frac{x^2 -1}{3x -3} · \frac{x}{x+1} · \frac{x-1}{x}$
对分子分母因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$3x-3=3(x-1)$，代入得：
原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{3(x-1)} · \frac{x}{x+1} · \frac{x-1}{x}$
约去分子分母的公因式$x$、$x+1$、$x-1$（隐含$x≠0$，$x≠±1$，保证分母不为0），可得：
原式=$\frac{x-1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，主要考查分式乘除混合运算的运算顺序和约分技巧，解题关键是先统一为乘法运算，再对多项式正确因式分解后约分，计算时注意不要漏约公因式即可。
【难度系数】
0.8
这是分式乘除混合运算的基础题，解题思路可按三步展开：①先根据除法运算法则，将除法转化为乘法运算（除以一个分式等于乘该分式的倒数）；②对分子、分母中的多项式进行因式分解，方便后续约分；③将所有分子相乘作为积的分子，所有分母相乘作为积的分母，约去分子分母的公因式即可得到最简结果，运算过程中要注意隐含的分母不为0的条件，确保约分合法。
【解析】
解：先将除法转化为乘法：
原式=$\frac{x^2 -1}{3x -3} · \frac{x}{x+1} · \frac{x-1}{x}$
对分子分母因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$3x-3=3(x-1)$，代入得：
原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{3(x-1)} · \frac{x}{x+1} · \frac{x-1}{x}$
约去分子分母的公因式$x$、$x+1$、$x-1$（隐含$x≠0$，$x≠±1$，保证分母不为0），可得：
原式=$\frac{x-1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，主要考查分式乘除混合运算的运算顺序和约分技巧，解题关键是先统一为乘法运算，再对多项式正确因式分解后约分，计算时注意不要漏约公因式即可。
【难度系数】
0.8
4. 计算$(\dfrac{x^2}{y})^2 · (\dfrac{y^2}{x})^3 ÷ (-\dfrac{y}{x})^4$的结果是(
A.$x^5$
B.$x^5 y$
C.$y^5$
D.$x^{15}$
A
)A.$x^5$
B.$x^5 y$
C.$y^5$
D.$x^{15}$
答案
4. A
解析
【分析】
本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题思路如下：①先遵循运算顺序，优先计算乘方，根据分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算每个乘方式，注意偶次幂的负号会消失；②将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；③把所有分子的因式、分母的因式分别合并，结合同底数幂的运算规则约分，最终得到结果对应选项即可。
【解析】
解：先计算各分式的乘方：
$(\dfrac{x^2}{y})^2=\dfrac{(x^2)^2}{y^2}=\dfrac{x^4}{y^2}$，
$(\dfrac{y^2}{x})^3=\dfrac{(y^2)^3}{x^3}=\dfrac{y^6}{x^3}$，
$(-\dfrac{y}{x})^4=\dfrac{y^4}{x^4}$（偶次幂结果为正，负号抵消）。
将原式转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{x^4}{y^2} · \dfrac{y^6}{x^3} × \dfrac{x^4}{y^4}$
分子相乘得：$x^4 · y^6 · x^4 = x^{4+4} y^6 = x^8 y^6$
分母相乘得：$y^2 · x^3 · y^4 = x^3 y^{2+4} = x^3 y^6$
约分计算：
$\dfrac{x^8 y^6}{x^3 y^6} = x^{8-3} y^{6-6} = x^5$
【答案】
A
【知识点】
分式乘方法则、分式乘除运算、幂的运算性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时要注意运算顺序，优先计算乘方，处理负号时注意指数的奇偶性，计算幂的指数加减时不要混淆运算法则，约分要彻底即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题思路如下：①先遵循运算顺序，优先计算乘方，根据分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算每个乘方式，注意偶次幂的负号会消失；②将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；③把所有分子的因式、分母的因式分别合并，结合同底数幂的运算规则约分，最终得到结果对应选项即可。
【解析】
解：先计算各分式的乘方：
$(\dfrac{x^2}{y})^2=\dfrac{(x^2)^2}{y^2}=\dfrac{x^4}{y^2}$，
$(\dfrac{y^2}{x})^3=\dfrac{(y^2)^3}{x^3}=\dfrac{y^6}{x^3}$，
$(-\dfrac{y}{x})^4=\dfrac{y^4}{x^4}$（偶次幂结果为正，负号抵消）。
将原式转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{x^4}{y^2} · \dfrac{y^6}{x^3} × \dfrac{x^4}{y^4}$
分子相乘得：$x^4 · y^6 · x^4 = x^{4+4} y^6 = x^8 y^6$
分母相乘得：$y^2 · x^3 · y^4 = x^3 y^{2+4} = x^3 y^6$
约分计算：
$\dfrac{x^8 y^6}{x^3 y^6} = x^{8-3} y^{6-6} = x^5$
【答案】
A
【知识点】
分式乘方法则、分式乘除运算、幂的运算性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时要注意运算顺序，优先计算乘方，处理负号时注意指数的奇偶性，计算幂的指数加减时不要混淆运算法则，约分要彻底即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
5. 下列各式计算正确的是(
A.$(-\dfrac{a^2}{b})^2 = \dfrac{a^4}{b^2}$
B.$(-\dfrac{a^2b^2}{2c^2})^3 = -\dfrac{a^6b^6}{6c^6}$
C.$[\dfrac{(-a)^2}{-b}]^3 = \dfrac{a^6}{b^3}$
D.$(\dfrac{a + b}{ab})^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$
A
)A.$(-\dfrac{a^2}{b})^2 = \dfrac{a^4}{b^2}$
B.$(-\dfrac{a^2b^2}{2c^2})^3 = -\dfrac{a^6b^6}{6c^6}$
C.$[\dfrac{(-a)^2}{-b}]^3 = \dfrac{a^6}{b^3}$
D.$(\dfrac{a + b}{ab})^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$
答案
5. A
解析
【分析】
本题考查分式乘方及相关幂的运算的正误判断，解题思路为：根据分式乘方法则（分子、分母分别乘方），结合积的乘方、幂的乘方的运算规则、符号运算规律以及完全平方公式，逐一计算每个选项的结果，和选项给出的式子对比后选出正确选项。
【解析】
分式乘方的运算法则为：$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数，$B≠0$），同时需满足：$(ab)^n=a^nb^n$，$(a^m)^n=a^{mn}$，负数的偶次幂为正、奇次幂为负，完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。我们逐个分析选项：
选项A：$(-\frac{a^2}{b})^2$，平方是偶次幂，结果符号为正，分子$(a^2)^2=a^{4}$，分母$b^2$，计算得$\frac{a^4}{b^2}$，和选项一致，计算正确。
选项B：$(-\frac{a^2b^2}{2c^2})^3$，立方是奇次幂，结果符号为负，分子$(a^2b^2)^3=a^6b^6$，分母$(2c^2)^3=8c^6$，正确结果为$-\frac{a^6b^6}{8c^6}$，选项分母为6，计算错误。
选项C：$[\frac{(-a)^2}{-b}]^3$，先化简括号内：$(-a)^2=a^2$，括号内变为$-\frac{a^2}{b}$，立方后符号为负，得$-\frac{a^6}{b^3}$，选项结果为正，计算错误。
选项D：$(\frac{a+b}{ab})^2$，分子展开为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，正确结果为$\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2b^2}$，选项分子漏了$2ab$，计算错误。
综上只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
分式乘方运算，幂的运算法则，完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题，易错点集中在符号判断、乘方时系数也要进行对应乘方、完全平方公式的正确展开，做题时需熟练掌握运算法则，仔细核对每一步运算避免失误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式乘方及相关幂的运算的正误判断，解题思路为：根据分式乘方法则（分子、分母分别乘方），结合积的乘方、幂的乘方的运算规则、符号运算规律以及完全平方公式，逐一计算每个选项的结果，和选项给出的式子对比后选出正确选项。
【解析】
分式乘方的运算法则为：$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数，$B≠0$），同时需满足：$(ab)^n=a^nb^n$，$(a^m)^n=a^{mn}$，负数的偶次幂为正、奇次幂为负，完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。我们逐个分析选项：
选项A：$(-\frac{a^2}{b})^2$，平方是偶次幂，结果符号为正，分子$(a^2)^2=a^{4}$，分母$b^2$，计算得$\frac{a^4}{b^2}$，和选项一致，计算正确。
选项B：$(-\frac{a^2b^2}{2c^2})^3$，立方是奇次幂，结果符号为负，分子$(a^2b^2)^3=a^6b^6$，分母$(2c^2)^3=8c^6$，正确结果为$-\frac{a^6b^6}{8c^6}$，选项分母为6，计算错误。
选项C：$[\frac{(-a)^2}{-b}]^3$，先化简括号内：$(-a)^2=a^2$，括号内变为$-\frac{a^2}{b}$，立方后符号为负，得$-\frac{a^6}{b^3}$，选项结果为正，计算错误。
选项D：$(\frac{a+b}{ab})^2$，分子展开为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，正确结果为$\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2b^2}$，选项分子漏了$2ab$，计算错误。
综上只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
分式乘方运算，幂的运算法则，完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题，易错点集中在符号判断、乘方时系数也要进行对应乘方、完全平方公式的正确展开，做题时需熟练掌握运算法则，仔细核对每一步运算避免失误。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 计算：$\dfrac{8x}{2y} · (-\dfrac{9y}{2x^3})=$
1. 计算：$\dfrac{8x}{2y} · (-\dfrac{9y}{2x^3})=$
$-\dfrac{18}{x^2}$
。答案
1. $-\dfrac{18}{x^2}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：首先根据有理数乘法的符号规则确定结果的符号（异号相乘得负）；再依据分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母；最后约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式即可。
【解析】
解：先确定运算符号，一正一负相乘结果为负，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=-(\dfrac{8x}{2y} · \dfrac{9y}{2x^3})\\&=-\dfrac{8x · 9y}{2y · 2x^3}\\&=-\dfrac{72xy}{4x^3y}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$4xy$，可得：
$原式=-\dfrac{18}{x^2}$
【答案】
$-\dfrac{18}{x^2}$
【知识点】
分式乘法法则；约分；同底数幂的运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时要注意优先确定运算结果的符号，再分别对系数、字母部分运算，约分时需找全公因式，保证最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：首先根据有理数乘法的符号规则确定结果的符号（异号相乘得负）；再依据分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母；最后约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式即可。
【解析】
解：先确定运算符号，一正一负相乘结果为负，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=-(\dfrac{8x}{2y} · \dfrac{9y}{2x^3})\\&=-\dfrac{8x · 9y}{2y · 2x^3}\\&=-\dfrac{72xy}{4x^3y}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$4xy$，可得：
$原式=-\dfrac{18}{x^2}$
【答案】
$-\dfrac{18}{x^2}$
【知识点】
分式乘法法则；约分；同底数幂的运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时要注意优先确定运算结果的符号，再分别对系数、字母部分运算，约分时需找全公因式，保证最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.8
2. 化简：$\dfrac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} ÷ \dfrac{a(a + b)}{b^2} · \dfrac{b^2}{a} =$
$\dfrac{b^4}{a^2(a - b)}$
答案
2. $\dfrac{b^4}{a^2(a - b)}$
解析
【分析】
本题属于分式乘除混合运算题，解题思路如下：1. 分式乘除是同级运算，需按照从左到右的顺序计算，首先要把除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；2. 对分子或分母中能因式分解的多项式进行因式分解，本题中$a^2-b^2$是平方差形式，可分解为$(a+b)(a-b)$；3. 将所有分式的分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母，再约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式即可。
【解析】
解：原式先将除法转化为乘法，得：
$\dfrac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} × \dfrac{b^2}{a(a + b)} × \dfrac{b^2}{a}$
利用平方差公式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$\dfrac{(a+b)(a-b)}{(a - b)^2} × \dfrac{b^2}{a(a + b)} × \dfrac{b^2}{a}$
约去分子分母的公因式$(a+b)$和$(a-b)$，再分别整理分子、分母的项：
分子：$b^2 × b^2 = b^4$
分母：$(a-b) × a × a = a^2(a-b)$
即可得到化简结果。
【答案】
$\dfrac{b^4}{a^2(a - b)}$
【知识点】
分式乘除运算，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式乘除混合运算的运算规则和约分方法，解题时要注意先把除法转化为乘法，再正确因式分解，约分过程中要找准所有公因式，避免因运算顺序错误或者约分遗漏导致结果出错。
【难度系数】
0.75
本题属于分式乘除混合运算题，解题思路如下：1. 分式乘除是同级运算，需按照从左到右的顺序计算，首先要把除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；2. 对分子或分母中能因式分解的多项式进行因式分解，本题中$a^2-b^2$是平方差形式，可分解为$(a+b)(a-b)$；3. 将所有分式的分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母，再约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式即可。
【解析】
解：原式先将除法转化为乘法，得：
$\dfrac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} × \dfrac{b^2}{a(a + b)} × \dfrac{b^2}{a}$
利用平方差公式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$\dfrac{(a+b)(a-b)}{(a - b)^2} × \dfrac{b^2}{a(a + b)} × \dfrac{b^2}{a}$
约去分子分母的公因式$(a+b)$和$(a-b)$，再分别整理分子、分母的项：
分子：$b^2 × b^2 = b^4$
分母：$(a-b) × a × a = a^2(a-b)$
即可得到化简结果。
【答案】
$\dfrac{b^4}{a^2(a - b)}$
【知识点】
分式乘除运算，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式乘除混合运算的运算规则和约分方法，解题时要注意先把除法转化为乘法，再正确因式分解，约分过程中要找准所有公因式，避免因运算顺序错误或者约分遗漏导致结果出错。
【难度系数】
0.75
3. 已知$x^2+1=3x$，则$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的值为
7
。答案
3. 7
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联：所求代数式$x^2+\dfrac{1}{x^2}$是两个互为倒数的项的平方和，可通过完全平方公式变形，由$x+\dfrac{1}{x}$的值计算得到。首先验证x的取值：若x=0，已知等式左边为1，右边为0，矛盾，因此x≠0，可对已知等式两边同时除以x得到$x+\dfrac{1}{x}=3$，再代入完全平方公式的变形公式即可算出结果。
【解析】
解：$\because x^2+1=3x$，
若$x=0$，左边$=0^2+1=1$，右边$=3×0=0$，左边≠右边，
$\therefore x≠0$，
将等式两边同时除以$x$，得：$x + \dfrac{1}{x} = 3$，
将等式两边同时平方，得：$(x+\dfrac{1}{x})^2 = 3^2$，
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x·\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 9$，
化简得：$x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 9$，
移项计算得：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
等式的性质、完全平方公式、分式的基本性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题核心是对已知等式做合理变形，得到互为倒数的两项之和，再结合完全平方公式的变形计算，侧重考查公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联：所求代数式$x^2+\dfrac{1}{x^2}$是两个互为倒数的项的平方和，可通过完全平方公式变形，由$x+\dfrac{1}{x}$的值计算得到。首先验证x的取值：若x=0，已知等式左边为1，右边为0，矛盾，因此x≠0，可对已知等式两边同时除以x得到$x+\dfrac{1}{x}=3$，再代入完全平方公式的变形公式即可算出结果。
【解析】
解：$\because x^2+1=3x$，
若$x=0$，左边$=0^2+1=1$，右边$=3×0=0$，左边≠右边，
$\therefore x≠0$，
将等式两边同时除以$x$，得：$x + \dfrac{1}{x} = 3$，
将等式两边同时平方，得：$(x+\dfrac{1}{x})^2 = 3^2$，
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x·\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 9$，
化简得：$x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 9$，
移项计算得：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
等式的性质、完全平方公式、分式的基本性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题核心是对已知等式做合理变形，得到互为倒数的两项之和，再结合完全平方公式的变形计算，侧重考查公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
