1. 因式分解的定义
(1)把一个多项式化成几个整式的的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式。
(2)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者之间的关系表示如下：
$pa + pb + pc \xrightleftharpoons[\mathrm{整式乘法}]{\mathrm{因式分解}} p(a + b + c)$

1.(1)乘积 分解因式

2.公因式的概念
一个多项式的各项都含有的一个
的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式。

2. 公共

3. 提公因式法
一般地,如果多项式的各项有
,可以把这个提取出来,将
多项式写成与另一个因式的乘积的形
式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.

3. 公因式 公因式 公因式

典例1 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是().

A.$ax+bx+c=(a+b)x+c$
B.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
C.$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$
D.$a^2 -5a -6=(a-6)(a+1)$

D

根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解，逐一判断：
选项A：变形后右边是和的形式，不是整式的积，不属于因式分解；
选项B：是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法运算，不属于因式分解；
选项C：是从整式的平方得到多项式，属于整式乘法运算，不属于因式分解；
选项D：将多项式$a^2-5a-6$化成了两个整式$(a-6)$与$(a+1)$的乘积形式，符合因式分解的定义。

举一反三 下列由左边到右边的式子变形中,属于因式分解的是().

A.$a(m+n)=am+an$
B.$a^2 - b^2 - c^2=(a+b)(a-b)-c^2$
C.$10x^2 -5x=5x(2x-1)$
D.$x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$

C

典例2 把多项式$x^3+mx$分解因式得$x(x+n)(x-\dfrac{1}{2})$，则$m,n$的值可能是（）。

A.$m=\dfrac{1}{8},n=\dfrac{1}{4}$
B.$m=-\dfrac{1}{4},n=\dfrac{1}{2}$
C.$m=\dfrac{1}{8},n=-\dfrac{1}{4}$
D.$m=-\dfrac{1}{4},n=-\dfrac{1}{2}$

B

先将因式分解的结果展开：
1. 先计算$(x+n)(x-\dfrac{1}{2})=x^2 + (n-\dfrac{1}{2})x - \dfrac{n}{2}$
2. 再乘以公因式$x$，得$x(x+n)(x-\dfrac{1}{2})=x^3 + (n-\dfrac{1}{2})x^2 - \dfrac{n}{2}x$
将展开后的式子与原式$x^3+mx$对比，同类项系数对应相等：
原式不含$x^2$项，因此$x^2$的系数为0，即$n-\dfrac{1}{2}=0$，解得$n=\dfrac{1}{2}$
$x$的系数满足$m=-\dfrac{n}{2}$，代入$n=\dfrac{1}{2}$，得$m=-\dfrac{1}{4}$
因此$m=-\dfrac{1}{4}$，$n=\dfrac{1}{2}$。