1. 如图3,∠1=∠2.
(1)当BC=BD时,则△ABC≅△ABD的依据是;
(2)当∠3=∠4时,则△ABC≅△ABD的依据是;
(3)当∠C=∠D时,则△ABC≅△ABD的依据是.

解：
已知在△ABC和△ABD中，∠1=∠2，AB是公共边，即AB=AB。
(1) 当BC=BD时，两边及其夹角对应相等，△ABC≅△ABD的依据是边角边(SAS)；
(2) 当∠3=∠4时，两角及其夹边对应相等，△ABC≅△ABD的依据是角边角(ASA)；
(3) 当∠C=∠D时，两角及其中一角的对边对应相等，△ABC≅△ABD的依据是角角边(AAS)。

【分析】
解决本题首先要梳理△ABC和△ABD中已有的相等条件：两个三角形共享公共边AB，故AB=AB恒成立，且题目已知∠1=∠2，在此基础上结合每个小问给出的额外条件，匹配对应的三角形全等判定定理即可求解。
(1)当给出BC=BD时，两边及夹角对应相等，对应SAS判定；
(2)当给出∠3=∠4时，两角及夹边对应相等，对应ASA判定；
(3)当给出∠C=∠D时，两角及其中一角的对边对应相等，对应AAS判定。
【解析】
已知在△ABC和△ABD中，AB为公共边，因此AB=AB，且∠1=∠2。
(1) 当BC=BD时，两组边$BC=BD$、$AB=AB$，且两组边的夹角$∠ 1=∠ 2$，符合两边及其夹角对应相等的全等判定，故依据为边角边(SAS)；
(2) 当$∠ 3=∠ 4$时，夹边AB的两组角$∠ 1=∠ 2$、$∠ 3=∠ 4$，且夹边$AB=AB$，符合两角及其夹边对应相等的全等判定，故依据为角边角(ASA)；
(3) 当$∠ C=∠ D$时，两组角$∠ 1=∠ 2$、$∠ C=∠ D$，且$∠ C$、$∠ D$的对边$AB=AB$，符合两角及其中一角的对边对应相等的全等判定，故依据为角角边(AAS)。
【答案】
(1) 边角边(SAS)；(2) 角边角(ASA)；(3) 角角边(AAS)
【知识点】
SAS判定，ASA判定，AAS判定
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，重点考查对各全等判定定理的理解与应用，解题关键是先确定两个三角形共有的相等条件，再结合新增条件匹配对应判定定理，需注意区分不同判定定理的适用场景，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

2. 如图4,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,已知DF//BC,EF//AB,请补充一个条件:,使△ADF≌△FEC.

解：补充条件：$AF=FC$（答案不唯一）
证明：
$\because DF// BC$，
$\therefore ∠ AFD=∠ C$，
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ A=∠ EFC$，
在$△ ADF$和$△ FEC$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ EFC \\AF=FC \\∠ AFD=∠ C\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ FEC(\mathrm{ASA})$

【分析】
首先根据已知的两组平行关系，推导△ADF和△FEC中已经相等的角：由DF//BC可得∠AFD=∠C，由EF//AB可得∠A=∠EFC，此时两个三角形已有两组对应角相等，根据全等三角形的判定定理，只需再补充一组对应边相等即可证明两个三角形全等，可选的边包括夹边AF=FC（对应ASA判定）、AD=FE（对应AAS判定）、DF=EC（对应AAS判定），此处以补充AF=FC为例。
【解析】
补充条件：$AF=FC$（答案不唯一）
证明：
$\because DF// BC$，
$\therefore ∠ AFD=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ A=∠ EFC$（两直线平行，同位角相等），
在$△ ADF$和$△ FEC$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ EFC \\AF=FC \\∠ AFD=∠ C\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ FEC(\mathrm{ASA})$
【答案】
$AF=FC$（答案不唯一）
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 全等三角形的ASA判定
【点评】
本题为开放性填空题，需要结合已知条件推导已有的相等关系，再结合全等判定定理补充缺失的条件，解题时需注意对应角、对应边的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7

3*. 如图5，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为（答案不唯一，填一个即可）。

$\boldsymbol{AC=DC}$（答案不唯一，也可填∠A=∠D、∠B=∠E等符合要求的条件）

【分析】
首先从已知条件入手推导隐含的等角：已知∠1=∠2，两个角同时加上公共角∠ACE，可得到∠ACB=∠DCE，此时我们已经有一组边相等BC=EC、一组角相等∠ACB=∠DCE。再结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS等）补充缺少的条件即可：若用SAS判定，需要添加夹这组等角的另一边相等，即AC=DC；若用ASA判定，需要添加另一组夹边的对角相等，即∠B=∠E；若用AAS判定，需要添加已知边的对角相等，即∠A=∠D，任选其一即可。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，
又已知BC=EC，
若添加条件AC=DC，
在△ABC和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}BC=EC\\∠ACB=∠DCE\\AC=DC\end{array} $
∴△ABC≌△DEC（SAS）。
也可添加∠A=∠D（AAS判定）、∠B=∠E（ASA判定），均符合要求。
【答案】
$AC=DC$（答案不唯一，也可填∠A=∠D、∠B=∠E等符合要求的条件）
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的开放型题目，解题关键是先根据已知条件推导得出隐含的相等角，再结合全等判定定理补充合适的条件，考查对全等判定定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 如图6，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE.
求证:AC=AD.

证明：
∵ ∠CBE + ∠ABC = 180°，∠DBE + ∠ABD = 180°，∠CBE = ∠DBE，
∴ ∠ABC = ∠ABD。
在△ABC和△ABD中，
$\{\begin{array}{l}∠CAB = ∠DAB, \\AB = AB, \\∠ABC = ∠ABD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ABD（ASA），
∴ AC = AD。

【分析】
要证明AC=AD，可通过证明AC、AD所在的△ABC和△ABD全等来推导。首先已知∠CAE=∠DAE，可得一组对应角∠CAB=∠DAB，且两个三角形有公共边AB=AB；结合已知∠CBE=∠DBE，利用邻补角的性质可推出∠ABC=∠ABD，凑齐角边角（ASA）的全等判定条件，证明三角形全等后即可得到对应边AC=AD。
【解析】
证明：
∵ ∠CBE + ∠ABC = 180°，∠DBE + ∠ABD = 180°，∠CBE = ∠DBE，
∴ ∠ABC = ∠ABD（等角的补角相等）。
在△ABC和△ABD中：
$\{\begin{array}{l}∠CAB = ∠DAB, \\AB = AB, \\∠ABC = ∠ABD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ABD（ASA），
∴ AC = AD（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
AC=AD
【知识点】
邻补角的性质、ASA判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题型，解题核心是利用等角的补角相等得到一组对应角相等，结合已知条件和公共边即可判定三角形全等，进而得到对应边相等，需熟练掌握全等三角形的判定定理及性质。
【难度系数】
0.8

2. 如图7，AB=EA，AB//DE，∠DAB=70°，∠E=40°.
(1)求∠DAE的度数；
(2)若∠B=30°，求证：AD=BC.

解：(1)
∵ AB//DE，
∴ ∠E = ∠BAC = 40°，
又∵ ∠DAB = 70°，
∴ ∠DAE = ∠DAB - ∠BAC = 70° - 40° = 30°。
证明：(2) 在△ADE和△BCA中，
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠BAC \\EA = AB \\∠DAE = ∠B = 30°\end{array} $
∴ △ADE ≌ △BCA（ASA），
∴ AD = BC。

【分析】
(1) 求解∠DAE的度数时，先结合已知的AB//DE的条件，利用平行线的内错角相等性质，求出∠BAC的度数，再利用角的和差关系，用已知的∠DAB减去∠BAC即可得到∠DAE的度数。
(2) 要证明AD=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。观察图形可知AD、BC分别在△ADE和△BCA中，结合已知的AB=EA、∠B=30°以及第(1)问求出的∠DAE=30°、平行线得到的∠E=∠BAC，可凑出ASA全等判定条件，证明两个三角形全等后，即可由全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
(1) 解：
∵ AB//DE，
∴ ∠E = ∠BAC = 40°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠DAB = 70°，
∴ ∠DAE = ∠DAB - ∠BAC = 70° - 40° = 30°。
(2) 证明：
在△ADE和△BCA中，
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠BAC \\EA = AB \\∠DAE = ∠B = 30°\end{array} $
∴ △ADE ≌ △BCA（ASA），
∴ AD = BC（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；
(2) 证明成立，AD=BC。
【知识点】
平行线的性质，ASA判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考察平行线性质和三角形全等相关知识的应用，解题思路清晰，只要熟练掌握相关性质和判定定理，准确找到对应相等的角和边即可顺利解题。
【难度系数】
0.7